Tema de clase

1. FACULTAD DE CONTABILIDAD
MATEMATICA II
LIMITES DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
LIMITES DE UNA FUNCION
La idea intuitiva de límite forma parte del acervo popular. Tender a un límite significa
aproximarse a una meta, que no siempre se logra alcanzar. En el ámbito matemático,
esta idea se ha plasmado en una definición precisa que combina los conceptos de lo
infinitamente pequeño (infinitésimos) y lo infinitamente grande (el infinito).
Historia
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación
moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las
bases de la técnica épsilon - delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras
él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber
expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática. La primera
presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los
1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar
con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura con la flecha debajo es debida
a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.
Límite
Definición 01.- Si la función f tiene límite L en x0 podemos decir de manera informal
que la función f tiende hacía el límite L cerca de x0 si se puede hacer que f(x) esté tan
cerca como queramos de L haciendo que x este suficientemente cerca de x0 siendo x
distinto de x0.
Definición 02. El límite de una función , cuando x tiende a x0 es L si y sólo si para
todo existe un tal que para todo número real x en el domino de la función
entonces .
Notación formal
.
Límite de una constante
Limite de identidad
Supongamos que dos funciones tales que y
existen. Entonces:
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2. Límite de un factor constante
Límite de la suma
Límite de la diferencia
Límite de un producto
Límite de un cociente
Límite de una potencia: Para n positiva tenemos:
8.
Límite de una raíz
, es válido siempre en el caso de n impar y si n es par
podemos garantizarlo si
Indeterminaciones
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere como el
límite que tiende a infinito y 0 al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):
Operación Indeterminación
Sustracción
Multiplicación
División
Elevación a potencia
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2

3. Ejercicios
01. Calcular el límite de las siguientes funciones:
2 2
2 x (a 1) x a x x 2
a) lim ( 3 x 6x 1) b) lim 2 2
c) lim 2
x 1 x a x a x 1 x 2x 1
2 3
x 6x 9 3 x 3 (x 3)
d) lim 2
e) lim f) lim 4
x 0 x 3 (x 3)
x 0 x 9 x
4 3 2 2
x 4x 5x 4x 4 x x 2
g) lim 4 3 2
h) lim 2
x 2 x 4x 4x x 1 x 2x 1
2 4 2
x 25 x 6x 8x 3
i) lim 2
j) lim ( x 2 2 x) k) lim 4 3
x 5 x 5x x 5 x 1 x 2x 2x 1
3 2
x 2 x a x 6x 5x
l) lim ll) lim m) lim 4 3
x 0
x 3 1 x a x a x 1 x x x 1
4 3 2
x 2x x 2 x 2 x 4 x 2
n) lim 3 2
ñ) lim 2
o) lim
x 2 x 4x 11 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2
x 3 1
3 2 3
x 2x 2x 5 x 5x 1 x 1 2
p) lim 2
q) lim 3 2
r) lim
x 1 x 6x 7 x 4 x 2x 3x x 3
x 6 3
2 3
1 3 x x 5x 6 z 1
s) lim t) lim u) lim
x 2 x 2 x 2 x 2 z 1 z 1
x 2
2
x x 2 4x 3 3 2
v) lím w) lím x) lím 2x 10
x 1 x 1 x 7 7x 2 x 3
2 2
2x 5x 3 x 9
y) lím z) lím 2
x 3 x 3 x 3 2x 5x 3
02. Calcular los siguientes límites:
1. 2.
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2

4. 3. 4.
5. 6.
2
x 1 x 1
7. Lim 8. Lim
x 2 x 1 x 1 x 1
2
1 x 6x 8
9. Lim 10. Lim
x 1 x 1 x 4 x 4
4 3 2
x 1 x 3x 3x 1
11. Lim 12. Lim 2
x 1 x 1 x 1 x 2x 1
3 3 2
x 1 2x 14 x 12 x
13. Lim 2
14. Lim 3 2
x 1 x 1 x 1 x 10 x 27 x 18
2 4 3 2
x x 2 x x x 2x 1
15. Lim 2
16. Lim 3 2
x 2 x 4x 4 x 1 x x x 1
5
6 4 x 1
17. Lim 2
18. Lim 4 3
x 2 x 2 x 8x 12 x 1 x 2x x 2
x 1 x 2
19. Lim 20. Lim
x 0 1 1 x x 3 x 3
x 1 x 1 x 1
21. Lim 22. Lim
x 1 x 1 x 1 1 x x 1
x 9 3 x a
23. Lim 24. Lim
x 0 16 x 4 x a x a
3 3
x 27 1 x 1
25. Lim 26 Lim
3 3 2
x x 6x 27 x 0 x
2
1 x x 1 1 1 x
27. Lim 28. Lim
x 0 x x 0 x
2
29. Lim ( 1 x x) 30. Lim ( x x x)
x x
31. Lim ( 1 x x) 32. Lim ( ( x 2 )( x 3) x)
x x
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4

5. 3 3 2
33. Lim ( ( x 2 )( x 1) x) 34. Lim ( x x x 2x )
x x
2 2 2 2
35. Lim ( x 4x 1 x 8x 1) 36. Lim ( 2 x 3x 2 2x 2)
x x
2 2
37. Lim ( x 1 x) 38. Lim ( 4 x 1 (2 x 1))
x x
2
x 1
39. Lim x( 1 x x) 40. Lim
x x 0 x 1
41. Lim ( 2 x x 2) 42. Lim ( 1 x x 1)
x x
x 2
43. Lim ( x x x x) 44 . lim
x x 4 x 4
2
2 x 4 x x 4 2
45 . lim 2
46 . lim
x 8
x 64 x 0 x
2 x 3 x 2
47 . lim 2
48 . lim
x 7 x 49 x 2 x 2
03. Calcule, si existen, los siguientes límites de funciones:
2 3 2
x 3x 2 x x 5x 3 2 2 x
a) lím b) lím c) lím
x 0 2 x 0 2 x 0
x 2x 1 x 3x 4 x
1 1 1 1
2
1 1 x
d) lím e) lím 2 x 2 f) lím 5 x 5
x 0 x 0 x 0
x x x
2 2 3 2
x 1 x 1 x 3x 3x 1
g) lím h) lím i) lím
x 1 2 x 1 2 x 1 3 2
x 2x 1 x 2x 1 x x x 1
2 5 5
x 3x 2 x 1 x 1
j) lím k) lím l) lím
x 1 2 x 1 3 x 1 3
x 1 x 1 x 1
x 1
m) lím
x 1
x 1
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5

6. 2 2
x 1 x 3x 2 x 4
n) lím o) lím p) lím
x 1 x 2 2 x 2 2
x 1 x 4 x 4x 4
3 2
1 x 2 x 6x 12 x 8 1 x 3
q) lím r) lím s) lím
x 3 2 x 2 3 2 x 4 2
x 9 x 2x 4x 8 x 16
3
x 3 x 3 x 1
t) lím u) lím v) lím
x 3 x 3 x 1 4
x 3 x 3 x 3 x 1
2 2
1 x 1 3x 6 1 x 1
w) lím x) lím 2
y) lím
x 0 x 2 x
x x 2 x
04. Ejercicios de aplicación:
01. Se sabe que el precio P de un artículo atreves del tiempo t (en meses) está dado
por la función . Si se sabe que el precio de este artículo el próximo será de
s/. 6,50; y el siguiente mes será de s/. 6,00. Se desea saber:
a) El precio del artículo para este mes.
b) En qué mes el precio será de s/. 5,50.
c) ¿Qué ocurre con el precio de largo plaza?
02. a) La cuenta de resultados (en millones de soles) de una empresa viene dada por
la siguiente función, donde x representa los años de existencia de la misma,
2
5x 20 x 25
f (x) 2
¿Cuáles serán sus beneficios a muy largo plazo?
x 7
b) La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la función
donde t expresa los años transcurridos desde su plantación.
(i) ¿Qué altura media tienen los pinos al cabo de 5 años?
(ii) ¿A cuánto tiende la altura media de estos árboles con el paso del tiempo?
c) Cuando existían 3 000 000 de ejemplares de una especie vegetal, esta comenzó a
ser atacada por una plaga. Con el paso del tiempo, su población en millones,
disminuyó según la función: En la que t es el número de años
transcurridos. Cuando hayan transcurrido muchos años, ¿a qué valor tenderá el
número de ejemplares?
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