Integrales sobre campos vectoriales

1. UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA
“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”
MATEMATICA IV
SECCIÓN 01
CICLO 02-2013
“INTEGRALES DE SUPERFICIE, TEOREMA DE GAUSS Y STOKES”
Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate.
Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.
Instructores de Células: Silvania Aragón, David Alberto, Jorge Gálvez, Sofía García,
Manfredo Siliezar.
Área de una superficie.
1) Calcular las áreas de las siguientes superficies:
i) √
ii) √ √
iii)
2) Hallar las áreas de las superficies siguientes:
a) El tronco del cono con ecuación √ correspondiente a bases de
radios con √
b) La superficie esférica limitada por el cilindro
3) Hallar el área del toro circular obtenido al girar una circunferencia de radio
alrededor de un eje situado en el plano en el que se encuentra la circunferencia a
una distancia de su centro.
4) Calcule el área de la porción de superficie conica , situada por encima
del plano y limitada por la esfera . √
5) Dado el recinto limitado por los planos y y el cilindro .
Calcule el área de la porción de superficie cilindrica comprendida entre los dos
planos.

2. Integral de superficie de campos escalares.
1) Evaluar ∬ , donde S es el triángulo de vértices (1,0,0), (0,2,0), (0,1,1).
√
2) Evaluar ∬ , siendo S la frontera del cubo [ ] [ ]
[ ]
3) Calcular ∬ , siendo S la superficie del cono ,
4) Sea S la semiesfera . Hallar ∬
5) Calcular ∬ , donde S es el cilindro
que recorta una porción del cono . √
Teorema de Gauss.
1) Hallar ∬ , donde S es el elipsoide y
2) Sea V un sólido de volumen 13 unidades, limitado por la superficie cerrada S. Sea
. Hallar ∮
3) Se considera el campo vectorial y la superficie S,
que es el contorno: { }. Calcular el flujo.
4) Se considera el casquete del paraboloide S: y el campo
vectorial , Hallar el flujo de
F a través de S hacia el exterior del paraboloide.
5) Sea . Evaluar ∬ , para cada una de las
siguientes regiones S:
a)
b)
c)

3. 6) Calcular ∬ , donde y S es la esfera
cuyo radio es la unidad.
7) Evaluar ∬ , donde k y S es la superficie
del cilindro .
8) Sea . Calcular ∬ ,
donde S es el cilindro
a) Incluyendo las bases.
b) Excluyendo las bases.
9) Halle el flujo del campo a través de la superficie del
cono .
a) Directamente.
b) Aplicando el Teorema de la Divergencia.
10) Calcule directamente y utilizando el teorema de la divergencia el flujo del campo
vectorial a través de la superficie que limita el
cilindro .
Teorema de Stokes.
1) Calcular ∮ , siendo S la circunferencia de ecuaciones
paramétricas , para .
2) Sea el triángulo de vértices (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Comprobar el Teorema de
Stokes para .
3) Evaluar ∬ , donde
y S es la superficie .
a) Directamente.
b) Mediante el Teorema de Stokes.
4) Evaluar ∬ , donde [ ] y S es
la porción de la superficie esférica tal que .
√

4. 5) Calcule, aplicando el teorema de Stokes, la integral: ∫ ,
donde { . √
6) Calcule, utilizando el teorema de Stokes, la integral curvilínea: ∫
, siendo C una parametrización de la curva
intersección de las superficies: .
√
7) Calcule la integral ∫ , siendo C la curva intersección del
cilindro y el plano .
a) Directamente.
b) Aplicando el teorema de Stokes.
8) Calcule el trabajo realizado por la fuerza
, para trasladar un punto material sobre la curva cerrada C, siendo C una
parametrización de la curva dada por las ecuaciones: { .Compruebe
el resultado utilizando el teorema de Stokes.
9) Calcule la integral ∫ , siendo C la curva intersección
de la esfera y el paraboloide .
a) Utilizando integral de línea.
b) Aplicando el teorema de Stokes.
10) Halle el flujo del rotacional del campo , a
través de la porción de la superficie ( ) que se halla dentro del cono
, entre los planos .
a) Directamente.
b) Utilizando el teorema de Stokes.
Aplicaciones: flujo a través de una superficie.
1) Sea S la superficie cerrada formada por la semiesfera y su
base . Sea también un campo
eléctrico definido en . Hallar el flujo a través de S.
2) Supongamos que el campo de velocidad de un fluido viene dado por
, medido en metros por segundo. Calcular cuántos metros cúbicos de
fluido por segundo cruzan la superficie descrita por .

5. 3) Determine el flujo térmico que ocurre en el cilindro dado por la ecuación
, entre los planos , si la temperatura del cuerpo en un
momento dado esta dada por .
4) Determine el flujo de fluido hacia afuera (alejándose del eje z) del campo de
velocidades dado por , si además se sabe que la
densidad de dicho fluido es , a través de la superficie del paraboloide
que se encuentra por debajo del plano .
5) Considere una carga puntual , cuyo campo eléctrico está definido por
, cuando la carga se encuentra concéntrica con la superficie
esférica. Determine el flujo eléctrico, hacia afuera, a través de la esfera de radio a.
Aplicaciones: circulación a través de una superficie.
1) Un fluido de densidad constante gira alrededor del eje z con velocidad
, donde ω es una constante positiva llamada rapidez angular, muestre
que la circulación del campo de velocidades es: ∮
2) Calcular el trabajo producido por la fuerza , sobre la
trayectoria recorrida en el sentido positivo, dada por la intersección de las
superficies .
3) Calcular y comprobar la circulación del campo de velocidades de un fluido dado
por , a lo largo de la intersección de
la esfera .
4) Sea el campo de fuerzas ( ) . Demostrar
que en cualquier camino cerrado simétrico con respecto al eje y, la circulación es
cero.