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Tema Ecuaciones
Ecuaciones de Grado Mayor que Dos
Profesor Juan Sanmartín
Matemáticas
Recursos subvencionados por el…
 Bicuadradas.
 De grado mayor que dos.
 Con radicales.
 Con X en el denominador
Ecuaciones Bicuadradas
024
 cbxax
Grado del polinomio
La forma de una ecuación bicuadrada es:
Puede presentar los casos que hemos visto en la ecuación de segundo
grado donde b y c son cero, la resolvemos de la siguiente manera:
2
xz  42
xz sustituimos
Y obtenemos la siguiente ecuación
02
 cbzaz
02
 cbzaz
Tenemos ahora una ecuación de
segundo grado que resolvemos como
hemos visto, teniendo en cuenta los
casos particularesa
cabb
z



2
42
a
c
z
a
c
zcazcaz



 222
0
 







0
0
002
baz
z
bazzbzaz
Una vez que obtenemos el valor de z tenemos que obtener el o los valores de x.
zxxz entonces
  2
En una ecuación bicuadrada podemos obtener cero, dos o cuatro soluciones
045 24
 xx
Ejemplo
1a 
Resolvemos entonces la ecuación de segundo grado…
5-b  4c 
 






2
16255
12
41455
2
z
0452
 zz
2
xz ssustituimo
 
42
xz ssustituimo
 



2
95
z
44
2
8
2
35
11 

 zz
11
2
2
2
35
22 

 zz
Una vez obtenidos los valores de Z, tenemos que obtener los valores de X
zxxz entonces
  2
41 z 12 z
241  zx
21 x
22 x
111  zx
13 x
14 x
Obtenemos 4 soluciones
0187 24
 xx
Resuelve
1a 
Resolvemos entonces la ecuación de segundo grado…
7b  18c 
   






2
72497
12
181477
2
z
01872
 zz
2
xz ssustituimo
 
42
xz ssustituimo
 



2
1217
z
99
2
18
2
117
11 

 zz
22
2
4
2
117
22 



 zz
Una vez obtenidos los valores de Z, tenemos que obtener los valores de X
zxxz entonces
  2
91 z 22 z
391  zx
31 x
32 x
 21zx
Ecuaciones de grado mayor que 2
01213 234
 xxxx
Paso 1.- Descomponemos la ecuación en factores.
041
1233
01211
12111
0121121
1211211
1211311







     043111213 234
 xxxxxxxx
Aplicamos RUFFINI para
factorizar la ecuación
Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..
    












04
03
01
01
04311
x
x
x
x
xxxx
404
303
101
101
4
3
2
1




xx
xx
xx
xx
Solución
Ecuaciones de grado mayor que 2
0121233 234
 xxxx
Paso 1.- Descomponemos la ecuación en factores.
Aplicamos RUFFINI para
factorizar la ecuación
  0443121233 23234
 xxxxxxxx
021
422
0401
4011
4411





        02213443 23
 xxxxxxxx
Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..
     












02
02
01
03
02213
x
x
x
x
xxxx
202
202
101
003
4
3
2
1




xx
xx
xx
xx
Solución
Ecuaciones con radicales
Existe una raíz dentro de la ecuación y la forma de resolverla es la siguiente:
xxx  112 121  xxx
1212  xx    22
1212  xx
    124141212 2
22
 xxxxx
Paso 1.- Separamos la raíz para un lado y el resto para otro del igual.
Paso 2.- Elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz.
Paso 3.- Una vez obtenida la ecuación (en este caso de 2º grado) la
resolvemos…







0132
0264
011244
2
2
2
xx
xx
xxx
2a 
3b 
1c 
 






4
893
22
12433
2
x



4
13
x
1x1
4
4
4
13
x 11 


2
1
x
2
1
4
2
4
13
x 22 


Resuelve la siguiente ecuación
352752
 xxxx
352752
 xxxx
 2
2
22
83758375 



  xxxxxx
xxxx 4864975 22

0574384864975 222
 xxxxxx
Una vez obtenida la ecuación
8a 
34b 
57c 
 
 







16
1824184943
82
57844343 2
x




16
2542
x
8
19
8
19
16
38
16
543
11 





 xx
33
16
48
16
543
22 





 xx
057438 2
 xx
Ecuaciones con radicales (2 radicales)
Existen dos raíces dentro de la ecuación y la forma de resolverla es la siguiente:
264  xx
Paso 1.- Separamos una raíz para un lado y el resto para otro del igual.
(Es recomendable que pasemos al otro lado la negativa para evitar errores con el signo)
Paso 2.- Desarrollamos los cuadrados. Aplicamos identidades notables.
xx  624
   22
624 xx 
  xxx  64644
2
xxx  64644
La raíz se va con la potencia.
Paso 2.- Operamos ahora como en el caso de un solo radical separando el radical
para un lado.
xxx  64644
xxx  64644
xx  6462 xx  623
   22
623 xx   xxx  64692
Paso 3.- Elevamos ambos lados otra vez al cuadrado para eliminar el radical.
02494642469 22
 xxxxxx
Paso 4.- Una vez obtenida la ecuación
1a 
2b 
15c 
   






2
6042
12
151422
2
x



2
642
x
5
2
82
11 

 xx
22
2
82
22 

 xx
01522
 xx
Ecuaciones con x en el denominador
Son ecuaciones con fracciones donde la x también está en el denominador:
2
3
32
5



 x
x
x
Paso 1.- Calculamos el m.c.m. para hallar denominador común a ambos lados.
    12102322...
22
33
22
2










xxxxmcmxx
xx
   
  
   
12102
323
322
22325
2





xx
xx
xx
xxx
    12102322 2
 xxxx
Tanto una expresión como otra son válidas ya que son iguales
   12102
18153
322
423010
2
22





xx
xx
xx
xxx
18153423010 22
 xxxxx
018304151032 22
 xxxxx
0122
 xx
   
  
   
12102
323
322
22325
2





xx
xx
xx
xxx
Paso 2.- Operamos en el numerador y eliminamos el denominador en ambos
lados por ser igual.
Paso 3.- Resolvemos la ecuación de 2º grado en este caso.
Paso 4.- Una vez obtenida la ecuación
1a 
1b 
12c 
   
 







2
4811
12
121411
2
x




2
491
x
4
2
71
11 


 xx
33
2
71
22 


 xx
0122
 xx
Fin de Tema
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Tema Ecuaciones - Ecuaciones de Grado Mayor de 2

  • 1. Tema Ecuaciones Ecuaciones de Grado Mayor que Dos Profesor Juan Sanmartín Matemáticas Recursos subvencionados por el…  Bicuadradas.  De grado mayor que dos.  Con radicales.  Con X en el denominador
  • 2. Ecuaciones Bicuadradas 024  cbxax Grado del polinomio La forma de una ecuación bicuadrada es: Puede presentar los casos que hemos visto en la ecuación de segundo grado donde b y c son cero, la resolvemos de la siguiente manera: 2 xz  42 xz sustituimos Y obtenemos la siguiente ecuación 02  cbzaz
  • 3. 02  cbzaz Tenemos ahora una ecuación de segundo grado que resolvemos como hemos visto, teniendo en cuenta los casos particularesa cabb z    2 42 a c z a c zcazcaz     222 0          0 0 002 baz z bazzbzaz
  • 4. Una vez que obtenemos el valor de z tenemos que obtener el o los valores de x. zxxz entonces   2 En una ecuación bicuadrada podemos obtener cero, dos o cuatro soluciones
  • 5. 045 24  xx Ejemplo 1a  Resolvemos entonces la ecuación de segundo grado… 5-b  4c          2 16255 12 41455 2 z 0452  zz 2 xz ssustituimo   42 xz ssustituimo      2 95 z 44 2 8 2 35 11    zz 11 2 2 2 35 22    zz
  • 6. Una vez obtenidos los valores de Z, tenemos que obtener los valores de X zxxz entonces   2 41 z 12 z 241  zx 21 x 22 x 111  zx 13 x 14 x Obtenemos 4 soluciones
  • 7. 0187 24  xx Resuelve 1a  Resolvemos entonces la ecuación de segundo grado… 7b  18c            2 72497 12 181477 2 z 01872  zz 2 xz ssustituimo   42 xz ssustituimo      2 1217 z 99 2 18 2 117 11    zz 22 2 4 2 117 22      zz
  • 8. Una vez obtenidos los valores de Z, tenemos que obtener los valores de X zxxz entonces   2 91 z 22 z 391  zx 31 x 32 x  21zx
  • 9. Ecuaciones de grado mayor que 2 01213 234  xxxx Paso 1.- Descomponemos la ecuación en factores. 041 1233 01211 12111 0121121 1211211 1211311             043111213 234  xxxxxxxx Aplicamos RUFFINI para factorizar la ecuación
  • 10. Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..                  04 03 01 01 04311 x x x x xxxx 404 303 101 101 4 3 2 1     xx xx xx xx Solución
  • 11. Ecuaciones de grado mayor que 2 0121233 234  xxxx Paso 1.- Descomponemos la ecuación en factores. Aplicamos RUFFINI para factorizar la ecuación   0443121233 23234  xxxxxxxx 021 422 0401 4011 4411              02213443 23  xxxxxxxx
  • 12. Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..                   02 02 01 03 02213 x x x x xxxx 202 202 101 003 4 3 2 1     xx xx xx xx Solución
  • 13. Ecuaciones con radicales Existe una raíz dentro de la ecuación y la forma de resolverla es la siguiente: xxx  112 121  xxx 1212  xx    22 1212  xx     124141212 2 22  xxxxx Paso 1.- Separamos la raíz para un lado y el resto para otro del igual. Paso 2.- Elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz.
  • 14. Paso 3.- Una vez obtenida la ecuación (en este caso de 2º grado) la resolvemos…        0132 0264 011244 2 2 2 xx xx xxx 2a  3b  1c          4 893 22 12433 2 x    4 13 x 1x1 4 4 4 13 x 11    2 1 x 2 1 4 2 4 13 x 22   
  • 15. Resuelve la siguiente ecuación 352752  xxxx 352752  xxxx  2 2 22 83758375       xxxxxx xxxx 4864975 22  0574384864975 222  xxxxxx
  • 16. Una vez obtenida la ecuación 8a  34b  57c             16 1824184943 82 57844343 2 x     16 2542 x 8 19 8 19 16 38 16 543 11        xx 33 16 48 16 543 22        xx 057438 2  xx
  • 17. Ecuaciones con radicales (2 radicales) Existen dos raíces dentro de la ecuación y la forma de resolverla es la siguiente: 264  xx Paso 1.- Separamos una raíz para un lado y el resto para otro del igual. (Es recomendable que pasemos al otro lado la negativa para evitar errores con el signo) Paso 2.- Desarrollamos los cuadrados. Aplicamos identidades notables. xx  624    22 624 xx    xxx  64644 2 xxx  64644 La raíz se va con la potencia.
  • 18. Paso 2.- Operamos ahora como en el caso de un solo radical separando el radical para un lado. xxx  64644 xxx  64644 xx  6462 xx  623    22 623 xx   xxx  64692 Paso 3.- Elevamos ambos lados otra vez al cuadrado para eliminar el radical. 02494642469 22  xxxxxx
  • 19. Paso 4.- Una vez obtenida la ecuación 1a  2b  15c            2 6042 12 151422 2 x    2 642 x 5 2 82 11    xx 22 2 82 22    xx 01522  xx
  • 20. Ecuaciones con x en el denominador Son ecuaciones con fracciones donde la x también está en el denominador: 2 3 32 5     x x x Paso 1.- Calculamos el m.c.m. para hallar denominador común a ambos lados.     12102322... 22 33 22 2           xxxxmcmxx xx            12102 323 322 22325 2      xx xx xx xxx     12102322 2  xxxx Tanto una expresión como otra son válidas ya que son iguales
  • 21.    12102 18153 322 423010 2 22      xx xx xx xxx 18153423010 22  xxxxx 018304151032 22  xxxxx 0122  xx            12102 323 322 22325 2      xx xx xx xxx Paso 2.- Operamos en el numerador y eliminamos el denominador en ambos lados por ser igual. Paso 3.- Resolvemos la ecuación de 2º grado en este caso.
  • 22. Paso 4.- Una vez obtenida la ecuación 1a  1b  12c               2 4811 12 121411 2 x     2 491 x 4 2 71 11     xx 33 2 71 22     xx 0122  xx
  • 23. Fin de Tema Busca enlaces a otras páginas relacionadas con el tema en… www.juansanmartin.net