El documento contiene varios problemas de matemáticas de 2o de ESO y 4o de ESO. En 2o de ESO, el primer problema calcula el área de la región sombreada de un cuadrado inscrito en un círculo. El segundo calcula el valor de una fracción. El tercero ordena tres números en orden creciente. En 4o de ESO, el primer problema suma todos los números de tres dígitos que al dividirlos por 5 den resto 4. El segundo calcula la longitud de la bisectriz de un ángulo recto de un triáng

1. Problemas de la 3ª semana
2º ESO
1º-) Un cuadrado de lado 1 cm está inscrito en un círculo. Calcular
el área de la región sombreada.
Solución: Calculamos la diagonal del cuadrado, que es el diámetro del
círculo: diagonal = diámetro = 211 22
=+ , el radio del círculo es r =
2
2
.
Área del círculo =
22
2
2
2
==r
Área del cuadrado = lado2
= 12
= 1
Área sombreada = Área Círculo - Área Cuadrado = 2
1
2
cm
2º-) Calcular : 200203
201204
22
22
Solución: Sacamos factor común en el numerador y en el denominador
y simplificamos
( )
( ) 2
2
2
72
72
122
122
200
201
200
201
3200
3201
===
3º-) Sean los números 21.000
; 3600
y 10300
. Ordenarlos en orden
creciente.
Solución: Ponemos las potencias dadas como potencias de potencias
( ) ( )100100101000
102422 ==
( ) ( )1001006600
72933 ==
( ) ( )1001003300
10001010 == por tanto
(729)100
< (1000)100
< (1024)100
3600
< 10300
< 21000

2. 4º ESO
1º-) Encuentra la suma de todos los números naturales de tres
dígitos, que al dividirlos por 5 den de resto 4.
Solución: El primer número de tres dígitos que al dividirlo por 5 da de
resto 4 es 104 y el último 999. Estos números forman una progresión
aritmética de diferencia 5. Calculamos cuantos números hay y los sumamos
an = a1 + (n 1) d 999 = 104 + (n 1) 5 n = 180
270.99180
2
999104
=
+
=S
2º-) Los catetos de un triángulo rectángulo son b y c. Encuentra la
longitud de la bisectriz del ángulo recto.
Solución:
B
H
c
x 45º
y
A C
b R
Sea el triángulo rectángulo ABC. La bisectriz AH del ángulo recto A mide
x. Dibujamos la recta HR. El triángulo AHR es rectángulo isósceles. AB = c ;
AC = b ; AH = x ; HR = y ; AR = y ; RC = b - y
Los triángulos ABC y HRC son semejantes, luego
yb
b
y
c
=
multiplicando en cruz by = cb – cy by + cy = cb
( )
cb
bc
ycbcby
+
==+
Aplicando Pitágoras al triángulo AHR x2
= y2
+ y2
x2
= 2 y2
=
( )2
22
2
cb
cb
+
2
cb
bc
x
+
=

3. P
Bachillerato
1º-) Resolver la ecuación: ( ) 1log
3
log 2
33 =+ x
x
x
Solución: Aplicamos las propiedades de los logaritmos para resolverla
( ) ( ) ( ) 1loglog
3log
1
1loglog3log1log
3
log 2
33
3
2
333
2
33 =+=+=+ xx
x
xxx
x
xxxx
( ) ( ) 1log
3log
1
log1
1
1loglog
log1
1 2
3
3
2
33
3
=+
+
=+
+
x
xx
xx
x x
x
( ) ( ) 1log
1
log
1
1
log1
1
1log
13log
1
log1
1 2
3
3
3
2
3
3
=+
+
+
=+
++
x
x
x
x
x x
Hacemos el cambio 1
11
1
1
1
1
1
1
1
log 22
3 =+
++
=+
+
+
= y
y
y
y
y
y
y
yx
Realizando operaciones llegamos a la ecuación 0223
=+ yyy
Resolviéndola nos da y = 0 ; y = 1 ; y = -2. Sustituyendo en el cambio
9
1
32log
31log
10log
2
3
3
3
===
==
==
xx
xx
xx
2º-) Un semicírculo está inscrito en un cuadrilátero ABCD. El punto
medio de BC coincide con el centro del semicírculo, y el diámetro del
semicírculo descansa sobre una parte de BC. Si AB = 4 y CD = 5,
¿cuánto vale BC?.
Solución:
A 4-y
4-y 5-y D
5-y
H r M
y r y
r
B C
x r O r x
Los triángulos OHB ; OHA ; OPA ; OPD ; OMD y OMC son
rectángulos. Los triángulos OHA y OPA son iguales puesto que tienen la
hipotenusa común y un cateto igual. Lo mismo sucede con los triángulos OPD
y OMD. Los lados de los triángulos son los expresados en la figura.
Aplicando Pitágoras al triángulo OMC
( ) ( ) 22222
yrxrxryr +=++=+

4. ( ) 22
22 yrxrBC +=+=
Se verifica que =+=++=++ º90º90º180222
( ) ( ) gtagtag cotº90 ==+
( ) y
r
yy
r
y
r
y
g
tagtag
tagtag
=
+
=
+
45
1
5
cot
1
2
Realizando operaciones llegamos 2022
=+ yr
54202 ==BC