8 tema1-congruencia y-semejanza

1. Bloque 2. Congruencia y semejanza
Tema 1. Congruencia de triángulos, circunferencia y rectas
En la casa de Inés se quebraron los vidrios de dos ventanas
triangulares, aunque están en diferente posición a simple vista
parece que deberá comprar los vidrios iguales. Para asegurarse
midió los lados de una ventana y los de la otra, obteniendo las
mismas medidas: 8, 15 y 17 c m. Ella está segura que los vidrios
deberán ser iguales.
¿En tu vida se te ha presentado una situación similar?
Los triángulos son polígonos (figuras planas limitadas por
segmentos) de tres lados, a los tres segmentos que los limitan se
les llama lados y a los extremos de los lados, vértices.
64

2. Dos figuras planas son congruentes
cuando tienen la misma forma y las
mismas dimensiones o e l mismo
tamaño.
Para determinar si dos triángulos son congruentes (iguales) se
M
tienen tres criterios: LLL, ALA, LAL.
A
T
Si los tres lados de un triángulo son Criterio LLL E
M
congruentes con los tres lados de otro Á
triángulo, entonces los dos triángulos T
son congruentes. A esto se le llama I
congruencia LLL (lado, lado, lado). C
A
S
Criterio LAL Si dos lados y el ángulo (comprendido
entre ellos) en un triángulo son
congruentes con dos lados y el ángulo
(comprendido entre ellos) en otro
triángulo, entonces los triángulos son
congruentes; hay congruencia LAL
(lado, ángulo, lado).
Si dos ángulos y el lado entre ellos en Criterio ALA
un triángulo son congruentes con dos
ángulos y el lado entre ellos en otro
triángulo, entonces los triángulos son
congruentes; hay congruencia ALA
(ángulo, lado, ángulo).
65

3. Por ejemplo, los dos triángulos siguientes son congruentes por el
criterio LAL, pues tienen dos lados iguales y el ángulo
comprendido entre ellos es igual.
12 cm
12 cm
90° 90°
15 cm 15 cm
Una diagonal en un polígono es una línea
recta que une dos vértices no consecutivos.
Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene
dos pares de lados paralelos.
Paralelogramo Características
Sus cuatro ángulos son iguales, es decir, tiene
rectángulo
cuatro ángulos rectos.
Sus lados son iguales. Sus cua tro ángulos son
iguales (cuatro ángulos rectos), por tanto es un
cuadrado
rectángulo. Al tener cuatro lados iguales es un
rombo.
rombo Tiene los cuatro lados iguales.
Sus ángulos y sus lados opuestos son iguales dos
romboide
a dos.
• Las diagonales en un paralelogramo se cortan en su punto
medio.
• Al trazar alguna de las diagonales de un paralelogramo se
obtienen dos triángulos congruentes.
66

4. a a
En el rombo sus cuatro lados son iguales
a a
b a a
Al trazar la diagonal “b” se obtienen
dos triángulos, por el criterio LLL se a a
puede concluir que son congruentes.
M
A
Sin embargo, existen cuadriláteros que no son paralelogramos y T
cuando se traza una diagonal en ellos se forman triángulos E
congruentes. M
Á
T
a b I
El cuadrilátero no es paralelogramo,
C
tiene dos lados consecutivos iguales
A
(a) y los otros iguales (b). S
a b
a b
c
Al trazar la diagonal “c” en el
cuadrilátero se forman dos triángulos
congruentes.
a b a b
d
Al trazar la diagonal “d” en el
cuadrilátero no se forman dos
triángulos congruentes. a b
La circunferencia es el conjunto de
Exterior
puntos en un plano que equidistan, es
decir, que están a la misma distancia Frontera
de otro punto fijo llamado centro. Interior
El círculo es la región del plano
limitada por una circunferencia (la r
superficie dentro de la circunferencia).
La circunferencia forma tres regiones:
exterior, interior y frontera.
67

5. Un punto
es exterior a la es interior a la está en la frontera
circunferencia circunferencia de la
si está a mayor si está a menor circunferencia
distancia del distancia del si está a igual
centro que lo centro que lo distancia del
que mide el que mide el centro que lo que
radio. radio. mide el radio.
Ahora bien, existen las posiciones relativas entre rectas y una
circunferencia.
a) La secante es una línea recta que intersecta (toca) una
circunferencia en dos puntos.
b) La cuerda es un segmento cuyos
puntos extremos son puntos de la
circunferencia.
c) El radio es el segmento rectilíneo
que va del centro de la circunferencia
a cualquiera de sus puntos.
d) El diámetro es cualquier cuerda que pase por el centro y es
equivalente a dos radios.
e) La tangente es la línea recta que intersecta (toca) a la
circunferencia en exactamente un punto, es perpendicular al
radio.
f) Una línea exterior es una recta tal que ésta y la circunferencia
no se cortan.
68

6. También existen las posiciones relativas entre dos
circunferencias:
Exteriores Interiores Tangentes Tangentes Secantes
interiores exteriores
M
Se tienen tres ángulos que se forman dentro de la
A
circunferencia: T
a) El ángulo inscrito (∠a) es aquél cuyo E
vértice pertenece a la circunferencia y sus M
Á
lados contienen cuerdas de ella.
T
b) El ángulo central (∠b) es aquél cuyo I
vértice está en el centro de la C
circunferencia. A
c) El ángulo semi-inscrito (∠c) es aquél S
cuyo vértice está en la circunferencia, uno
de sus lados es tangente y el otro secante.
Un ángulo central separa a la circunferencia
en arcos. En la figura, el ángulo ACB es el
ángulo central con centro C, puntos A y B y
todos los puntos de la circunferencia que
están entre los puntos A y B forman un arco.
La medida en grados de un arco es la
medida del ángulo central correspondiente.
Si se tiene un ángulo AOB central y un C
ángulo ACB inscrito donde los dos B
O
abarcan el mismo arco AB, entonces la
medida del ángulo AOB es dos veces la
medida del ángulo ACB.
A
m∠AOB = 2 m∠ACB
69

7. Por ejemplo:
a) ¿Cuál es la medida del ángulo BAC?
Si el ángulo BOC mide 88°, entonces el ángulo
BAC mide la mitad, es decir, 44°.
b) ¿Cuál es la medida de
“y”?
En este caso, por la
relación de los ángulos, 3y es dos veces más
grande que 60°.
Al resolver 3y = 2(60°)
3y = 120° entonces y = 40°
,
70