INVESTIGACION

1. VARIABLEALEATORIA
Se conoce con este nombre a la relación existente entre una variable estructurada en valores
numéricos con las probabilidades respectivas de obtener dichosvaloresnuméricos. Es aquella
que asume diferentes valores a consecuencia de los resultados posibles de un experimento
aleatorio.Enotras palabraslavariable aleatoriaobedece lafunciónque se le asigneparapoder
determinar la ocurrencia del suceso.
Esta relación de un valor nominal con su respectiva probabilidad, es importante para la
investigaciónestadísticayaque atravésde dicharelaciónse puede conocerlamediaaritmética
o esperanza matemática, la varianza, la desviación estándar, etc.; sin la necesidad de conocer
en forma descriptiva todos los datos de la variable.
ESPERANZA MATEMATICA O MEDIA ARITMETICA (E(X))
Eslasumatoriadel productode lavariable definidaporsurespectivaprobabilidadde ocurrencia,
a la esperanza también se le conoce con el nombre de promedio.
Se define de la siguiente manera:
E(X) = ∑ X P(X)
VARIANZA (V(X))
Es la dispersiónque existe conrespectoa la mediaaritmética,esla sumatoria del productode
la variable aleatoriaal cuadradopor laprobabilidadmenoslamediaaritméticaal cuadrado.Se
define de la siguiente manera:
V(X) = ∑ X2
P(X) - [X P(X)]2
DESVIACION ESTANDAR (D.E.(x))
Se obtiene de la raíz cuadrada de la varianza. Se define
D.E.(x) = √ 𝑉(𝑥)
Se ha habladoque lavariable aleatoriareemplazade algunamaneraalaestadísticadescriptiva;
entonces con unos datos descriptivosde una distribución de frecuencias, se va a calcular: la
media aritmética, la varianza y la desviación estándar, luego con esos mismos datos van a ser
transformados en variable aleatoria, para calcularles: la media aritmética o esperanza
matemática, la varianza y la desviación estándar.
EJEMPLO

2. SUELDOS fi hi Xi fiXi (Xi – X) fi(Xi-X)2
800-1200 24 0.1500 1000 24000 765 14045400
1200-1600 38 0.2375 1400 53200 365 5062550
1600-2000 50 0.3125 1800 90000 35 61250
2000-2400 30 0.1875 2200 66000 435 5676750
2400-2800 12 0.0750 2600 31200 835 8366700
2800-3200 6 0.0375 3000 18000 1235 9151350
160 1.0000 282400 42364000
X = 282400 /160 = 1765
S2
= 42364000/160 = 264775 u2
S = √264775 = 514.56
Ahorapara demostrarlarelacióndirectade estosdatos descriptivosconlavariable aleatoria,
se convertirála distribuciónde frecuenciasodistribuciónde datosenvariable aleatoria;
tomandola marca de clase (Xi) comovariable yla frecuenciarelativaabsoluta(hi =P(x) =fi/N)
como probabilidadde ocurrenciaque realmente loes:
X 1000 1400 1800 2200 2600 3000 ∑
P(X) 0.1500 0.2375 0.3125 0.1875 0.0750 0.0375 1
X P(X) 150 332.5 562.5 412.5 195 112.5 1765
X2
P(X) 150000 465500 1012500 907500 507000 337500 3380000
E(x) = ∑ X P(X) = 1765
V(x) = ∑ X2
P(X) - [∑X P(X)]2
= 3380000 – 17652
= 264775 u2
D.E. (x) = √ 𝑉(x) = √264775= 514.56
Al ver losresultadosobtenidosporlosdatosdescriptivosylosobtenidosporlavariable
aleatoriase puede observarque se obtienenlosmismosresultados.
1. Hallarla esperanza,lavarianzayla desviaciónestándar;si se lanzaundadolegal y se
designacomoX lavariable aleatoriacomoel doble del númeroque aparece:
Solución: dado = 1,2,3,4,5,6 X = 2,4,6,8,10,12
X 2 4 6 8 10 12
P(X) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 6/6 = 1
X P(X) 2/6 4/6 6/6 8/6 10/6 12/6 42/6 = 7
X2
P(X) 4/6 16/6 36/6 64/6 100/6 144/6 364/6 =
60.67
E(x) = ∑ X P(X) = 7

3. V(x) = ∑ X2
P(X) - [∑X P(X)]2
= 60.67 – 72
= 11.67 u2
D.E. (x) = √ 𝑉(x) = √11.67= 3.42
2. un contratistaconsultaa tres operadoresparaconstruiruna obra: el primeroestima
que la realizaraen20 días con el 40% de probabilidad,el segundoestima30días conel
35% de probabilidadyel terceroestima14díascon el 25% de probabilidad.¿encuántos
días se espera que concluya la obra?
X 14 20 30 ∑
P(X) 0.25 0.40 0.35 1
X P(X) 3.5 8 10.5 22
Rpta: se espera que concluya la obra en 22 dias
2. Un inversionistase dacuentaque tiene laprobabilidaddel 60% de obtenerunautilidad
de S/.5000.00 y una probabilidaddel 25% de perderS/.5000.00 y un 15% de no ganar
ni de perder ¿Cuál es la esperanza del inversionista?
X +5000 -5000 0 ∑
P(X) 0.6 0.25 0.15 1
X P(X) 3000 -1250 0 1750
3. En una competencia de tiro dos competidores tienen las probabilidades de dar en el
blancode 0.8 y0.75; si cada unohace un solodisparo¿Cuál eslaesperanzade darenel
blanco?
X 1 1 ∑
P(X) 0.8 0.75
X P(X) 0.8 0.75 1.55
4. ¿Cuál es nuestra esperanza matemática, si compramos uno de los mil boletos de una
rifa,cuyo primerpremioesuna televisiónde últimageneración,que vale S/.480.00; el
segundopremioesuncelularS6que vale S/.120.00 yel tercerpremioesunblue ray de
S/. 40.00?
Rpta: 0.64
X 480 120 40 ∑
P(X) 1/1000 1/1000 1/1000
X P(X) 0.48 0.12 0.04 0.64
5. Hallar la desviación estándar de la tabla siguiente:
X 0 5 8 9 ∑
P(X) 0.10 0.35 0.25 0.30
X P(X) 0 1.75 2.00 2.70 6.45
X2
P(X) 0 8.75 16.00 24.30 49.05

4. E(x) = ∑ X P(X) = 6.45
V(x) = ∑ X2
P(X) - [∑X P(X)]2
= 49.05 – 6.452
= 7.4475 u2
D.E. (x) = √ 𝑉(x) = √7.4475= 2.73
6. Hallar laesperanzade que entresdeclaracionesde amora tu noviaenunate acepte
X 1 1 1 ∑
P(X) 1/2 1/2 1/2
X P(X) 0.5 0.5 0.5 1.5
6. Se vaa elegiruncomité de4personasyenlaelecciónparticipan5hombresy7mujeres.
Hallar la desviación estándar de que el comité hayan mujeres