Sistemas de ecuaciones lineales (I)

1. January 25, 2010 () January 25, 2010 1 / 24

2. Semana 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Forma matricial de sistemas de ecuaciones lineales. Determinantes y método de Cramer Universidad Carlos III de Madrid Matemáticas II Curso 2009-2010 Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones Curso 2009-2010 Semana lineales 2 / 24

3. Deniciones Sistemas de ecuaciones lineales. Forma matricial En economía son muy usados los sistemas de ecuaciones lineales, que tienen la forma:    a11 x1 + · · · + a1n xn = b1 . . . . . .  am1 x1 + · · · + amn xn = bm  donde aij y bk son números reales jos y x1 , . . . , xn son las variables (también llamadas incógnitas ) del sistema. Este sistema puede escribirse usando matrices y vectores, de la siguiente manera:      a11 ... a1n x1 b1 . . . . . . . = .       . ... .  . .  am1 ... amn xn bm Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones Curso 2009-2010 Semana lineales 3 / 24

4. Deniciones Sistemas de ecuaciones lineales. Forma matricial En economía son muy usados los sistemas de ecuaciones lineales, que tienen la forma:    a11 x1 + · · · + a1n xn = b1 . . . . . .  am1 x1 + · · · + amn xn = bm  donde aij y bk son números reales jos y x1 , . . . , xn son las variables (también llamadas incógnitas ) del sistema. Este sistema puede escribirse usando matrices y vectores, de la siguiente manera:      a11 ... a1n x1 b1 . . . . . . . = .       . ... .  . .  am1 ... amn xn bm Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones Curso 2009-2010 Semana lineales 3 / 24

5. Deniciones Sistemas de ecuaciones lineales. Forma matricial En forma compacta, esto se puede representar así: Ax = b, donde       a11 ... a1n x1 b1 . . . . A = . . ;x =  . ;b =  .       . ... . . .  am1 ... amn xn bm Dos formas alternativas, más compactas, de representar a la matriz A, son las siguientes, donde aij es un elemento genérico situado en la la i y la columna j : A = (aij )ij =1,...,m =1,...,n y también A = (aij )mn Alternantivamente, sobreentendiendo las dimensiones, m para las las, y n para las columnas, de la matriz, representamos A = (aij ) Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones Curso 2009-2010 Semana lineales 4 / 24

8. Deniciones Multiplicación de matrices Notemos que para poder hacer la representación Ax =b del sistema de ecuaciones, deberíamos haber denido adecuadamente la multiplicación de una matriz A por un vector x . Por inspección podemos notar que el vector producto b = (bi ) es el resultado de la siguiente operación aplicada a cada elemento bi : bi = ai 1 x1 + ai 2 x2 + · · · + ain xn En general, la matrix producto C, que resulta de multiplicar una matriz A por otra B puede ser denido extendiendo este concepto, siempre y cuando se cumpla un requisito que podemos adivinar. Si partimos de que la matriz C está compuesta por vectores columna, el elemento i de una columna dada, la j , por ejemplo, es construido haciendo el producto interno del vector la i de la matriz A por el vector columna j de la matriz B: cij = ai 1 b1j + ai 2 b2j + · · · + ain bnj Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones Curso 2009-2010 Semana lineales 5 / 24

9. Deniciones Multiplicación de matrices Notemos que para poder hacer la representación Ax =b del sistema de ecuaciones, deberíamos haber denido adecuadamente la multiplicación de una matriz A por un vector x . Por inspección podemos notar que el vector producto b = (bi ) es el resultado de la siguiente operación aplicada a cada elemento bi : bi = ai 1 x1 + ai 2 x2 + · · · + ain xn En general, la matrix producto C, que resulta de multiplicar una matriz A por otra B puede ser denido extendiendo este concepto, siempre y cuando se cumpla un requisito que podemos adivinar. Si partimos de que la matriz C está compuesta por vectores columna, el elemento i de una columna dada, la j , por ejemplo, es construido haciendo el producto interno del vector la i de la matriz A por el vector columna j de la matriz B: cij = ai 1 b1j + ai 2 b2j + · · · + ain bnj Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones Curso 2009-2010 Semana lineales 5 / 24

10. Deniciones Multiplicación de matrices El requisito mencionado para que C=AB esté bien denida, como habrán podido ya adivinar... ¾? m ×l Ejemplo Consideremos las matrices   1 6 2 1 5 A = B = 7 −4  −3 0 2 8 0 la matriz C =A·B es una matriz 2 ×2 49 8= 2 · 6 + 1 · (−4) + 5 · 0 C = 13 −18 Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones Curso 2009-2010 Semana lineales 6 / 24

11. Deniciones Multiplicación de matrices El requisito mencionado para que C=AB esté bien denida, como habrán podido ya adivinar... ¾? es que las dimenciones de A y B tienen que ser tales que el número de columnas de A sea igual al número de las de B. m ×l Ejemplo Consideremos las matrices   1 6 2 1 5 A = B = 7 −4  −3 0 2 8 0 la matriz C =A·B es una matriz 2 ×2 49 8= 2 · 6 + 1 · (−4) + 5 · 0 C = 13 −18 Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones Curso 2009-2010 Semana lineales 6 / 24

12. Deniciones Multiplicación de matrices El requisito mencionado para que C=AB esté bien denida, como habrán podido ya adivinar... ¾? es que las dimenciones de A y B tienen que ser tales que el número de columnas de A sea igual al número de las de B. Si la dimensión de A es m × n, y la de B es n × l, entonces ¾cuál será la dimensión de C? m ×l Ejemplo Consideremos las matrices   1 6 2 1 5 A = B = 7 −4  −3 0 2 8 0 la matriz C =A·B es una matriz 2 ×2 49 8= 2 · 6 + 1 · (−4) + 5 · 0 C = 13 −18 Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones Curso 2009-2010 Semana lineales 6 / 24

15. Deniciones Multiplicación de matrices Atención Por razones obvias (entre ellas de compatibilidad de dimensiones), el producto entre dos matrices no es conmutativo. Por ejemplo si tomamos las matrices 2 1 1 2 5 A = B = 3 1 1 4 4 podemos hacer A ·B pero en cambio B ·A no existe. Por otro lado, si tomamos 1 2 3 1 A = ;B = 2 1 2 1 hay compatibilidad de dimensiones para conmutatividad, pero 7 3 5 7 A·B = = B ·A= 8 3 4 5 Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones Curso 2009-2010 Semana lineales 7 / 24

18. Deniciones Suma de matrices Las matrices del mismo tamaño se pueden sumar. La suma se hace sumando los elementos que se encuentran en la misma la y columna en las dos matrices. Así si A = (aij )ij =1,...,m =1,...,n y B = (bij )ij =1,...,m =1,...,n (como veis las dos matrices tienen el mismo tamaño) entonces A+B = (aij + bij )j =1,...,m i =1,...,n Ejemplo 2 1 3 1 4 0 A = B = 9 6 5 5 −2 −3 2 +1 1+4 3+0 3 5 3 A+B = = 9 +5 6 + (−2) 5 + (−3) 14 4 2 Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones Curso 2009-2010 Semana lineales 8 / 24

21. Deniciones Producto por escalares De manera similar se dene el producto por escalares (números reales). Si A = (aij )ij =1,...,m =1,...,n y λ∈R entonces λA = (λaij )ij =1,...,m =1,...,n Ejemplo Tomemos λ un número cualquiera y la matriz 2 1 3 A = 9 6 5 entonces λ·2 λ·1 λ·3 λA = λ·9 λ·6 λ·5 Si jamos λ=7 7·2 7·1 7·3 14 7 21 7A = = 7·9 7·6 7·5 63 42 35 Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones Curso 2009-2010 Semana lineales 9 / 24

22. Deniciones Producto por escalares De manera similar se dene el producto por escalares (números reales). Si A = (aij )ij =1,...,m =1,...,n y λ∈R entonces λA = (λaij )ij =1,...,m =1,...,n Ejemplo Tomemos λ un número cualquiera y la matriz 2 1 3 A = 9 6 5 entonces λ·2 λ·1 λ·3 λA = λ·9 λ·6 λ·5 Si jamos λ=7 7·2 7·1 7·3 14 7 21 7A = = 7·9 7·6 7·5 63 42 35 Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones Curso 2009-2010 Semana lineales 9 / 24

23. Deniciones Deniciones y propiedades Denición Dada una matriz A = (aij ), los elementos de la forma aii se llaman la diagonal de A. En el caso de que el número de las y de columnas es el mismo, m = n, se dice que la matriz es cuadrada. Dada una matriz cuadrada, A = (aij )nn la traza de A es el número real traza(A) = a11 + a22 + · · · + ann La matriz cuadrada   1 0 ... 0  0 1 ... 0   . . .. .     . . . . . .  . 0 0 ... 1 se llama matriz identidad de tamaño n y se denota por In . Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Semana Curso 2009-2010 10 / 24

27. Deniciones Deniciones y propiedades Denición Dada una matriz a1n   a11 a12 ···  a21 a22 ··· a2n  A = . . ... .  ∈ Mm×n    . . . . .  . am 1 am2 ··· amn denimos la matriz transpuesta At ∈ Mn×m (ó A∗ ) de A, a la matriz cuya la i es igual a la columna i de A. Es decir, am 1   a11 a21 ··· a12 a22 ··· am 2 t = A∗ =    A  . . ... .  ∈ Mn×m   . . . . .  . a1n a2n ··· amn Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Semana Curso 2009-2010 11 / 24

28. Deniciones Deniciones y propiedades Denición Dada una matriz a1n   a11 a12 ···  a21 a22 ··· a2n  A = . . ... .  ∈ Mm×n    . . . . .  . am 1 am2 ··· amn denimos la matriz transpuesta At ∈ Mn×m (ó A∗ ) de A, a la matriz cuya la i es igual a la columna i de A. Es decir, am 1   a11 a21 ··· a12 a22 ··· am 2 t = A∗ =    A  . . ... .  ∈ Mn×m   . . . . .  . a1n a2n ··· amn Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Semana Curso 2009-2010 11 / 24

29. Deniciones Deniciones y propiedades Propiedades Sean A, B y C matrices dadas, y α y β números reales cualesquiera: 1 A + B = B + A (propiedad conmutativa de la suma). 2 A + (B + C ) = (A + B ) + C (propiedad asociativa de la suma). 3 α(A + B ) = αA + αB . 4 (α + β)A = αA + β A. 5 α(β A) = (αβ)A. 6 (A + B )t = At + B t . t 7 ( At ) = A. 8 A(BC ) = (AB )C (propiedad asociativa de la multiplicación, si el producto existe) 9 Si el producto AB existe, entonces B t At también existe, y (AB )t = B t At . Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Semana Curso 2009-2010 12 / 24

39. Matriz inversa y soluciones al sistema de ecuaciones Matriz Inversa Dado el sistema de ecuaciones lineales Ax =b Sería útil poder despejar x de esa ecuación para hallar sus valores en función de A y de b , de manera similar a como procedemos en álgebra de una variable. Siendo creativos, sería útil hallar una matriz A −1 tal que podamos multiplicar los dos lados de la ecuación en el sistema de ecuaciones para despejar x y obtener su solución, de la siguiente manera: −1 A Ax = IA = x = A−1 b . De hecho, bajo ciertas condiciones, eso es posible. Presentaremos los dos métodos de solución al sistema, el de Cramer y el de Gauss. Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Semana Curso 2009-2010 13 / 24

43. Matriz inversa y soluciones al sistema de ecuaciones Matriz Inversa Denición Dada una matriz cuadrada A, de dimensiones n × n, decimos que tiene inversa, denotada por A−1 , si se satisface que A−1 A = AA−1 = In donde In es la matriz identidad de tamaño n. Observación En caso de que exista, la matriz inversa es única. Para ver esto, supongamos que hay dos matrices, B y C tales que BA = AB = I y además CA = AC = I Como CA = I , CAB = (CA)B = IB = B Por otro lado, también tenemos que CAB == C (AB ) = CI = C Se sigue que B = C . Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Semana Curso 2009-2010 14 / 24

48. Matriz inversa y soluciones al sistema de ecuaciones Sobre las soluciones al sistema Volviendo ahora a Ax = b, si A −1 existe, entonces x = A−1 b es la solución (½única!) al sistema. Pero puede tener varias (innitas, de hecho) soluciones, o puede no tener ninguna. Los métodos para hallar las soluciones al sistema Ax =b son: el de Cramer, y el de Gauss. El método de Gauss, que veremos luego, nos permite hallar todas las soluciones, cuando las hay, y también nos sirve para identicar cuándo no hay soluciones. El método de Cramer, que introduciremos hoy, se usa cuando hay una única solución. Requiere que A −1 exista, por supuesto, pero usa determinantes, que debemos denir primero, para hallarla. Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Semana Curso 2009-2010 15 / 24

53. Matriz inversa y soluciones al sistema de ecuaciones Menores, adjuntos y determinantes Denición Si A = (aij ) es una matriz cuadrada de orden n × n, llamaremos menor complementario del elemento aij de la matriz A, denotado |Aij |, al determinante de la submatriz de orden n − 1 × n − 1 que se obtiene al eliminar la la i y la columna j de la matriz A. El adjunto del elemento aij de la matriz A, denotado por Aij es el menor complementario de aij multiplicado por (−1)i +j : Aij = (−1)i +j |Aij |. Denición Dada una matriz cuadrada A, el determinante de A se dene de la siguiente manera: Si A = (a) tiene un solo elemento, entonces |A| = a. Si A es 2 ×2 entonces el determinante es: a b |A| = = ad − cb c d Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Semana Curso 2009-2010 16 / 24

58. Matriz inversa y soluciones al sistema de ecuaciones Menores, adjuntos y determinantes Denición (Continuación) En general, si A es de orden n × n, dados los adjuntos Aij , que son de orden n − 1 × n − 1, el determiante |A| se dene, usando la la i , como |A| = a 1 A 1 + a 2 A 2 + · · · + a i i i i i n Ai n usando la columna j , como |A| = a1 j A1j + a2 j A2j + ··· + a mj Amj Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Semana Curso 2009-2010 17 / 24

59. Matriz inversa y soluciones al sistema de ecuaciones Menores, adjuntos y determinantes Denición (Continuación) En general, si A es de orden n × n, dados los adjuntos Aij , que son de orden n − 1 × n − 1, el determiante |A| se dene, usando la la i , como |A| = a 1 A 1 + a 2 A 2 + · · · + a i i i i i n Ai n usando la columna j , como |A| = a1 j A1j + a2 j A2j + ··· + a mj Amj Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Semana Curso 2009-2010 17 / 24

60. Matriz inversa y soluciones al sistema de ecuaciones Cálculo de determinantes y algunas propiedades Observación En el caso de que A sea 3 ×3 tenemos dos maneras equivalentes de denir el determinante: 1 Desarrollando por una la o una columna usando el método descrito arriba: a11 a12 a13 a22 a23 a12 a13 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 − a21 + a31 a32 a33 a32 a33 a22 a23 a31 a32 a33 2 Usando la regla de Sarrus: a11 a12 a13 ˛ ˛ ˛ ˛ a21 a22 a23 ˛ = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12 ˛ ˛ ˛ a31 a32 a33 ˛ ˛ ˛ ˛ Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Semana Curso 2009-2010 18 / 24

64. Matriz inversa y soluciones al sistema de ecuaciones Cálculo de determinantes y algunas propiedades Ejercicio 1 ˛ 1 2 1 ˛ ˛ ˛ = (−1)1+2 2 ˛ 4 5 ˛ ˛ + (−1)2+2 3 ˛ 1 1 ˛ ˛ + (−1)2+3 1 ˛ 1 1 ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ 4 3 5 ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ 3 3 ˛ ˛ 3 3 ˛ ˛ 4 5 ˛ ˛ ˛ 3 1 3 ˛ ˛ ˛ = −2 · (−3) + 3 · (0) − (1) · 1 = 5 2 1 2 0 3 4 7 1 1 |A| = 1 3 3 1 0 2 0 7 En este caso, lo más adecuado, para sacar provecho de la regla, es desarrollar por la columna 3 o también por la la 4: ˛ 4 7 1 ˛ 1 2 3 ˛ 1 2 3 ˛ 1 2 3 ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ |A | = 0 ˛ 1 3 1 ˛ +(−1)3+2 2 ˛ 1 3 1 ˛ +(−1) 3+3 3 ˛ 4 7 1 ˛+0 ˛ 4 7 1 ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ 0 2 7 ˛ 0 2 7 ˛ 0 2 7 ˛ 1 3 1 ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Semana Curso 2009-2010 19 / 24

68. Matriz inversa y soluciones al sistema de ecuaciones Cálculo de determinantes y algunas propiedades Propiedades 1 Si multiplicamos toda una la o toda una columna por un número diferente de cero entonces el determinante se multiplica por ese número. 2 Si intercambiamos dos las o dos columnas entonces el determinante cambia de signo. 3 Si a una la le sumamos un múltiplo de otra la entonces el determinante no cambia. 4 Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño entonces det(A · B ) = det(A) · det(B ) 5 Una matriz de cuadrada de orden n tiene máximo rango si y solo si su determinante no es nulo. Denición Sea A una matrix cualquiera. El rango de A es el tamaño del mayor determinante diferente de cero que podemos construir dentro de la matriz eliminando las y columnas. Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 1 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Semana Curso 2009-2010 20 / 24

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