Adición y Sustracción

1. Prof. Jenner Huamán Callirgos

2. Es la operación aritmética que consiste en reunir dos cantidades
homogéneas en una sola.
ADICIÓN
A + B = S
“A” y “B” son sumandos
“S” es suma o total

3. Axiomas de la Adición
Si a, b, c ∈ R
1. ASOCIATIVA:
(a + b) + c = a + (b + c)
2. CLAUSURA
Si a, b ∈ R;
entonces:
a + b ∈ R
3. CONMUTATIVA:
a + b = b + a
4. INVERSO ADITIVO:
Si a ∈ R, entonces (–a) ∈ R y se
llama inverso aditivo.
5. MODULATIVA:
Existe un elemento 0 (cero), tal que si a ∈ R,
luego 0 + a = a + 0 = a
y 0 se llama elemento neutro aditivo o módulo de la
adición.
6. CANCELATIVA:
Si a + c = b + c, entonces a = b.
Corolario (uniformidad)
Si a = b y c = d, entonces:
a + c = b + d

4. Series Básicas
1. Suma de productos consecutivos
S = 1.2+2.3+3.4+ ... +n(n+1)
𝑆𝑆 =
)𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + 2
3
P=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)
𝑆𝑆 =
)𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + 2)(𝑛𝑛 + 3
4
2. Suma de potencias sucesivas:
𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2
+ 𝑎𝑎3
+. . . +𝑎𝑎𝑛𝑛
=
)𝑎𝑎(𝑎𝑎𝑛𝑛
− 1
𝑎𝑎 − 1
3. Suma de números triangulares:
M= 1+3+6+10+…+
)𝑛𝑛(𝑛𝑛+1
2
M= 1+(1+2)+(1+2+3)+….(1+2+3+…+n)
S=
)𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)(𝑛𝑛+2
6

5. 4. suma de los cuadrados de
los "n" primeros Números
enteros positivos
12+22+32+…n2 =
)𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)(2𝑛𝑛+1
6
5. Suma de los cubos de los "n"
primeros números enteros
positivos
13+23+33+…n3 = [
𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)
2
]2
6. Suma de los "n“ términos de una
Progresión aritmética
S = a
1
+ a
2
+ a
3
+ ... + a
n
S =
( 𝑎𝑎1+𝑎𝑎𝑛𝑛)𝑛𝑛
2
También
𝑆𝑆 =
[2𝑎𝑎1 + (𝑛𝑛 − 1)𝑟𝑟]𝑛𝑛
2
«n» es la cantidad de sumandos en cada suma.

6. Adición en otros sistemas de numeración
Ejemplo:
Calcular:
123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)
Resolución
Colocando verticalmente los
sumandos, considerando el
orden(como el sistema
decimal eran las unidades,
decenas, ........... etc)
123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)= 1212(5)

7. Otro Ejemplo:
Calcular: “n” ; en:
( )8)8()8( 7650432325 =+ nn
Resolución
Colocando verticalmente
n 3 2 5(8) +
4 3 2 n(8)
7 6 5 0(8)
• De la 1era Columna, se tendrá que:
5 (8) + n (8) = 10 (8)
• Llevando a base decimal, se tiene:
5 + n = 8 → n = 3

8. SUSTRACCIÓN
Es la operación inversa a la Adición, que consiste en que dados dos
números enteros llamados Minuendo y Sustraendo se debe encontrar un
tercer número llamado Diferencia.
Se representa mediante el operador : «–».
Términos :
M – S = D
M : Minuendo
S : Sustraendo
D : Diferencia
Propiedades
La suma de los tres términos de una
sustracción es igual al doble del
minuendo, es decir:
M + S + D = 2M
Dado: , donde: a > b,
se cumple que:
pqbaab =−
p + q = 9

9. Dado: , donde: a > cmnpcbaabc =−
Se cumple que:
n = 9
m + p = 9
a - c = m + 1
COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)
El complemento aritmético de un
número positivo es lo que le falta a
dicho número para ser igual a una
unidad de orden inmediato
superior.
Ejemplo:
CA (42) = 100 – 42 = 58
CA (228)= 1 000 – 228 = 772
CA (4 325)=10 000 – 4 325 = 5 675
En general:
CA(N) = 10K - N
K → Número de cifras de “N”

10. Regla Práctica: Para hallar el
complemento aritmético de
un número, a partir de su mayor
orden se restan las cifras
de 9 y a la última cifra
significativa de 10; si hay ceros
al final éstos permanecen en el
CA.
Ejemplo:
↓
01
9
310468

CA( ) = 895317
CA( ) = 765500

005234
01
9 ↓
( ) )d10)(c9)(b9)(a9(abcd −−−−=C A =
Complementos Aritméticos en
Otras Bases
• C A(34(7)) = 72 – 34(7)
• C A (429(11)) = 113 – 429(11)
• C A (7251(8)) = 84 – 7251(8)
Método Práctico:
En General:
C A (N(B)) = )B(
K
)B(
N10 −
K: números de cifras de “N”

11. Sustracción en otros sistemas de numeración
Calcular: 432(5) – 143 (5)
Ejemplo:
Resolución
Recordando que en base
5, “1” unidades de orden
cualquiera es 5 unidades
del orden del orden
inmediato inferior.
Explicación
• 1ra Columna:
Como a “2” no se lee puede ser restar
3, entonces lo que se hace es prestar
una base a “2”, es decir:
5 + 2 = 7
→ 7 – 3 = 4
queda.
• 2da Columna:
Como se prestó una base del 3,
ahora será (3-1)=2: luego le
prestaremos al 2 una base, es
decir:
5 + 2 = 7
→ 7 – 4 = 3
queda.

12. • 3ra Columna:
Como se prestó una base de 4,
entonces ahora será (4-1)=3, y
a este “3” si le puede restar 1,
con lo que no es necesario
prestarle una base.
→ 3 – 1 = 2
queda.
∴ 432(5) – 143(5) = 234(5)
Efectuar:
4 3 1(7)
2 5 2(7)
Respuesta:146(7)
Resolución
-

14. Aplicaciones
1. Efectuar: S = 23 + 31 + 39 + …+ 295
Resolución
Respuesta: 5565

15. 2. Efectuar: S = 10 + 23 + 36 …
48 sumandos
Respuesta: 15144
Resolución

16. 3. Efectuar: S = 8 + 10 + 17 + 20 + 26 + 30 + …
71 sumandos
Resolución
Respuesta: 12258

17. 4. Efectuar: S = 3 + 12 + 27 + … + 1200
Resolución
Respuesta: 8610

18. 5. Efectuar: S = 1 . 49 + 2 . 48 + 3 . 47 + … + 25 . 25
Resolución
Respuesta: 10725

19. 6. Sabiendo que: , halle el valor de m+n+p
Resolución
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
Respuesta: 18

20. 7.La suma de los tres términos de una sustracción es 792. Si el sustraendo
es 4/9 menos del minuendo, hallar la diferencia.
Resolución
Respuesta: 176

21. 8. Si ,halle el valor de a+b+c
Resolución
𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑎𝑎(2𝑏𝑏)3) = 𝑏𝑏𝑏𝑏
Respuesta: 19

22. 9. La suma de los tres términos de una sustracción es 9876. Si el
sustraendo excede a la diferencia en la tercera parte del minuendo, halla
el sustraendo.
a) 1646 b) 3292 c) 1664 d) 2392 e) 2496
Resolución

23. 10. Hallar un número de tres cifras tal que su C.A. del
número es el triple del número.
A) 150 B) 250 C) 500 D) 625 E) 750
Resolución

25. a0ca 8abc b7c8 ccab 24022+ + + =
( )2
a.b .c
•Si :
Halle:
A) 270 B) 256 C) 320 D) 245 E) 325
Resolución

26. •Halle : ( );cba ++ si n + x =16 y
( )x1x x2x x3x ... x n 1 x abc4+ + + + − =
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 19
Resolución

27. Halle en base 10 el valor de “S” si sus 15 términos
forman una progresión aritmética:
S = 12(n) + 21(n) + 30(n) + ... + 210(n)
A) 637 B) 625 C) 5481 D) 675 E) 645
Resolución

28. Hallar la suma de todos los números pares de tres
cifras, que se pueden formar con las cifras:0; 2; 3;
5; 6 y 9.
A) 48990 B) 97980 C) 45760 D) 76240
E) N.A
Resolución

29. Halle la suma de todos los números de la forma:
( ) ( )a a / 2 b 2b
A) 84440 B) 84480 C) 84840 D) 104480
E) 105480
Resolución