UD-04-3-Distrib-Probabilidad-3Continuas-Grado-17-18.pdf

www.upv.es
Departamento de Estadística e
Investigación Operativa Aplicadas
y Calidad
UD 4
Estadística
Distribuciones continuas:
• Uniforme
• Exponencial

DEIOAC – Estadística – Prof. E. Vázquez UD-4 Distribuciones
¿Por dónde vamos?
Población
Estadística descriptiva
§ gráficos
§ parámetros
§ tablas
muestreo
Inferencia estadística
Muestra
Conclusiones válidas con
razonable seguridad
Probabilidad
UD2
Distribuciones
UD4
UD3

v.a. y distribuciones de probabilidad
Existen modelos (expresiones matemáticas) que se adecuan a las
diferentes pautas de variabilidad de las variables aleatorias:
v.a. discretas
• Binomial
• Poisson
v.a. continuas
• Exponencial
• Uniforme
• Normal
v.a. DISCRETA àFunción de Probabilidad: P(X)
v.a. CONTINUAà Función de Densidad: f(x)
¡Recordar! UD4
Parte 1

Contenido UD4
1. INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS
1.1 Variables aleatorias. Distribuciones de probabilidad
1.2 Distribuciones de probabilidad discretas
1.3 Distribuciones de probabilidad continuas
1.4 Esperanza matemática
1.5 Valor medio: concepto y propiedades
1.6 Varianza: concepto y propiedades
2. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.
2.1 La distribución Binomial
2.2 La distribución de Poisson
2.3 La distribución de Uniforme
2.4 La distribución Exponencial
2.5 La distribución Normal

Contenido Uniforme y Exponencial
3.- Distribución Uniforme
- Definición, aplicaciones y ejemplos
- Función de densidad f(x) y probabilidad acumulada
- Parámetros poblacionales: media y varianza
- Población y muestra
- Ejercicios
4.- Distribución Exponencial
- Definición, aplicaciones y ejemplos
- Función de densidad f(x) y probabilidad acumulada
- Parámetros poblacionales: media y varianza
- Población y muestra
- Fiabilidad
- Propiedad: “Falta de memoria”
- Ejercicios
Ejercicios resueltos
- Exponencial
- Uniforme
Objetivos de aprendizaje
Fases en la resolución de problemas

La distribución Uniforme

• Se utiliza en v.a. continuas en las que la única información de la que
se dispone sobre su comportamiento es que toman valores en un
intervalo, y que la densidad de probabilidad para todos los valores de
ese intervalo es la misma.
• La distribución uniforme tiene una aplicación muy importante en
simulación.
Ejemplos:
• Tiempo de acceso a un archivo en un disco duro ~ 1 y 3 ms
• Tamaño de un tipo de archivo ~ entre 100 y 1000 Kb
• Distancia (entre origen y destino) que recorre un mensaje en una
red regular tipo toro
• Tiempo entre la generación de mensajes en un procesador
• etc
3 – Distribución Uniforme

Para pensar…
El lenguaje de programación BASIC (o una calculadora) tiene una
función RND que genera un número “al azar” entre 0 y 1.
¿Qué crees que se entiende en este caso como un número “al
azar” entre 0 y 1?
¿Cuál será la función de distribución de la variable aleatoria cuyos
valores genera la función RND?
Respuesta en el Anejo al final del tema UD 5
Libro de texto
(R. Romero, L. Zúnica. Métodos Estadísticos en Ingeniería)

3 – Distribución Uniforme: Definición
• Una v.a continua X tiene una Distribución Uniforme en (a,b) si su
función de densidad es:
• constante en un intervalo (a,b)
• nula fuera de dicho intervalo
• Se simboliza como:
X ~ U(a,b)

Función de densidad
X ~ U (a, b)
b
a
f(x)
X
1
b
K
a
=
-
b a
-
Toda la probabilidad (1) se
reparte uniformemente entre
el tramo de a a b (b - a)

Obtención de k
• Obtención del valor de la constante K :
+¥
-¥
£ +¥ = = = =
ò ò
b
a
P(X ) 1 f(x)dx f(x)dx
= = = - =
é ù
ë û
ò
b
b
a a
Kdx K x K(b a) 1
=
-
1
K
(b a)
F(+∞) =

Histograma y Función de densidad
X ~ U (2, 2,5)
Low
Uniform Distribution
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
x
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
density
Histogram
1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
X
0
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
percentage
muestra
población

F(x) y Esperanza Matemática
(
2
X
E )
a b
+
=
2
2 b
(
( )
12
X
a)
s
-
=
Media Varianza
X ~ U (a, b)
¡Recordar! UD4-Parte 1
Cómo se calcula la Esperanza matemática
F(x) = P(X ≤ x): La probabilidad acumulada puede calcularse integrando
la función de densidad.
X < a
x
b
x)
a
F(
a
-
=
-
X > b
F(x) = 1
F(x) = 0
a b
X
£ £

Frecuencias y Probabilidades acumuladas
X ~ U (2, 2,5)
Low
1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
cumulative
probability
Histogram
1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8
X
0
20
40
60
80
100
percentage
P(X < x)

Ejercicio 11 ampliado
El tiempo de acceso o búsqueda de un fichero en una antigua unidad
de disco (HD) fluctúa uniformemente entre 0,1 y 0,5 s.
a) ¿Cuál es la variable aleatoria implicada en el estudio? ¿qué
distribución sigue? ¿es continua o discreta?
b) ¿Cuál es la población asociada?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea
exactamente 0,125 segundos?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea
inferior a 0,125 segundos?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea
superior a 0,125 segundos?
f) ¿Cuál es la media del tiempo de acceso a un fichero? ¿y la desviación
típica?
g) ¿Qué porcentaje de las búsquedas superan los 0,2 segundos?
h) ¿Cuál es valor de tiempo de búsqueda t que es no es superado por el
50% de dichas búsquedas?
i) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero esté
entre 0,125 y 0,2 segundos?

El tiempo de acceso o búsqueda de un fichero en una antigua unidad
de disco (HD) fluctúa uniformemente entre 0,1 y 0,5 s.
Variable aleatoria T: t de búsqueda de ficheros en HD duro
E = {0,1 0,11, 0,23, …, 0,5} à [0,1 , 0,5] seg.
T ~ U (0,1, 0,5)
Población = {búsquedas de ficheros en un HD}
¡Recordar! UT3
Ejemplo Concepto
Probabilidad
Continua
a b

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea
exactamente 0,125 segundos?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a
un fichero sea inferior a 0,125 segundos?
P(T < 0,125) = P(T ≤ 0,125) = F(0,125)
P(T = 0,125) = 0
t
b
t)
a
F(
a
-
=
-
£ £ ®
0,12
0 5
,1 0,5
0,1
0,5 0,1
0,125
0,0625
-
= =
-

e) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea
superior a 0,125 segundos?
P(T > 0,125) = P(T ≥ 0,125) = F(0,125)
P(T > 0,125) = P(T ≥ 0,125) = 1 - P(T ≤ 0,125) =
= 1- F(0,125) = 1 – 0,0625 = 0,9375
f) ¿Cuál es la media del tiempo de acceso a un fichero?
¿y la desviación típica?
a b 0,
E
1
( ) 0,3
T s
2
0,5
2
+ +
= = =
2 2
2 2
b a 0,5 0,1
T
( ) ( )
( ) 0,0133 s
12 12
s
- -
= = =
( ) 0,0133 0,
T 115 s
s = =
¡Recordar! UT5
Ejem. 3 va continua
Media Desv. Típica

g) ¿Qué porcentaje de las búsquedas superan los 0,2 segundos?
P(T > 0,2) = P(T ≥ 0,2) = F(0,2)
P(T > 0,2) = P(T ≥ 0,2) = 1 - P(T ≤ 0,2) = 1- F(0,2) =
h) ¿Cuál es valor de tiempo de búsqueda t que es no es
superado por el 50% de dichas búsquedas?
0,1
0,5 0
0,2
1 1 0,2
,1
5 0,75
-
= - = - =
-
à 75%
P(T < t) = P(T ≤ t) = F(t) = 0,5 (50% )
0,1
0,5
t
F( ) 0,
t 5
0,1
-
= =
-
0,3 segu o
t nd s
® =
Despejando
Mediana
Como es simétrica, la mediana coincide con la media.

i) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero esté
entre 0,125 y 0,2 segundos?
P(0,125 ≤ T ≤ 0,2) = P(T ≤ 0,2) - P(T ≤ 0,125) =
= F(0,2) - F(0,125) = 0,25 – 0,0625 = 0,1875
Calculado anteriormente
la probabilidad de que la variable tome valores dentro de
cualquier intervalo que nos interese se puede calcular
como: P(a < X £ b) = F(b) - F(a)
¡Recordar! UT5
Propiedades de F(x)

Lo
0
x
cumulative
probability
-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Gráficamente: F(x) T ~ U (0,1, 0,5)
P(T < 0,125) = P(T ≤ 0,125) = F(0,125) = 0,0625
F(x)
T
0,0625
0,125

Con los datos anteriores:
Sea Y el tiempo que se tarda en acceder consecutivamente a 10
ficheros situados al azar en el disco.
j) ¿Cuánto valdrá en promedio Y?
k) ¿Cuál sería la varianza de Y?
l) ¿Aproximadamente entre qué valores fluctuará Y en el 95% de los
casos? Se verá en la U4-3 y UD5
¡Recordar! UT4-0

La distribución Exponencial
Reliability

25
• Esta distribución es frecuentemente utilizada para modelar el
comportamiento de variables que representan:
• Vida o duraciones de equipos y/o componentes (Fiabilidad y Teoría
de Supervivencia):
• Tiempo hasta el fallo en equipos industriales
• Tiempo hasta el fallo de componentes electrónicos, …
• Tiempo que se tarda en realizar un proceso (Sistemas de Colas):
• Tiempo de espera en cola hasta que un proceso es atendido.
• Tiempo de ejecución de una instrucción,…
4– Distribución Exponencial

4– Distribución Exponencial: Definición
• Una v.a X sigue una distribución Exponencial cuando la v.a.
representa :
• el tiempo que transcurre hasta que se produce un determinado
suceso o evento.
• el tiempo transcurrido entre dos sucesos consecutivos.
• Los valores que puede tomar son siempre mayores o iguales a 0
(R+)
• Se simboliza como:
X ~ Exp( )
a
! es la tasa de ocurrencia del suceso o evento

27
Función de densidad
-
= ³
x
f(x) e x 0
a
a
= <
f(x) 0 x 0
Mean
2
1
0,66666
Exponential Distribution
x
density
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
α=0,5
α=1
α=1,5
Mean
2
1
0,66666
x
density
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
Mean
2
1
0,66666
x
density
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
Mean
2
1
0,66666
x
density
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
f(x)

F(x) y Esperanza Matemática
• La probabilidad acumulada P(X ≤ x), x ≥ 0 puede obtenerse sin más que
integrar la función de densidad f(x) entre 0 y x.
• El resultado proporciona la siguiente función:
=
E(X
1
)
a
=
2
2
1
( )
X
s
a
media varianza
¡Recordar! UD4-Parte 1
Cómo se calcula la Esperanza matemática
P(X > t) = e-at
! " ≤ $ = & − ()∝$ " ≥ ,
! " ≤ $ = , " < ,

Histograma y Función de densidad
X ~ Exp (1/3)
Histogram
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
X
0
2
4
6
8
10
percentage
Mea
3
0 3 6 9 12 15 18
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
density
población
muestra

Frecuencias y Probabilidades acumuladas
P(X ≤ x)
Mean
3
0 3 6 9 12 15 18
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
cumulative
probability
X ~ Exp (1/3)
Histogram
-2 8 18 28 38
X
0
20
40
60
80
100
percentage
población
muestra

Fiabilidad de un componente
• Si X (Tiempo que transcurre hasta que se avería un componente
electrónico) sigue una distribución Exponencial de parámetro α, X es tal
que la probabilidad P(X > t) disminuye exponencialmente conforme
aumenta t.
• P(X > t) proporciona lo que se conoce por Fiabilidad del componente a
las t unidades de tiempo (horas, días, etc.) o Reliability
S(t) = P(X > t) = e-at
Función de Fiabilidad o Supervivencia

Fiabilidad de un componente
P(X > t) = e-at

La duración T (horas de funcionamiento hasta que fallan o dejan de
funcionar correctamente) de las pantallas LCD de gama media fluctúa
exponencialmente. Se sabe que la vida media de las pantallas es de 40
años, suponiendo un funcionamiento de 4 horas al día.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de una pantalla sea
exactamente 5 años?

d) ¿Qué porcentaje de las pantallas durarán más de 10 años?
e) Suponiendo que las pantallas tienen 1 año de garantía, ¿Qué
porcentaje de las mismas tendrán que usar la garantía?
f) ¿Cuál es la media de la duración de las pantallas? ¿y la desviación
típica?
g) ¿Cuál es la mediana de la duración de estas pantallas LCD?
h) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de una pantalla esté
entre 5 y 10 años?

La duración T (horas de funcionamiento hasta que fallan) de las pantallas
LCD de gama media fluctúa exponencialmente. Se sabe que la vida media
de las pantallas es de 40 años, suponiendo un funcionamiento de 4 horas
al día.
Variable aleatoria T: duración de la pantalla hasta que falla
E = {0, 0,1, 0,123, …, ¥} años
T ~ Exp(a)
Población = {todas las pantallas LCD de esas características
que se fabriquen}
Continua

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de una pantalla
sea exactamente 5 años?
d) ¿Qué porcentaje de las pantallas durarán más de 10 años?
P(T = 5) = 0
P(T > 10) = P(T ≥ 10) = F(10)
P(T > 10) = P(T ≥ 10) = 1 - P(T ≤ 10) =
¿Cuánto vale a?
= 1- F(10) = 1- (1-e-a10) = e-a10
Se sabe:
E(T) = media = promedio
E(T) = 1/a
= 40 años
= 40 años a = 1/40

P(T > 10) = P(T ≥ 10) = e-a10 = e-10/ 40 = 0,7788
El 77,88% de las pantallas durarán más de 10 años
e) Suponiendo que las pantallas tienen 1 año de garantía, ¿qué
porcentaje de las mismas tendrán que usar la garantía?
P(T < 1) = P(T ≤ 1) = F(1) = 1- e-1/ 40 = 0,025
El 2,5% de las pantallas tendrán que usar la garantía
f) ¿Cuál es la media de la duración de una pantalla? ¿y la
desviación típica?
1
E( ) 40 años
T
a
= =
2 2
2
1
( ) E( ) 1600 añ
T o
T s
a
s = = =
( ) 1600 40 a
T ños
s
= = =
Desv. Típica

g) ¿Cuál es la mediana de la duración de estas pantallas LCD?
P(T ≤ med) = P(T ³ med) = 0,5 = e-med/ 40
(50% de los valores de T) £ mediana £ (50% de los valores de T)
Ln( 0,5 ) = ln (e-med/ 40 ); Ln( 0,5 ) = - med/ 40; med = 27,72 años
h) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de una
pantalla esté entre 5 y 10 años?
P(5 ≤ T ≤ 10) = F(10) - F(5) = 1- (1-e-a10) - [1- (1-e-a5) ] =
= e-5/ 40 - e-10/ 40 = 0,8825 – 0,7788 = 0,1037
¡Recordar! UT5
Función de Distribución. Propiedades
P(a < X £ b) = F(b) - F(a)

Gráficamente: f(t) T ~ Exp (α= 1/40)
Mean
40
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
0
0,003
0,006
0,009
0,012
0,015
0,018
0,021
0,024
0,027
T ≥ 0
f(t)
10
El área rayada bajo la curva es
la probabilidad: P(T > 10)
0,7788
Esto es válido para cualquier distribución de probabilidad de v.a.
continua. Sólo cambiará la forma de las áreas.

Gráficamente: f(t) T ~ Exp (α= 1/40)
Mean
40
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
0
0,003
0,006
0,009
0,012
0,015
0,018
0,021
0,024
0,027
T ≥ 0
f(t)
10
El área que queda debajo de f(t) representa
toda la probabilidad (1).
En el ejemplo es el área rayada en azul.
Si al área en azul le quitamos el área rayada
en rojo queda el área correspondiente a la
probabilidad P(T < 10)
P(T < 10) = 1 - P(T > 10) = 0,2212
0,7788
0,2212
Esto es válido para cualquier distribución de probabilidad de v.a.
continua. Sólo cambiará la forma de las áreas.

Gráficamente: F(t) T ~ Exp (α= 1/40)
T ≥ 0
F(t) Me
4
x
cumulative
probability
0 40 80 120 160 200 240
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
10
0,2212
P(T < 10)
P(T < med)
27,72
P(T ≤ mediana) = 0,5 = P( T ≥ mediana) Para cualquier distribución

Gráficamente: relación f(t) y F(t)
Mean
40
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
0
0,003
0,006
0,009
0,012
0,015
0,018
0,021
0,024
0,027
10
0,7788
T ≥ 0
Mean
40
x
cumulative
probability
0 40 80 120 160 200 240
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
10
0,2212
P(T < 10)
F(t)
f(t)
0,2212
T ~ Exp (α= 1/40)

Ejercicio 13
El tiempo transcurrido hasta el fallo de un componente electrónico
sigue una distribución exponencial cuya mediana es 69,3 horas.
a) ¿Qué porcentaje de los componentes tendrán una duración
superior a 90 horas?
b) ¿Cuál es el tiempo de vida medio?
c) Sabiendo que ya han transcurrido 300 horas sin que se produzca
ningún fallo, ¿cuál es la probabilidad de que en las próximas 50
horas el componente funcione correctamente?
Sol: a) 40,6% b) 100 h c) 0’606

Ejemplo: la probabilidad de que un sistema siga funcionando (sin fallar)
dentro de 2 años (x) es la misma para un sistema que a fecha de hoy lleva
funcionando 5 años (x0) que para otro lleva 10 años (x’0) sin fallar.
Propiedad
La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un día, o en
segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando
la distribución exponencial no tiene memoria
0
0
x
x )
(
0
0
x
0 0
x
P(X x ) e
X x
P e
X x P(X x )
x
x
e
a
a
a
+
-
-
-
> +
> +
æ ö = = =
ç ÷
> >
è ø
0
0
x
X x
P P(X
x
) e
X x x a
-
> +
æ ö = > =
ç ÷
>
è ø

Ejercicio 14
La duración T (horas de funcionamiento hasta que fallan) de ciertos
componentes electrónicos fluctúa aleatoriamente siguiendo una
distribución exponencial. Se sabe que las componentes duran en
promedio 400 horas.
Estos componentes se utilizan para el montaje de un dispositivo
electrónico (D) que debe conectar dos bornes A y B. Se desea que el
dispositivo tenga una fiabilidad de al menos 99% a las 400 horas.
Con el fin de garantizar esta fiabilidad se montan en paralelo N
componentes del tipo estudiado. ¿Cuánto debe valer como mínimo N?

v.a T ={horas de funcionamiento hasta el fallo del componente electrónico}
m = E(T) = duración media del componente = 400 h
T ~ Exp(a=1/400)
Aplicaciones a la fiabilidad
A1
A2
An
..........
D

SUCESOS
A1 = Duración componente 1 > 400h
A2 = Duración componente 2 > 400h
..........................................................
An = Duración componente n > 400h
D = Duración de las n componente en paralelo > 400h
P(T>400)=e-(400/400) = 0,367 à P(A1) = P(A2) = ..... = P(An) = 0,367
Fiabilidad de D: al menos 99% a las 400 horas
P(Duración dispositivo > 400h) ³ 0,99 à P(D) ³ 0,99

( ) ( ..... ) ( ..... ) ( ...... )
= + + + = - + + + = - =
n n n
P D P A A A P A A A P A A A
1 2 1 2 1 2
1 1
[ ] [ ]
( ) ( )..... ( ) ( ) , ,
é ù é ù
= - = - = - - = -
ë û ë û
n n n
n i
P A P A P A P A
1 2
1 1 1 1 0 367 1 0 632
[ ] [ ]
( ) , , ; , , ;
= - ³ £
n n
P D 1 0 632 0 99 0 632 0 01
[ ]
ln( , )
ln , ln( , ); ln( , ) ln( , ); ,
ln( , )
£ £ ³ =
n
n n
0 01
0 632 0 01 0 632 0 01 10 0359
0 632
n ³ 11

Ejercicios

Ejercicio 1
En el Departamento de Consultas de una empresa informática se
sabe que el tiempo de procesado de éstas (T) se distribuye como
una exponencial de parámetro α y que se requieren menos de 10
segundos para procesar el 95% de las consultas.
a) ¿Cuánto vale en promedio el tiempo de procesado?.
b) ¿Qué probabilidad tienen los clientes de esperar más de 20
segundos en una consulta?
c) ¿Cuánto tiempo tienen que transcurrir para que el 50% de las
consultas se hayan procesado? ¿A qué parámetro de los
estudiados corresponde este valor?
Sol: a) 200 s b) 0,904 c) 138’63 s

Ejercicio 2
El tiempo medio de impresión de láminas en un determinado plotter
varía uniformemente entre 3 y 5 minutos.
a) ¿Cuál será el tiempo medio de impresión de 50 láminas?
b) ¿Y la desviación típica?
c) Calcula la probabilidad de que se necesite más de 199 minutos
para imprimir 50 láminas.
Sol: a) 200 min b) 4,08d min c) Solo plantear. Se hará después de ver la Normal

Ejercicio 3 (Examen ETSINF)
Un dispositivo está formado por seis componentes idénticos (CA,
CB, CC, CD, CE, CF) montados como aparece en la siguiente figura:
Se sabe que el tiempo de funcionamiento de cada componente
hasta el fallo sigue una distribución exponencial de mediana 650
horas.
CA
CB
CC
CD
CE
CF

Ejercicio 3 (Examen ETSINF)
a) Sabiendo que una componente lleva funcionando 300 horas,
¿cuál es la probabilidad de que siga funcionando correctamente más
de 400 horas en total?. (5 puntos)
b) Asumiendo que las 6 componentes del dispositivo funcionan
independientemente, calcular la fiabilidad del dispositivo a las 800
horas y definir todas las variables y sucesos empleados. (5 puntos)
Sol: a) 0,899 b) 0,22

Ejercicio 4 (Práctica GII)
Una empresa que fabrica chips considera un chip defectuoso si su vida no
supera las 100 horas de funcionamiento. Sabiendo que la duración en
horas de un chip sigue una distribución exponencial de media 100 horas.
Se pide:
a) Si un chip lleva 500 horas funcionando, ¿cuál es la probabilidad de que
el tiempo total de funcionamiento del mismo sea superior a las 1000
horas?
b) Esta empresa vende los chips que fabrica en cajas de 50 unidades, ¿cuál
es la probabilidad de que una caja contenga más de un chip defectuoso?
Sol: a) 0,6065 b) 0,9575

Ejercicio 5 (Examen)
3. A un procesador llegan lotes de código para su procesamiento. El
tiempo de procesamiento de un lote se distribuye exponencialmente con
media 3 unidades de tiempo (u.t.).
Calcular:
a) Probabilidad de que el procesamiento de un lote dure más de 5 u.t.?
b) Si un lote lleva procesándose 2 u.t. ¿cuál es la probabilidad de que el
tiempo total de procesamiento sea inferior a 5 u.t.?
c) Si se extraen 10 lotes al azar ¿cuál es la probabilidad de que 8 o más
tengan un tiempo de procesamiento mayor de 3 u.t.?

a) v.a. T = {Tiempo de procesamiento de un lote} ~ Exp(a=1/3)
P(T>5)=e-(1/3)x5 = 0,189
b)
( ) ( ) ( ) ( )
,
( ) ( )
< < > - > -
< = = = =
> > >
P T P T P T e e
T
P
T P T P T e
5
2
3 3
2
3
2 5 2 5
5 0 631
2 2 2
P(X < 3)

c) v.a. Y = {Nº de lotes, en un grupo de 10 cuyo tiempo de procesamiento
es > 3 ut}
Y~ B(n=10, p=P(T>3)=0,368) P(T>3)=e-3/3 = 0,368
( ) ( ) ( ) ( )
, , , , , , ,
³ = = + = + = =
æ ö æ ö æ ö
= + + =
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
P Y P T P T P T
x x x
8 2 9 1 10 0
8 8 9 10
10 10 10
0 368 0 362 0 368 0 362 0 368 0 362 0 007
8 9 10

• Para aprobar esta UD, deberás de ser capaz de resolver problemas de
Estadística sobre las distribuciones continuas Uniforme y Exponencial del
tipo que aparecen en las Unidad Didáctica 4, en las transparencias, en los
exámenes de otros cursos y en las Presentaciones (todos estos
documentos los tienes disponibles en PoliformaT).
• Para ello deberás ser capaz de…

Debes ser capaz de…
• Identificar y definir la o las variables aleatorias
implicadas en un ejercicio
1
• Precisar y escribir correctamente la distribución
de probabilidad que sigue o siguen las variables
definidas y sus parámetros (U y Exp)
2
• Calcular las probabilidades asociadas a dichas
variables
3

Debes ser capaz de …
Como ves, para resolver un ejercicio hay adquirir cierto grado de
competencia en diferentes niveles:
• Calcular probabilidades asociadas a la distribución Exponencial (Exp)
• Calcular los parámetros poblacionales (m, s2 y s) de variables aleatorias
continuas (independientes entre sí) (Exp y U)
• Calcular los parámetros poblacionales (m, s2 y s) de una combinación
lineal de variables aleatorias continuas Uniformes e independientes entre
sí.
• Precisar y escribir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria
continua (U y Exp)
• Identificar las variables aleatorias que aparecen implícitamente o
explícitamente en el enunciado de un problema y definirlas correctamente

Fases en la resolución de problemas

Resolución de problemas
1 • ¿Qué nos piden calcular?
2 • ¿Cuál es la variable aleatoria?
3 • ¿Cuál es la población asociada?
4 • ¿v.a. continua o discreta?
5 • ¿Qué distribución (modelo) sigue?
6 • ¿Cuáles son sus parámetros?
7 • Calcula las probabilidades solicitadas

Fin
Fuentes: Romero y Zúnica: “Métodos Estadísticos en Ingeniería”
Estas transparencias NO son unos apuntes, son solo un guión de las explicaciones hechas en clase y algunos ejemplos adicionales.
Elaborado por: Prof. E. Vázquez
Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Compartir bajo la misma licencia
2.5 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/es/

UD-04-3-Distrib-Probabilidad-3Continuas-Grado-17-18.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a UD-04-3-Distrib-Probabilidad-3Continuas-Grado-17-18.pdf

Similar a UD-04-3-Distrib-Probabilidad-3Continuas-Grado-17-18.pdf (20)

Más de ARACELIGINESZARATE1

Más de ARACELIGINESZARATE1 (20)

Último

Último (20)

UD-04-3-Distrib-Probabilidad-3Continuas-Grado-17-18.pdf