1. Trigonometría
SEMANA 2 1
( 3L + x ) ( 2L ) = 8 L²
LONGITUD DE ARCO 2
3L + x = 8 L
1. Calcule la longitud de un arco en x = 5L
un sector circular cuyo ángulo RPTA.: C
central mide 1º y su radio mide
1800 cm.
3. Si: AB + CD = 26. Halle el área del
sector circular EOF.
π π π
A) m B) m C) m
2 5 8 4 A
π π A) 1
D) m E) m C
10 20
B) 2
RESOLUCIÓN o
2θ 4 E 4
C) 3 θ
D
18
D) 4
L F
1º
E) 6 B
Si: RESOLUCIÓN A
4
π
1º = rad ; 1800 cm = 18 m C
180 8
Se pide: o
2θ 4 E 4
D
π θ
L= x 18
180
π F
L= m
10 B
RPTA.: D
 +  CD = 26
1 AB
23 {
2. Se muestra sectores circulares
concéntricos, donde S representa 12 ( 3θ ) + 8 ( 2θ ) = 26
área, obtener x. si S = 8L² 52θ = 26
2L 1
A) 2 L θ=
2
B) 4 L
S x θR 2 1 1
C) 5 L 3L S∆EOF = =   ( 4) ²
2 2 2
D) 6 L
S∆EOF = 4
E) 8 L RPTA.: D
RESOLUCIÓN 4. Una regadera instalada en un
S = 8 L² parque, tiene un alcance de 8 m y
barre un ángulo de 120g. Calcule
CICLO 2007-II Página 112 Prohibida su Reproducción y Venta

2. Trigonometría
el área del sector circular que Se pide:
genera esta regadera. π
gR
V= 3
A) 19,2 π m² B) 17,6 π m² π
C) 18,9 π m² D) 12,6 π m² gR
9
E) 14,4 π m² V=3
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
6. Si a un sector circular le
cuadruplicamos su ángulo central
y aumentamos 5 m a su radio,
S se obtendrá un nuevo sector
8 circular que tiene un área que es
120 g 49 veces el área del sector circular
inicial. Determine el radio del
8
nuevo sector.
3π A) 2 m B) 3 m C) 5 m
Si: 120g = rad
5 D) 7 m E) 9 m
Se pide:
1 3π
S = g g 8² RESOLUCIÓN
2 5 Inicialmente:
S = 19,2 π m²
RPTA.: A
θrad S θR²
S=
5. Si CAE es un sector circular y 2
»
ED
AB = BC. Halle : V = Finalmente:
»
DC
A R + 5m= ?
A) 2
E
B) 3
4 θrad 49 S
C) 4 B 20º
D) 5
E) 6 D ( 4θ ) ( R + 5) ²
49 S =
C 2
↓
RESOLUCIÓN
θ R² 4θ ( R + 5) ²
A 49 g =
R 2 2
E 60º
20º
B 20º R 7R = 2 ( R + 5)
R = 2m
80º
80º
D
C ∴R + 5m = 7m
RPTA.: D
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3. Trigonometría
RESOLUCIÓN
x²
7. Halle el área sombreada:
5
A x (x + 1)
A) π C θ x (x - 1)
B) 2 π
C) 3 π o 30º 6
D) 4 π x ( x − 1)
5θ = x ( x − 1) → θ = .........(1)
5
E) 5 π D
B Luego :
 x − 1
RESOLUCIÓN x ( x + 1) = ( x² + 5) ( x )  
 5 
A 5(x+1) = (x²+5)(x−1)
a C 5x + 5 = x³ − x² + 5x − 5
10 = x³ − x²
∴ E = x³ − x² − 1
o 30º 6 E=9
RPTA.: E
b
D
B 9. En la figura, el trapecio circular
Sx = S∆AOB − S∆COD ABCD y el sector circular COD
θ θ m
Sx = a² − b² tienen igual área. Halle:
2 2 n
θ
Sx = a² − b² 2 A
2 
A) D
1π 2
Sx =   6²
2 6  1
B) o m n
36π 2
Sx =
12 C) 2
Sx = 3π C
RPTA.: C D) 2 B
E) 1
8. Calcule: E = x³ − x² − 1, si:
A
x² RESOLUCIÓN
C
5
x (x + 1)
o x (x - 1)
θrad S n
D
m S
B
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
CICLO 2007-II Página 114 Prohibida su Reproducción y Venta

4. Trigonometría
m² 
menor : S =
2θ 

 → (2R+L)²=16a²→(2R+L)² = 8(2a²)
 ÷
→ 4R² + 4R.L + L² = 8(R.L)
n² 
mayor : 2S =  → 4R² − 4R.L +L² = 0
2θ 
 → (2R−L)² = 0 → 2R − L = 0
1 m² → 2R = L → 2R = θ R → θ = 2
=
2 n²
1 m m 2 RPTA.: B
= → =
2 n n 2
11. De la figura mostrada, AOF,
BOE y COD son sectores
RPTA.: A
circulares, además:
10. Se tiene un sector circular y un BC = DE = a, AB = EF = 2a,
cuadrado, con equivalente área e L CD = x, L BE = y, L AF = Z
» » »
igual perímetro; luego la medida,
en radianes, de su ángulo central
correspondiente resulta ser: Calcule: M = (2x + z) y−1
A
1 A) 1 B
A) 1 rad B) 2 rad C) rad
2 B) 2 C
1
D) 4 rad E) rad C) 3 o
4
D) 4 D
RESOLUCIÓN E) 5 E
F
R
RESOLUCIÓN
θ rad A
S L B
2a
a
C
R
o θ x y z
Condiciones:
LgR D
i) S =S → = a² a
2 E 2a
→ R.L = 2a² F
De la figura:
ii) Perímetro = Perímetro
y−x z−y
θ= =
→ 2R + L = 4a a 2a
a → 2y − 2x = z − y
→ 3y = 2x + z
a S a Luego:
M = (3y) . y−1
∴M=3
a
RPTA.: C
CICLO 2007-II Página 115 Prohibida su Reproducción y Venta

5. Trigonometría
22
Considere π =
S2 + S3 7
12. Calcule: M = 12 11
S1
A) mts B) mts
Donde S1, S2 y S3 son las áreas de 5 5
las regiones sombreadas
5 12
C) mts D) mts
12 7
5
S2 E) mts
θ
11
2θ
S1
S3 RESOLUCIÓN
1 1
S= L R ⇒ 7,2 = L(6)
2 2
12 13 1 24
A) B) C) 144
7 2 12 ⇒ = L(6)
D) 5π + 2 E) 5π − 2 10
RESOLUCIÓN 12
L= mts
5
RPTA.: A
S2 = 3S 14. Se tiene una bicicleta cuyas
θ ruedas tienen por radios R1 y R2
2 θ S1 = 2S
6S (R1 < R2); cuando la rueda menor
S3. = 10S gira αº la mayor gira αg. ¿En qué
relación se encuentra los radios?
3 8
S1 = 2S A) B) C)
7 13
S2 = 3S
9
S3 = 10S
10
3 9
S2 + S3 13 D) E)
M= = 10 4
S1 2
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
Si θ1 y θ2 son los ángulos que
13. Dos postulantes de la UNAC,
giran la rueda menor y mayor
observan un reloj eléctrico cuyas
respectivamente.
agujas están detenidas, luego de
la falla eléctrica en el Callao, uno
de los estudiantes dice que el
área que hacen las agujas es
de 7,2 m² y si el reloj tiene un αg
radio de 6 m. ¿Cuál será el arco αº R2
entre las agujas?
R1
CICLO 2007-II Página 116 Prohibida su Reproducción y Venta

6. Trigonometría
RPTA.: E
En una bicicleta se cumple que:
θ1R1 = θ2R2 16. En el sistema mostrado, si la
αºR1 = (αg)R2
3
rueda A da de vuelta, entonces
4
 9 
αºR1 = ( αº )   R2 la longitud recorrida por la rueda
 10 
C es:
R1 9
=
R 2 10
RPTA.: C
B
15. Se tienen dos ruedas conectadas
por una faja; si hacemos girar la 2
8 6
faja, se observa que las ruedas
giran ángulos que suman 144º. A
Determine la diferencia de los C
números de vueltas que dan estas
ruedas si sus radios miden 3 m y A) 3,6 π B) 36 π C) 1,8 π
5m 9π
D) 18 π E)
1 1 1 4
A) B) C)
3 8 9
1 1 RESOLUCIÓN
D) E)
4 10 A
B
RESOLUCIÓN
2
θ1 + θ2 = 144º 8 6
5 C
3
3 # VA = V
4
3 3π
⇒ θA = ( 2π rad) = rad
→ L1 = L2 → θ1R1 = θ2R2 4 2
θ1 R 2 V 5
= ⇒ 1 = * A − B:
θ2 R1 V2 3
LA = LB
θARA = θBRB
θ1 θ 144π 1
+ 2 = g  3π 
2 π 2π 180 2π  2  ( 6 ) = θB ( 2 )
2 2  
V1 + V2 = ⇒ 8k = ⇒ V1 − V2 = 2k 9π
5 5 θB =
1 1 2
k= V1 − V2 = 2g
20 20
* B − C:
1
=
10
CICLO 2007-II Página 117 Prohibida su Reproducción y Venta

7. Trigonometría
9π 1 1 2
θB = θC = Sx = αR² − αr1 Re emplazando
2 2 2
9π 1 1
∴ L C = θCR C = ( 8 ) = 36π Sx = αR² − θR²
2 2 2
RPTA.: B 1
Sx = R² ( α − θ )
2
17. Determine el área de la región RPTA.: A
sombreada, sabiendo que las
áreas de los sectores AOB y COD 18. Del gráfico, halle el número de
son iguales (α y θ en radianes) vueltas que dará una ruedita de
o radio 1, al ir de A hasta B si
CB = 8π y AOC es un sector
circular.
α θ
A o
R
A 5
B
D
M C B
C
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
1 1
A) R² ( α − θ ) B) R² ( α + θ )
2 2 RESOLUCIÓN
1 1
C) R² ( α² − θ² ) D) R² ( α² − θ ) A o
2 2
1 4
E) R² ( α − θ² )
2 L1 L2
RESOLUCIÓN C B
8π
1 2
α θ
S= α r1 L1 + L2 = 2π (1) . N
2
R2 π
r1 ⇒ αr1 = θR 2
2
2 g + 8π = 2π g
4 N
2
1
S S S= θR² 10π = 2πgN
2
N=5
RPTA.: D
SX
S + Sx = ST 19. Halle el número de vueltas que da
Sx = ST − S la rueda de radio (r = 1) al ir de la
posición A hasta la posición B.
CICLO 2007-II Página 118 Prohibida 20 Reproducción y Venta
su
r o
A o B r

8. Trigonometría
A) 85 B) 9 C) 10
D) 10,5 E) 11
RESOLUCIÓN
 RECORRIDA
#V =
2π r
Sabemos: r = (π) (21) = 21π
21 π
⇒ # vueltas =
2 π ( 1)
#v = 10,5
RPTA.: D
20. De la figura mostrada, la rueda de
radio r, gira sin resbalar sobre la
superficie de radio 240 r. ¿Cuál es
la longitud recorrida por el centro
de la rueda hasta que el punto B
este en contacto con la superficie
de la curva, si: m S AOB = 120º,
r = 18u?
B
r
A
B
240 r A
A) 24 π B) 24,1π C) 24,2π
D) 24,3π E) 24,4π
CICLO 2007-II Página 119 Prohibida su Reproducción y Venta

9. Trigonometría
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
L AB = 240º π ( 18u) = 24π
»
180
B
r θR r
A
L N
r
r
0
M
24
θRAD
B
o
De la figura:
L 24π Del gráfico:
=
241r 240 r L θ ( R + r)
i) n= →1=
2πr 2πr
L = 24,1 π 2πr
RPTA.: B →θ=
R +r
ii)  MN = θg
» R
21. Sobre una superficie curva de
radio “R” gira una rueda cuyo 2πRr
∴  MN =
»
radio es “r” (ver figura). Si dicha R +r
rueda da una vuelta al ir de “M” a
“N”. Calcule la longitud del arco RPTA.: D
MN. ( O y O′ son centros).
22. Dos móviles A y B parten al
mismo tiempo y en las direcciones
r indicadas en la figura de los
N puntos P y Q respectivamente, si
o la velocidad de A es a la velocidad
M de B como 3 es a 7. Calcule
R cuando mide “α” si se encuentran
por 1era. vez en el punto R.
π P
O′ A) rad
5
R +r πRr π R
A) B) B) rad
πRr R +r 4
α
2πRr π
C) 2πRr ( R + r ) D) C) rad Q
R +r 10
R +r π
E) D) rad
2πRr 20
7π
E) rad
10
CICLO 2007-II Página 120 Prohibida su Reproducción y Venta

10. Trigonometría
RESOLUCIÓN
Espacio recorrido por el móvil A
»
será PR y del móvil B es el arco
»
QR .
eA = VAtA y eB = VBtB
Pero ambos parten al mismo
tiempo tA = tB
P
r
R π
−α
2
α
r r Q
r
eA V 3
⇒ = A = ⇒ 7eA = 3eB
eB VB 7
π 
eA = L PR =  − α  r y eB = L QR = ( π + α ) r
» »
2 
Reemplazando:
π 
7  − α  r = 3 ( π + α) r
2 
7π π
− 7α = 3π + 3α ⇒ 10α =
2 2
π
⇒α= rad
20
RPTA.: D
CICLO 2007-II Página 121 Prohibida su Reproducción y Venta