Teoría y problemas de Geometría ADUNI ccesa007

11 22 33 44
55 66 77 88
Boletín Virtual: Geometría

. . .
Geometría
2
Definiciones primitivas, segmentos y ángulos
NIVEL BÁSICO
1. Sobre una línea recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D. B es punto medio de
AC y CD=2BC. Si AD=40, calcule AB.
A) 20 B) 10 C) 5
D) 30 E) 25
2. Sobre una línea recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D además B es punto
medio de AD. Si AD=30 y CD=12, calcule BC.
A) 1 B) 3 C) 4
D) 5 E) 2
3. De una línea recta se toman los puntos con-
secutivos A, B, C y D, de modo que AD=30,
AC=14 y BD=20. Calcule BC.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
4. Sobre una línea recta se ubican los puntos con-
secutivos A, B, C, D y E. Si DE=2(AB), BC=CD y
AC=13, calcule BE.
A) 12 B) 26 C) 18
D) 20 E) 24
5. Si Sa=3Ca, donde S y C representan el suple-
mento y complemento de la medida de un án-
gulo, respectivamente, calcule a.
A) 35º
B) 45º
C) 40º
D) 30º
E) 12º
6. Según el gráfico

m m m  AOB BOC COA
5 6 7
= =
Calcule m AOB.

A
B
C
O
A) 20º B) 40º C) 100º
D) 140º E) 50º
7. De acuerdo con el gráfico, OM y ON son las
bisectrices de los ángulos AOB y COD, respec-
tivamente. Calcule la m AOB si

m m m  AOB BOC COD
2 4 6
= =

A
M B C
N
D
O
64º
A) 30º B) 32º C) 24º
D) 16º E) 40º
8. En una línea recta se ubican los puntos conse-
cutivos A, B, C, D y E.
Si AB
BC CD DE
= = =
2 3 4
y AC=9, halle AE.
A) 20 B) 30 C) 40
D) 27 E) 21

Geometría
3
NIVEL INTERMEDIO
9. Sobre una recta se tienen los puntos consecu-
tivos A, B, C, D y E, de modo que AE=4BD y
AD+BE=80. Halle AB+DE.
A) 80 B) 16 C) 48
D) 64 E) 32
10. En una recta se ubican los puntos consecuti-
vos M, N, P, Q y R. F y Q son los puntos me-
dios de MN y PR, respectivamente, NP=4 y
2PF+PR=18. Calcule FN+QR.
A) 4 B) 9 C) 8
D) 5 E) 10
11. En el gráfico, m BOD=90º y
m AOD – m AOB=20º. Halle m COD.

O
D
B
CA
A) 55º B) 35º C) 25º
D) 40º E) 30º
12. Se trazan n ángulos consecutivos alrededor de
un punto. Si la suma de medidas de sus com-
plementos es 810º, halle n.
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 13
NIVEL AVANZADO
13. De una recta se toman los puntos consecutivos
A, B, C y D, de modo que AC=12. Si M y N son los
puntos medios de AB y CD, respectivamente,
además MN=16, calcule BD.
A) 16 B) 12 C) 18
D) 15 E) 20
14. Calcule la medida de un ángulo si se sabe que
los tres cuartos del suplemento de su comple-
mento es 90º.
A) 15º B) 30º C) 45º
D) 60º E) 75º
15. Si α
αα α
+ = −
C S
4 2 10
, donde S y C representan
el suplemento y complemento de un ángulo,
respectivamente, calcule S2a.
A) 50º B) 100º C) 80º
D) 160º E) 130º

. . .
Geometría
4
Ángulos entre rectas paralelas
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, siL L1 2// , calcule a+b+q+w.

α
ω
θ
β
L 2
L 1
A) 180º B) 36º0 C) 540º
D) 270º E) 450º
2. Si L L1 2// y L L3 4// , calcule x+y+z.

L 1
L 3
L 2
L 4
30º
y
y
x
z
130º
A) 160º B) 80º C) 150º
D) 50º E) 40º
3. Si L L1 2// , calcule x.

4θ
4α
α
x
θ
L 2L 1
A) 90º B) 135º C) 120º
D) 144º E) 108º
4. Según el gráfico, si L L1 2// , calcule a+b.

α
α
α
αβ
β
β
2βα L 1
L 2
A) 36º
B) 95º
C) 60º
D) 72º
E) 80º
5. Si L L L1 2 3// // , calcule x.

L 1
L 2
L 3
x+50º
150º
x+30º
140º
x
2x
A) 10º
B) 20º
C) 30º
D) 35º
E) 15º

Geometría
5
6. A partir del gráfico, calcule x si a+b=140º y
L L1 2// .

L 1
L 2
m
m
n
βα
x
n
A) 50º B) 110º C) 80º
D) 160º E) 130º
7. En el gráfico mostrado, L L1 2// ,
calcule x si q – b=40º.

θ
β
L 1
L 2
x
A) 40º B) 20º C) 30º
D) 50º E) 60º

L 2
L 1
x
x
120º
A) 45º B) 20º C) 30º
D) 37º E) 60º
NIVELINTERMEDIO
9. Según el gráfico, calcule x.

θ
θ
x 4x
A) 50º B) 20º C) 30º
D) 18º E) 36º
10. En el gráfico, si L L1 2// , calcule x.

L 2
L 1
30º
40º
2x
A) 10º B) 20º C) 30º
D) 35º E) 15º

L 2
L 1
120º
x
140º
A) 60º B) 120º C) 80º
D) 110º E) 100º

. . .
Geometría
6
12. Si L L1 2// y a+b+q=135º, calcule x+y.

θ
βα
L 1
L 2
x y
76º
50º
A) 109º B) 93º C) 97º
D) 114º E) 100º
NIVEL AVANZADO
13. Si L L1 2// , calcule w+q.

θ
ω
L 2
L 1
20º
80º
A) 60º B) 120º C) 80º
D) 140º E) 100º

L 2
L 1
m+n n
4x
x
a
a
m
A) 30º B) 18º C) 24º
D) 36º E) 37º
15. Según el gráfico, L L1 2// , BP es bisectriz del
ángulo ABC, m+a=70º y n – a=100º.
Calcule x.

L 1
L 2
m
x
aA
B
C
n
P
A) 60º B) 50º C) 30º
D) 70º E) 80º

Geometría
7
Triángulo
NIVEL BÁSICO

20º
65º 110º
30º
50º
x
A) 45º B) 60º C) 90º
D) 100º E) 120º
2. A partir del gráfico, calcule b+d – a – c.

50º 60º
a
d
b
c
A) 10º B) 55º C) 110º
D) 80º E) 85º
3. Del gráfico, mostrado, calcule x.
A) 40º
B) 50º
α
α
x
60º
a
40º
C) 60º
D) 70º
E) 80º
4. Del gráfico mostrado, calcule x.

α
x
α
β
β
100º
3x
A) 50º B) 75º C) 25º
D) 20º E) 30º
5. A partir del gráfico, calcule x.

α
θ
2θ
2α
2x
3x
5x
A) 18º B) 20º C) 36º
D) 27º E) 30º
6. Del gráfico, calcule x.

θ+α
α
θ
θ
4x
3x
2x
A) 20º B) 14º C) 18º
D) 16º E) 15º

. . .
Geometría
8
7. En el siguiente gráfico, ¿cuál es la suma de me-
didas señaladas?

α
θ
β
ω
γ
Φ
A) 405º B) 180º C) 390º
D) 450º E) 360º
UNMSM 2000
8. A partir del gráfico, calcule x+y+z.

40º
y
x
z
A) 360º B) 420º C) 320º
D) 400º E) 280º
NIVELINTERMEDIO
9. En el gráfico, calcule x.
θ
2θ
108ºx
2α
α
A) 72º B) 36º C) 24º
D) 54º E) 27º
10. Calcule x+y.

ω
3ω
α 3α
x
y
30º
65º
A) 95º B) 105º C) 115º
D) 120º E) 150º
11. Del gráfico, calcule a+b+q+w+f.

α
β
θ
ω
Φ
A) 180º B) 270º C) 360º
D) 150º E) 240º
12. A partir del gráfico, calcule el valor de x.

β
β
130º
x
30º
A) 30º B) 25º C) 50º
D) 20º E) 15º

Geometría
9
NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, q+b=180º. Calcule x.

θ
β
80º
50º
30º
x
A) 110º
B) 160º
C) 130º
D) 145º
E) 100º
14. En el gráfico, si m+n=30º, calcule x.
A) 20º
θ
θ
m
ω
ω
x
n
100º
B) 25º
C) 30º
D) 35º
E) 15º
15. En el gráfico, calcule x si a+b=160º.

m
m
x x
b
a
n
n
A) 100º B) 130º C) 140º
D) 160º E) 80º

. . .
Geometría
10
Clasificación de triángulos
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, si AB=CD, calcule x.

β
β
x
x 40º
A D C
B
A) 50º B) 60º C) 80º
D) 70º E) 55º
2. En el gráfico, AB=BP y AC=QC. Calcule b.

3β
2β
Q
P
A
B
C
β
A) 10º B) 15º C) 20º
D) 12º E) 18º
3. EnuntriánguloABC,seubicaPenelladoBC,detal
manera que AP=PC y AB=AP. Si m BAP=40º,
calcule m BCA.
A) 20º
B) 35º
C) 40º
D) 80º
E) 75º
4. Del gráfico, AQ=QM y QN=QC.
Calcule x.
A Q C
NM
x
B
70º
A) 70º B) 110º C) 55º
D) 140º E) 40º
5. En el gráfico, AB=AD=CD.
Calcule x.

70º
60º x
A D
C
B
A) 60º B) 70º C) 80º
D) 130º E) 65º
6. En el gráfico, AB=BC y AC=CD.
Si m ABC=2(m ADC), calcule x.

B
A C
D
x
A) 45º B) 60º C) 70º
D) 90º E) 30º

Geometría
11
7. En el gráfico, AB=AC=CD=CE.
Calcule x.

80º
60º
x
A C
E
D
B
A) 30º B) 35º C) 40º
D) 10º E) 20º
8. En el gráfico, AB=BD=BC, AC=21 y CE=20.
Calcule AE.

60º
60º
D
A
B
C
E
A) 27º B) 29º C) 20º
D) 21º E) 22º
NIVEL INTERMEDIO
9. En la región exterior relativa al lado AC de un
triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubi-
ca D, de modo que AD=17, AB=15, BC=8 y
m ADC=50º. Calcule m DAC.
A) 50º B) 65º C) 80º
D) 70º E) 55º
10. A partir del gráfico, AC=CD=DE=EF=FB y
AB=BC. Calcule x.
A D F B
E
C
x
A) 60º
B) 80º
C) 90º
D) 100º
E) 120º
11. En la región exterior relativa al lado BC de un
triángulo isósceles de base AC, se ubica el punto
P, de modo que el triángulo BPC es equilátero y
m CAP=3(m APC). Calcule m APB.
A) 45º B) 50º C) 37º
D) 55º E) 48º
12. En un triángulo ABC, AB=2 y BC=12. Calcule el
máximo valor entero de AC.
A) 11 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
NIVEL AVANZADO
13. En un triángulo ABC, en AB y BC se ubican
los puntos P y Q, respectivamente, tal que
AP=QC=PQ y m QAC+m PCA=70º.
Calcule m ABC.
A) 40º B) 50º C) 35º
D) 45º E) 20º

. . .
Geometría
12
14. En un triángulo ABC, en el lado AC y en la
región exterior relativa a BC, se ubican los
puntos P y Q, respectivamente, de modo que
PQ y BC se intersecan en F. Si AB=BP=PQ,
PF=FC y m ABC=80º, calcule m PBQ. Calcu-
le m PBQ.
A) 80º
B) 100º
C) 40º
D) 50º
E) 60º
15. En el gráfico, AB=QC. Calcule x.

2x 2x
7x
Q
A C
B
x
A) 10º B) 20º C) 15º
D) 14º E) 12º

Geometría
13
Líneas notables asociadas al triángulo
NIVEL BÁSICO
1. Del gráfico, calcule x+y.
A) 45º
B) 55º
β
x
y
β
θ
θ
70º
C) 65º
D) 70º
E) 75º
A) 20º
θ
θ
β
β
5x 5x
2x
B) 25º
C) 15º
D) 30º
E) 12º
3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
traza la altura BH y la bisectriz interior BF del
ángulo HBC. Si AB=20 y BC=21, calcule FC.
A) 2 B) 3 C) 8
D) 9 E) 14,5

αθ θ
2x+21º
2x+7º
x
α
A) 15º B) 20º C) 21º
D) 14º E) 7º

2θ 2β
β
β
θ
θ
40º
x
A) 80º B) 100º C) 115º
D) 120º E) 125º
6. En un triángulo ABC, se trazan la altura BH y la bi-
sectriz BD del ángulo ABC, tal que D está en HC.
Si m DBH=40º, calcule m BAC – m BCA.
A) 40º B) 80º C) 120º
D) 50º E) 100º
7. Del gráfico, calcule x+y.

β
β
θ
θ
50º50º
x
y
A) 115º
B) 120º
C) 130º
D) 240º
E) 245º

. . .
Geometría
14
A) 10º
β β θ
8x
x
θ
120º
B) 5º
C) 20º
D) 15
E) 14º
NIVEL INTERMEDIO
9. En un triángulo ABC se trazan las cevianas inte-
riores AP y CQ, que intersecan en M, de modo
que AC=QC=AP. Calcule
m
m


PMC
ABC
.
A) 1 B) 2 C) 1/2
D) 3 E) 1/3
A) 100º
β
βθ
θ
x
50º
B) 110º
C) 115º
D) 120º
E) 140º

α
α
θ β
βθ
2x
A) 20º B) 36º C) 30º
D) 15º E) 22,5
12. Del gráfico, calcule el valor de x.

θ
β
β
θ50º
x
A) 50º B) 25º C) 65º
D) 60º E) 45º
NIVEL AVANZADO
13. Se tiene un triángulo ABC, en el que
m ABC – m CAB=50º; además se traza la
bisectriz interior CD y en AC se ubica el punto E,
de modo que m EDC=80º. Calcule m ADE.
A) 20º B) 15º C) 25º
D) 30º E) 35º
14. En un triángulo ABC se tiene que m ABC=70º;
además se traza la altura BH. Calcule la medida
del ángulo que determinan las bisectrices de
los ángulos BAC y HBC.
A) 95º B) 100º C) 85º
D) 105º E) 90º
15. Se tiene un triángulo ABC, tal que m ABC=100º.
Se traza la ceviana interior BM y la bisectriz
interior CQ, las cuales se intersecan en P.
Si AB=AM, calcule m QPB.
A) 40º B) 50º C) 65º
D) 80º E) 45º

Geometría
2
Congruencia de triángulos
NIVEL BÁSICO
1. En la figura, calcule x si AB=BC=CD=DE.
A
2x
x
θB
C
D
E
θ
A) 18º B) 36º C) 72º
D) 30º E) 15º
2. Según el gráfico AB=BC. Calcule x.
A
B
θθ
θ θ
C
20ºx
A) 19º B) 28º C) 22º
D) 25º E) 20º
3. En el gráfico, calcule x si AC=CD.

3x
12
A
C
D
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
4. Si AB=12 y CD=16, calcule AD. Considere que
BE=EC.
EA
B
C
D
A) 22
B) 24
C) 26
D) 28
E) 30
5. En la figura, AM=MC y 3(BC)=AB+8. Calcule
BC.

B
A CM
A) 3 B) 4 C) 6
D) 7 E) 8
6. Según la figura, PQ=AC, AB=6 y CQ=10. Cal-
cule BP.

B
θ α
θ
α
P
CA
Q
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7

Geometría
3
7. En la figura, AD=4. Calcule BE.

B E
A
D
β
θθ
β
C
A) 1 B) 1,5 C) 2
D) 3 E) 4
8. En la figura, AB=BD. Si a+b=60º, calcule x.
A
B
C
x
D
α
β
α
A) 60º B) 100º C) 120º
D) 140º E) 110º
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, ABC y CDE son triángulos equilá-
teros. Calcule x.
A C
E
B
D
x
100º
A) 30º B) 40º C) 45º
D) 50º E) 60º
10. Según el gráfico, las regiones sombreadas son
congruentes y BC=DE. Calcule x.

P
A B
x
β
β20º
D
C
E
A) 60º B) 65º C) 45º
D) 55º E) 50º
11. En el gráfico, BD=AB+AC. Calcule x/y.

Y
A C
D
B
θ
θ
x
A) 1/2 B) 1/3 C) 1
D) 2 E) 3
12. Del gráfico, AM=MC y AN=BC. Calcule m MBC.

B
x
CMA
N
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 37º
E) 53º

Geometría
4
NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, AE=DC, BC=AD y AM=MC.
Calcule x.

40º
A M C
D
x
B
E
A) 10º B) 20º C) 25º
D) 30º E) 35º
14. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior
AD. Luego se ubica E en AD, tal que AB=EC y
CD=AE. Si m BAE=m ECD, calcule m BDE.
A) 30º
B) 40º
C) 50º
D) 80º
E) 60º
15. En un triángulo ABC (AB=BC), se traza la ce-
viana interior BP y en BC se ubica el punto M,
tal que AP=MC, m BAP=40º y m PBC=70º.
Calcule m MPC.
A) 20º B) 30º C) 40º
D) 45º E) 60º

Geometría
5
Aplicaciones de la congruencia
NIVEL BÁSICO
1. Según la figura, AC=12 y AB=9. Calcule FC.

θ
A B
C
F
θθ
A) 7 B) 6 C) 3
D) 4 E) 5
2. Del gráfico, calcule x si BD=DE.

B D
48º
E
x
A) 48º B) 42º C) 24º
D) 21º E) 14º
3. En el gráfico, BH=a – 1 y HC=2a – 7. Calcule a.

β
βA
B
C
H
A) 6 B) 7 C) 8
D) 4 E) 5
4. Según el gráfico, PQ=5 y QC=3. Calcule BP.

α
α
A
B
P
CQ
A) 4 B) 5 C) 3
D) 34 E) 29
5. En el gráfico, AM=MC, calcule x.
A) 30º
B) 31º
31º
A
B
x
CM
C) 15,5º
D) 45º
E) 59º
6. En el gráfico, AM=MB y MN+AC=21. Calcule
(MN)(AC).

θ
θ
A
B
C
M N
A) 42 B) 84 C) 98
D) 49 E) 63
7. Según el gráfico, BC=18 y AM=2x. Calcule x.

θ
θ
C
A
BM
A) 9 B) 18 C) 4,5
D) 5 E) 6

Geometría
6
8. En el gráfico, AP=PC y BM=MD. Si AC=16,
calcule MN.

θ
θ
A
B
CP
N
M D
A) 8 B) 4 C) 12
D) 2 E) 6
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, L es mediatriz de AC y AB=PC.
Calcule x.
A) 10º
B) 30º 80º
L
A
B
C
x
P
C) 50º
D) 40º
E) 20º
10. Del gráfico, CD=2(AB). Calcule x.
A
B
CD
x
21º
A) 15º B) 16º C) 27º
D) 21º E) 14º
11. En el gráfico, AM=MC y BC=2(BM), calcule x.
A) 40º
B) 50º
70º
A
B
C
x
M
C) 55º
D) 70º
E) 35º
12. Según el gráfico, AB=BC y AC=2(BE). Calcule x.

30º
A
B
C
E
x
A) 30º B) 40º C) 50º
D) 10º E) 20º
NIVEL AVANZADO
13. Se tiene el triángulo rectángulo ABC, recto en
B. Exterior y relativo a AC se ubica P, tal que
AC=2(BP). Si m ABP=10º y m ACB=20º,
calcule m ACP.
A) 5º B) 8º C) 10º
D) 12º E) 20º
14. En un triángulo ABC, se ubican M y N en AC y
en la prolongación de CB, respectivamente. Si
NB=BC=BM y AM=NM, calcule m NAM.
A) 30º
B) 35º
C) 40º
D) 45º
E) 60º
15. En un triángulo ABC, se trazan la mediana AM y
la ceviana BQ, que se intersecan en P, tal que
AP=PM. Calcule
PQ
PB
.
A)
1
4
B)
1
3
C)
1
2
D) 1 E) 2

Geometría
7
Triángulos rectángulos notables
NIVEL BÁSICO
1. En la figura, CD=4. Calcule AC.

30º
60º
A
B
C
D
A) 4 3 B) 4 2 C) 8
D) 8 2 E) 8 3
2. En el gráfico, BD=3 y DC=5. Calcule x.

A
B
C
D
x
x
A) 30º B) 15º C)
45
2
º
D)
37
2
º
E)
53
2
º
3. Del gráfico, AD=DC y BC=40. Calcule ED.

53º
A
E
D
B
C
A) 8 B) 10 C) 12
D) 16 E) 24
4. En la figura, AC=20. Halle BH.

45º
30º
A
B
CN
H
A) 5 2
B) 3 2
C)
5
2
2
D) 4 2
E) 5 3
5. En la figura, AC=12 y BN=8. Calcule q.

37º
θ
A
B CN
A) 15º B) 12º C) 7º
D) 8º E) 22º
6. Del gráfico, AB=BD. Calcule x.

53º/2
A
B
D
x
A) 7º B) 8º C) 4,5º
D) 3,5º E) 10º

Geometría
8
7. En el gráfico, AC=20 y BD=4. Calcule x.

15º
A
B
C
D
x
A) 37º B) 53º C) 22º
D) 15º E) 37º/2
8. En el gráfico, las regiones sombreadas son
congruentes. Si BP=6, calcule AP.
A
B
C
P
A) 10 B) 12 C) 6 10
D) 6 5 E) 6 3
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, AM=MB, BN=NC y AC=2(QN)=8.
Calcule NH.

20º
40º
B
A C
M N
Q
H
A) 2 B) 3 C) 3
D) 2 3 E) 3 2
10. En el gráfico,L es mediatriz de AC y PC=3(PB).
Calcule x.

45º
A
B
C
Px
A) 60º B) 75º C)
127
2
º
D)
143
2
º
E) 75º
11. Según el gráfico, BH=2(HC)=2(AB). Calcule x.

A
B
C
D
H
x
A) 20º B) 50º C)
127
2
º
D)
53
2
º
E)
37
2
º
12. En el gráfico, AP=PB y BC=PC. Calcule x.

2θ
θA
B
C
x
P
A) 15º B) 16º C) 18º
D) 30º E) 37º

Geometría
9
NIVEL AVANZADO

45º–x
x
53º/2
A) 15º B) 30º C)
37
2
º
D)
53
2
º
E)
45
2
º
14. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM,
tal que AB=8 y BC=5. Si m MBC=53º, calcule
m ABM.
A) 53º
B) 37º
C) 45º
D) 60º
E) 30º
15. En un triángulo ABC, se ubican los puntos M y N
en BC y AC, respectivamente, tal que BM=MC,
NC=8, AB=10 y m BAC=m MNA=53º. Cal-
cule AN.
A) 9 B) 12 C) 15
D) 18 E) 20

Geometría
10
Cuadriláteros I
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, halle x.
70º80º
α
α
θ
θ
x
A) 65º B) 75º C) 85º
D) 90º E) 80º
2. En el trapecio ABCD (BC // AD), AB=4, CD=6 y
AD=8. Calcule PQ.

β
β θθ
A P Q D
B C
A) 3 B) 6 C) 2
D) 4 E) 5
3. En el trapecio ABCD (BC // AD), BC=4, AB=8,
CD=10 y AD=20. Si BP=PM y CQ=QN,
calcule PQ.

β
β ω
ω
A M N D
B C
P Q
A) 3 B) 1 C) 2
D) 4 E) 5

70º
100º
α
α
θ
θ
x
A) 85º B) 15º C) 95º
D) 30º E) 16º
5. En el gráfico, BC // AD y MBCD es un trapezoide
simétrico (MB=BC). Calcule x.

140º 100º
A
B C
D
x
M
A) 70º B) 50º C) 35º
D) 25º E) 60º
6. En el gráfico, BM=5, MH=3 y CM=MD. Calcule x.
A D
B C
x
M
H
A) 30º
B) 37º
C) 53º
D) 60º
E) 53º/2

Geometría
11
7. Del gráfico, calcule b.

3θ
θ
60º
α
α
β
ω
ω
A) 65º B) 70º C) 45º
D) 55º E) 80º
8. En el gráfico, AM=MB, BC=x, AD=13 y
MN=x+5. Halle MN.
A
B C
D
M N
A) 3 B) 5 C) 8
D) 10 E) 11
NIVEL INTERMEDIO
9. Del trapecio ABCD (BC // AD), AM=MB, BC=1 y
CD=10. Calcule AD.
A
B C
D
M
A) 9 B) 5,5 C) 8
D) 7 E) 11
10. En el gráfico, CM=MD y BM=ND. Calcule x.

A
B C
20º
θ
θ
x
D
M
N
A) 10º B) 15º C) 18º
D) 5º E) 20º
11. En el trapecio ABCD (BC // AD), M es punto
medio de CD y ANPM es trapecio isósceles. Si
BC+AD=10, calcule AP.

θ
θ
A D
B C
MN
P
A) 4 B) 4,5 C) 5,5
D) 5 E) 6
12. En el trapecio isósceles ABCD (BC // AD),
BD=AQ=QC. Calcule x.

80º
A
B C
Dx
Q
A) 30º B) 20º C) 60º
D) 50º E) 40º

Geometría
12
NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico, AC=CD. Calcule b.

2β
3β
5β
24º
A
B
C
D
A) 10º
B) 12º
C) 14º
D) 15º
E) 8º
14. En un trapecio isósceles ABCD (BC // AD), la
longitud de la base media es igual a la altura
del trapecio. Calcule m CAD.
A) 30º B) 45º C) 53º/2
D) 60º E) 53º
15. En el trapecio isósceles ABCD, (BC // AD), AC=8
y BP=5. Calcule x.
2x
A
B C
D
x
P
A) 30º B) 37º C) 53º
D) 15º E) 16º

Geometría
13
Cuadriláteros II
NIVEL BÁSICO
1. En el paralelogramo ABCD, calcule x.
A
B C
D
x+30º
4x
A) 10º B) 20º C) 16º
D) 15º E) 14º
2. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo.
Calcule x.
A
B C
D
3x+20º 5x
A) 10º B) 20º C) 15º
D) 25º E) 30º
3. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y BP=PQ.
Calcule x.

40º
A
B C
D
P
x
Q
A) 10º B) 20º C) 50º
D) 40º E) 30º
4. En el gráfico, BC // AD, BC=4 y CD=6. Calcule
AD.

β
β
β
A
B C
D
A) 5 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
5. Si ABCD es un rombo de centro O, OH=1 y
OA = 10, calcule x.
A
B C
D
H
x
O
A)
53
2
º
B) 53º C)
37
2
º
D) 37º E) 30º
6. Si ABCD es un rombo, calcule x.

70º
10º
A
B C
D
x
A) 70º B) 80º C) 60º
D) 55º E) 65º

Geometría
14
7. En el paralelogramo ABCD, BP=3. Calcule AQ.

α
α
θ
θ
A
B C
D
P
Q
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
8. En el paralelogramo ABCD, AB=PD. Calcule x.

70º
10º
A
B C
D
x
P
A) 70º B) 80º C) 60º
D) 65º E) 55º
NIVEL INTERMEDIO
9. En el rombo ABCD, OH=12 y AC=40. Calcule
BH. (O: centro de ABCD).
A
B C
D
H
O
A) 20 B) 16 C) 26
D) 9 E) 12
10. En el gráfico, ACDQ es un trapecio isósceles.
Calcule x.

40º
A
B C
D
x
Q
A) 40º B) 50º C) 20º
D) 25º E) 30º
11. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y AMCN
un romboide. Si CD=20, calcule MH.

53º
A
B C
D
H
M
N
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
12. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo. Si
BP=2(PQ), calcule x.

θ
θ
A
B C
D
x
P
Q
A) 53º/2 B) 30º C) 60º
D) 45º E) 53º

Geometría
15
NIVEL AVANZADO
13. En un romboide ABCD, en la diagonal AC, se
ubicaL,talqueLC=2(AL)ym ABL=2m DLC.
Calcule m DLC. (BL ⊥ AC).
A) 45º B) 53º C) 37º
D) 30º E) 60º
14. En la región interior de un cuadrado ABCD,
se ubica el punto M, de modo que AMD es un
triángulo equilátero. Calcule la distancia de A a
CM. (CD=12)
A) 3 2
B) 3
C) 6 2
D) 3 3
E) 4 2
15. En un rectángulo ABCD, de centro O, sobre
el lado AD, se ubica el punto E, de modo que
EO ⊥ BD. Si AC=8 y EO=3, calcule ED.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8

Geometría
2
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra.
Derechos reservados D. LEG Nº 822
Circunferencia I
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, mS OAB=40º. Calcule m AB.

A B
O
A) 40º B) 80º C) 120º
D) 100º E) 70º

x
40º
A) 40º B) 20º C) 80º
D) 90º E) 100º
3. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia. Si
m ºAPB = 120 , calcule m mAB AQB+ .

A
B
P Q
A) 240º B) 300º C) 180º
D) 360º E) 270º
4. Según el gráfico, m ºAPB = 120 . Calcule AB.

6
A
B
P
A) 6 3 B) 6 2 C) 12
D) 6 E) 18
5. Según el gráfico, m ºAB = 60 . Calcule x.

A
x
B
A) 130º
B) 60º
C) 120º
D) 45º
E) 53º
6. En el gráfico, D es punto de tangencia. Si
AD=5, calcule AE.

θ θ
C
B
F
E
D
A
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6

Geometría
3
7. En el gráfico, A es punto de tangencia y
m ºAB = 100 . Calcule x.

40º
A
B
x
C
A) 50º B) 80º C) 20º
D) 5º E) 10º
8. Según el gráfico, T es punto de tangencia. Cal-
cule x si m ºAB = 140 .

T
x
B
50º
PA
A) 25º B) 50º C) 30º
D) 40º E) 100º
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, F es punto de tangencia. Si
m mAM MB = , calcule x.

M
x
B
A
P40º
F
A) 90º B) 100º C) 110º
D) 120º E) 130º
10. Según el gráfico, A, B y C son puntos de tangen-
cia. Calcule x.

A
C
α
α
xB
40º
A) 60º
B) 65º
C) 70º
D) 75º
E) 80º
11. En el gráfico, m ºCDE = 40 . Calcule x si
m ºAB = 50 .

CB
A
E
D
2x
x
A) 10º B) 20º C) 8º
D) 15º E) 12º
12. En el gráfico, T es punto de tangencia. Calcule x.

T
x
θ
θ
A) 30º
B) 35º
C) 25º
D) 45º
E) 15º

Geometría
4
NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico, A es punto de tangencia. Si
m mAC ABC= ,m m ºAC AD + =114 ym ºCL =36 ,
calcule mS BAL.

D
L
A
B
C
A) 36º
B) 38º
C) 57º
D) 37º
E) 45º
14. Según el gráfico, BP=8. Calcule (AH)2
+(PH)2
si A es punto de tangencia.
A) 32
C
H
P
B
A
B) 64
C) 32 2
D) 8 2
E) 128
15. Del gráfico, ABCD es un rombo y L es media-
triz de AD. Calcule ME.

L 6
B
M
C
A D E
A) 6 B) 6 3 C) 6 2
D) 12 E) 18

Geometría
5
Circunferencia II
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia,
AP=6 – 2x y PB=4x. Calcule x.

A
B
P
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
2. En el gráfico, calcule x si A y B son puntos de
tangencia.

A
B
xx
40º
40º
A) 70º B) 80º C) 30º
D) 20º E) 10º
3. Según el gráfico, A es punto de tangencia y
BC=R. Calcule x.

A
C
R B
x
A) 53º B) 30º C) 15º
D) 45º E) 60º
4. Según el gráfico, A y B son puntos de tangen-
cia, CD=DE y AC=6. Calcule DH.

A
D
BE H
C
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 12
5. En el gráfico, T es punto de tangencia.
Calcule x.

O
T
x
θ
A) q B) q/5 C) q/4
D) q/2 E) q/3

2
x
A) 2 B) 3 C) 5
D) 4 E) 6

Geometría
6
7. En el gráfico, PM=6. Halle NQ.

Q
P
N
M
A) 3 B) 4 C) 12
D) 6 E) 9
8. Según el gráfico, m mAB CD = , PC=4 y AB=5.
Calcule mQLC.

D
Q
P
L
A
B
C
A) 37º B) 74º C) 53º
D) 106º E) 90º
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, D es punto de tangencia. Si
AB=6, calcule BC.

A
B
C D
5
A) 2 B) 1 C) 4
D) 3 E) 1/2
10. Según el gráfico, TC=2(TB). Calcule x si T es
punto de tangencia.

C
B
T
x
A) 45º B) 15º C) 45º/2
D) 30º E) 37º
11. En el gráfico, T es punto de tangencia,
m ºTB = 90 , AT=7 y R=4. Calcule AB.

T
B
R
A
A) 63 B) 33 C) 5
D) 4 2 E) 7 2
12. Según el gráfico, P y Q son puntos de tangencia.
Calcule x.

P
Q
x
A) 15º
B) 100º
C) 75º
D) 80º
E) 90º

Geometría
7
NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia. Si
R=5 y r=2, calcule PQ.
P
r
Q
R
A) 2 10
B) 3
C) 2 2
D) 4
E) 6
14. En el gráfico, ABCD es un romboide. Si
BM=MC=2, calcule OM. Considere que B es
punto de tangencia.

15º
B
A D
O
M
C
A) 6 B) 3 C) 2 5
D) 10 E) 2 3
15. Del gráfico mostrado, AD=BC. Si B y D son
puntos de tangencia, calcule mTB.

B
T
A D
C
A) 45º B) 90º C) 135º
D) 60º E) 53º

Geometría
8
Posiciones relativas entre dos circunferencias
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, T es punto de tangencia y
m ºTB = 80 . Calcule x.

T
x
B
A) 20º B) 30º C) 40º
D) 80º E) 50º
2. En el gráfico, T es punto de tangencia. Si
AB=20, calcule BC.

A
B
C
1415
A) 20 B) 16 C) 20 2
D) 18 E) 21
3. Según el gráfico, T es punto de tangencia. Si
m ºTQ = 100 , calcule x.

T
Q
x70º
A) 170º B) 100º C) 140º
D) 100º E) 120º
4. Según el gráfico, m ºAB = 40 . Calcule m BC.

C
B
A
A) 20º B) 40º C) 80º
D) 120º E) 140º
5. Según el gráfico, calcule
m
m
AB
CD


si P y Q son
puntos de tangencia.
A) 1/2 A
B
C
Q
P
D
B) 2
C) 1
D) 1/3
E) 2/3
6. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia. Si
m ºMN = 130 , calcule x.

A
B
N
x
M
P Q
A) 53º B) 60º C) 74º
D) 65º E) 70º

Geometría
9
7. En el gráfico, AB=8 y R=5. Calcule PQ.

A
QP
B
R
A) 1 B) 2 C) 1,5
D) 2,5 E) 0,5
8. Según el gráfico, T es punto de tangencia.
Calcule x.

T
xα
θ
A) a – q B) q – a C)
α θ−
2
D)
θ α−
2
E) a+q
NIVEL INTERMEDIO
9. A partir del gráfico, calcule MQ/PC. Considere
que A, B, C, D, M y N son puntos de tangencia.

B
P C
N
DM
A Q
A) 1
B) 2
C) 1/2
D) 3/2
E) 2/3
10. Según el gráfico, P es punto de tangencia, R=5
y r=2. Calcule m PQ.

P
r
R
Q
A) 30º
B) 37º
C) 45º
D) 53º
E) 60º
11. Si ABCD es un cuadrado, M, N, P y Q son puntos
de tangencia y PQ=2, calcule x.

M
x
B C
P
Q
N
A D
A) 1
B) 1,5
C) 4
D) 3
E) 2

Geometría
10
12. Según el gráfico, T es punto de tangencia. Si
mAB = 40º y m ºCT = 120 , calcule x.

T
A
B
C
x
A) 80º B) 100º C) 60º
D) 90º E) 120º
NIVEL AVANZADO
13. En la figura, T es punto de tangencia, AC=R.
Calcule mTB .

T
AA
B
R
C
100º
A) 100º B) 120º C) 140º
D) 160º E) 150º
14. En el gráfico, M, Q y T son puntos de tangencia.
Si m ºAT = 40 , calcule m NQ.

A
Q
M
N
T
A) 140º B) 80º C) 135º
D) 120º E) 106º
15. Según el gráfico, calcule m AB.

A B
A) 120º B) 135º C) 100º
D) 130º E) 150º

Geometría
11
Cuadrilátero inscrito e inscriptible
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, AB=BC. Calcule x.

C
x
80º
A
B
A) 20º B) 80º C) 60º
D) 50º E) 40º

104º
x
A) 66º B) 76º C) 104º
D) 30º E) 60º

20º
x
A) 50º B) 10º C) 20º
D) 40º E) 70º
4. Según el gráfico, la circunferencia está inscrita
en el triángulo ABC. Si AB=7, calcule R.

R
16º
A
B C
A) 1 B) 6 C) 2
D) 4 E) 3
5. En el gráfico, la circunferencia está inscrita en
el cuadrilátero ABCD. Si AD=3, AB=4 y CD=7,
calcule BC.

B
A D
C
A) 7 B) 4 C) 9
D) 8 E) 12
6. Según el gráfico, la circunferencia está inscrita
en el triángulo ABC. Si r=2, calcule AC.
A
r
B
37º
C
A) 10 B) 6 C) 8
D) 15 E) 20

Geometría
12

40º
x60º
A) 60º B) 80º C) 100º
D) 120º E) 90º
8. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia.
Calcule x/y.
A
B
y
x
A) 1 B) 2 C) 1/2
D) 2/3 E) 3/2
NIVEL INTERMEDIO
40º40º
100º
x
A) 90º B) 60º C) 45º
D) 80º E) 70º
10. Según el gráfico, calcule q.

5θ5θ
θθ
A) 15º B) 10º C) 30º
D) 19º E) 20º
11. Según el gráfico, CD = 2 2 y AD = 7.
Calcule AB.

B
C
A
30º
D
A) 3 B) 1 C) 5
D) 4 E) 2
12. En el gráfico, AC=14 y BC = 8 2. Calcule el in-
radio del triángulo AOB.

O
A
B
C
A) 1 B) 1,5 C) 2
D) 2,5 E) 3

Geometría
13
NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, T es punto de tangencia y
m m ºAT MBT+ ( ) =2 110 . Calcule x.

A
B
M
T
O
x
A) 30º B) 40º C) 45º
D) 35º E) 50º
14. Se tiene un cuadrado ABCD de centro O, se
ubica el punto P exterior al cuadrado y relativo
a AB, tal que mS APB=90º y mS PBA=20º. Se
traza CH perpendicular a OP. Si H ∈ OP, calcu-
le mS DCH.
A) 35º
B) 25º
C) 10º
D) 38º
E) 20º
15. En el gráfico, la circunferencia está inscrita en
el cuadrilátero ABCD. Si BC=4, calcule la suma
de inradios de los triángulos ABD y BCD.
A
B
C
D
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 4 2

Geometría
14
Puntos notables
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, G es baricentro de la región ABC,
GM=6 y GN=8. Calcule AG+BG.
A) 14
A
B
C
N
M
G
B) 28
C) 20
D) 22
E) 26
2. Según el gráfico, G es baricentro de la región
ABC, BG=2 y AC=4. Calcule x.
A
x
B
C
G
A) 53º/2 B) 127º/2 C) 60º
D) 30º E) 45º
3. En el gráfico, I es incentro del triángulo ABC.
Calcule x.
A
I
x
50º
B
C
A) 100º B) 130º C) 140º
D) 115º E) 120º
4. Según el gráfico, O es circuncentro del triángu-
lo ABC, BN=NC y AM=MC. Calcule x.

x
A
O
N
M
B
C
50º
A) 130º B) 100º C) 80º
D) 50º E) 100º
5. En el gráfico, H es ortocentro del triángulo
ABC. Calcule x.
A
B
C
x
H
50º
A) 35º B) 30º C) 60º
D) 50º E) 40º
6. A partir del gráfico, calcule AC si G es baricentro
de la región ABC y BG=4.
A C
B
G
A) 10 B) 12 C) 14
D) 18 E) 8

Geometría
15

50º
x
80º
55º
70º
A) 15º B) 20º C) 30º
D) 40º E) 35º
8. Según el gráfico, O es centro del rectángulo
ABCD. Si BQ=QC, calcule PC/AO.

A
B C
D
O
P
Q
A) 1/2 B) 1 C) 2/3
D) 3/2 E) 2
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, I es incentro de ABC. Si AI=AD,
calcule x.

A
B
I
CD
x
40º
A) 10º B) 20º C) 30º
D) 40º E) 80º
10. En el gráfico, O es circuncentro del triángulo
ABC. Calcule x.

A
B
C
O
x2x 120º
A) 25º B) 20º C) 15º
D) 30º E) 40º
11. Según el gráfico, H es ortocentro del triángulo
ABC. Si AC=14, calcule BH.

45º
A
B
C
H
37º
A) 7 B) 6 C) 3
D) 2 E) 5
12. En el gráfico, I es incentro del triángulo ABC. Si
MN // AC, AM=4 y NC=5, calcule MN.

A
M
B
NI
C
A) 4 B) 5 C) 9
D) 7 E) 14

Geometría
16
NIVEL AVANZADO
13. Si ABCD es un cuadrado, ¿qué punto notable
es P del triángulo MCN?

B C
DNA
M
P
45º
A) incentro
B) baricentro
C) circuncentro
D) ortocentro
E) excentro
14. En un romboide de ABCD, la mSCAD=30º. Si
la distancia de B a AD es 6, calcule la distancia
del baricentro de la región triangular ABD a C.
A) 6
B) 10
C) 12
D) 8
E) 9
15. Según el gráfico, H es ortocentro del triángulo
ABC. Si BH=HP, calcule x.
A P C
B
H
x 40º
40º
A) 40º
B) 20º
C) 25º
D) 15º
E) 30º

Geometría
2
Proporcionalidad de segmentos
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, L 1 // L 2 // L 3. Calcule x si
3(AB)=2(BC).

L 1
L 2
L 3
A
B
C
2x–3
x+1
A) 4 B) 9 C) 7
D) 8 E) 5
2. Según el gráfico, MN // AC y AB // NQ,
4(AM)=5(MB) y QC=15. Calcule AQ.
A Q C
NM
B
A) 12 B) 15 C) 18
D) 20 E) 9
3. En el gráfico, si BC=4(AB) y AD=2, halle CD.

α α
A D C
B
A) 12 B) 13 C) 14
D) 7 E) 8
4. Según el gráfico, 3(AB)=2(BC) y NC=9. Calcu-
le ND.

β β
θθA
N
D
C
B
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
5. Según el gráfico, AQ=3(QC). Calcule x.

45º
A D
x
Q
B C
A) 30º B) 53º C) 37º
D)
53
2
º
E) 37
2
º
6. Según el gráfico, 2(BC)=5(AB), AC=6.
Calcule AD.
A) 2
D A
α
α
C
B
B) 3
C) 5/2
D) 4
E) 5

Geometría
3
7. Según el gráfico, AB=6, BC=8 y AC=7. Calcule
CD.

β β
A D C
B
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 1
8. Según el gráfico, el triángulo ABC es equilátero
y CDEF es un cuadrado. Si 5(BC)=6(DE),
calcule
BD
DM
.
A C F
M
ED
B
A)
1
2
B)
1
3
C)
3
5
D)
5
3
E)
2
3
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, FC=3, AF=6 y DF // BC. Calcule
EF.
θ
θ
A E F C
D
B
A) 1 B) 2 C) 3
D) 2,5 E) 3,5
10. En el gráfico, m mAC CE = y AB=3(EB). Calcu-
le
CH
HL
.
A B
C
H
L
E
A) 3 B) 2 C) 3/2
D) 5/2 E) 4/3
11. Según el gráfico P, Q y R son puntos de tangen-
cia. Si PH=4 y m  LNM=37º, calcule NH.

Q
R N
H
P
L
M
A) 5 B) 6 C) 8
D) 10 E) 12
12. Según el gráfico, P, Q, R y L son puntos de tan-
gencia; 12(AB)=5(BC) y LM=5. Calcule MC.
A) 5
C
N
R
BLA
P
Q M
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10

Geometría
4
NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, AB=5, BC=6 y AC=7. Calcule
AM MN
MN
− si N, S y Q son puntos de tangencia.
A S C
N
M
Q
B
A) 3/4 B) 2/3 C) 3/5
D) 3/2 E) 4/5
14. En un triángulo ABC, se trazan la bisectriz
interior AE y la ceviana BF, que se intersecan
en D. Si 3(AD)=DE, AB=4 y AC=16, calcule AF.
A) 0,5
B) 1
C) 1,5
D) 2
E) 2,5
15. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz
interior BM y la ceviana AN, tal que se
intersecan en Q. Si m  BQN=m  NQC, AB=4,
BC=6 y QC=5, calcule QM.
A) 4
B) 3
C) 2
D) 5
E) 1

Geometría
5
Semejanza de triángulos
NIVEL BÁSICO
θ
θ
α
α
5x–10
7
2x3
A) 29
30

B) 15
C) 20
D) 30
E) 29
2. A partir del gráfico, 7(PQ)=2(AC) y AP=3.
Calcule PB.

θ
θ
A C
QP
B
A)
6
7
B)
7
6
C)
5
6
D)
6
5
E)
14
3
3. En el gráfico, 5(AM)=3(MB) y MN=10. Calcule AC.

A C
M N
B
180º–β
β
A) 12 B) 14 C) 16
D) 18 E) 20
4. Según el gráfico, AC=7 y DC=3. Calcule AB.
θ
θ
A D C
B
A) 21 B) 28 C) 21
D) 10 E) 2 7
5. En el gráfico, BC – 5=AB y CD=7. Calcule AB.
ω
ω
A C
D
B
A)
10
3
B)
3
10
C)
35
6
D)
7
3
E) 35

Geometría
6
6. Según el gráfico, ABCD es un romboide. Si
2(AN)=3(BN), calcule
NQ
QC
.
A D
QN
B C
A)
2
3
B)
3
2
C)
2
5
D)
5
2
E) 1
7. Según el gráfico, los triángulos ABC y CDE son
equiláteros, AC=6 y CE=4. Calcule PQ.
A Q C E
D
P
60º
B
A)
3
2
B)
2
3
C)
12
5
D)
5
12
E) 12
8. Según el gráfico, PC=7 y AP=2. Calcule AB.
θ
θ
A P C
B
A) 1 B) 1,5 C) 2
D) 2,5 E) 3 2
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, ABCD es un rombo. Si FC=1 y
BM=3(MC), calcule LF.
A E D
L
F
CMB
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5/2
10. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y
AB=4. Calcule PQ.
A D
P
53º
CQB
A)
16
7

B)
7
16

C)
12
7
D) 7
12

E)
5
7

Geometría
7
11. En el gráfico, (CE)(ED)=12. Calcule (AC)(BD).

α
α
β
β
A
B
D
C
E
A) 6
B) 18
C) 12
D) 12 2
E) 6 2
12. Del gráfico, L es punto de tangencia. Si
LD
DE
=
3
2
, calcule
AB
CD
.
B
r
r
D
E
C
L
A F
A)
3
2
B) 4 C) 2
D)
5
3
E)
2
3
NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico, AB=2, AC=5 y 2(AF)=3(AE).
Calcule FC.
A C
F
E
90º–θ
θ
θ
B
A) 2 B) 5 C) 2 2
D) 10 E) 4
14. En la figura, mCD = 2α, BC=2 y AB=3. Calcule
ED.
α
A
E
B
C
D
A) 4 B) 10 C) 2 5
D) 13 E) 6
15. En el gráfico, BC=4 y CD=6. Calcule DE.

E
D
C
B
A
A) 5 B) 8 C) 3 5
D) 2 15 E) 4 3

Geometría
8
Relaciones métricas I
NIVEL BÁSICO

x+1
x+2
x+4
x
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
AT = 2 6 y BC=2. Calcule AB.

C
B
T
A
A) 5 B) 6 C) 7
D) 4 E) 3

x
4
6
5
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
4. En el gráfico, AB=5, BC=3 y CD=1. Calcule DE.
A
B
C D
E
A) 5/3 B) 4 C) 6
D) 2 E) 2/3
5. En el gráfico, T es punto de tangencia. Si AT=6
y AB=4, calcule BC.

C
B
T
A
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
6. Según el gráfico, T es punto de tangencia,
AT = 2 5, AE=10 y BC=1. Calcule CD.

A
B C
D E
T
A) 4 B) 10/3 C) 11/3
D) 3 E) 5

Geometría
9
7. Según el gráfico, PH=6. Calcule (AH)(HC).
A
C
H
P
A) 12 B) 36 C) 24
D) 30 E) 18
8. En el gráfico, A, B, C y D son puntos de tangen-
cia. Calcule PB
DQ
.
D
A
B
C
Q
P
A) 1/3 B) 2/3 C) 4/3
D) 2 E) 1
NIVEL INTERMEDIO
9. Según el gráfico, R=6 y MC=1. Calcule AN.
A) 2,5
N
A
O C M
B
R
B) 3,75
C) 4,25
D) 2,75
E) 3
10. Según el gráfico, BD=12, AM=8 y mCD = 2θ.
Calcule AN.

θ
C
A
M
B
D
EN
A) 8 B) 10 C) 14
D) 9 E) 12
11. En el gráfico, P, Q y T son puntos de tangencia.
Si AB=3(BC) y QN=2, calcule PM.
A
M
P
Q
T N B C
A) 5 B) 2 2 C) 4
D) 4 2 E) 3
m mAB BC = , TE=6 y CE=4. Calcule (BM)
(MT).
T
M
A C
E
B
A) 4 B) 6 C) 8
D) 6 2 E) 4 3

Geometría
10
NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico, D es punto de tangencia,
CB=2(LD)=6(AL)=6 y m mBQC CD= . Calcu-
le DF.

A
L
D
F
B
Q
C
E
A) 6
B) 4
C) 4 2
D) 3 3
E) 6 2
14. En el gráfico, M, N y T son puntos de tangencia,
mMTN = 210º , AC=3 y CF=2. Calcule EB.
A C
FT
E N
M
B
A) 4 B) 13/4 C) 21/4
D) 23/6 E) 4 3
15. En el gráfico, CM=MB y R = 30. Calcule MF.
A O B
M
F
C
R
A) 3 2 B) 4 3 C) 2 3
D) 3 E) 3

Geometría
11
Relaciones métricas II
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, calcule a, si HC=3(AH).
α
A H C
A) 37º B) C)
37
2
º
D)
53
2
º
E) 30º
x x+1
x+9
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 12
3. En el gráfico, AB=5. Calcule AD.

θ
θ
B
A
D
A) 5
B) 6
C) 10
D) 12
E) 3
4. En el gráfico, AB=6 y AQ=2(CP). Calcule CD.
A Q
P
C
D
B
A)
6
2
B) 6 C) 3
D) 5 E) 4
5. Según el gráfico, PH=a y AC=b. Calcule AH.

θ
θ
C
A
H
P
A) a+b
B) ab
C) a b2 2
−
D) b a2 2
−
E)
b a2 2
2
−

Geometría
12
6. Según el gráfico,
AD
DC
= 2. Calcule
AB
BC
.
A D C
B
A) 1 B) 2 C)
2
2
D) 3 E)
3
2
7. Del gráfico, (BM)(MH)=7 y AC=4(MN). Calcule
(AB)(BC).
A H C
MN
B
A) 10 B) 14 C) 21
D) 28 E) 35
8. Según el gráfico, AC=2. Calcule (AB)(BC).
15º
A
B
C
A) 4 B) 1 C) 8
D) 3 E) 5
NIVEL INTERMEDIO
9. Según el gráfico, BC=4(AB). Calcule x si T es
punto de tangencia.

β
β
T
A
C
x
A) 30º B) 37º C) 53
2
º
D) 15º E) 60º
(PC) (CQ)=16. Calcule MC.
M A D N
Q
C
P
B
A) 5 B) 6 2 C) 7
D) 4 3 E) 3 3
11. En el gráfico, A es punto de tangencia y
AC = 5 2. Calcule AD.
A B
C
D
A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 25

Geometría
13
12. En el gráfico, R=5, AQ=QD=1 y m mDN NB = .
Calcule MQ.
A O B
R
N
D
QM
A) 1/7 B) 1/5 C) 1/9
D) 1/3 E) 1
NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, NQ=K(AP). Calcule
R
r
.
A Q B
N
53ºP
C r
R
A)
5
4K
B) 4
3K
C)
4
3
K
D)
5
3K
E)
5
4
K
14. En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia.
Calcule (PH)(PC).

B
H
θ
A P D
Q
C
2
7
θ
A) 18
B) 20
C) 12
D) 15
E) 24
15. En el gráfico, AE=2(EL), mCD = 60º y ML=MF.
Calcule
AC
EM
.
A E L B
D
C
M
FF
A) 3 B) 5 C) 2 3
D) 2 E) 6

Geometría
14
Relaciones métricas III
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, (AB)2
+(BC)2
=100 y AM=MC=6.
Calcule BM.
A M C
B
A) 10 B) 8 C) 34
D) 14 E) 17
2. Según el gráfico, (AB)(BC)=48 y PH=6. Calcu-
le BH.

θ θ
HA C
B
P
A) 2 3 B) 12 C) 42
D) 54 E) 3 6
3. En el gráfico, AB=13, BC=15 y AC=14.
Calcule AH.
A H C
B
A) 2 B) 5 C) 7
D) 9 E) 1
4. En el gráfico, AB=5, BC=7, AD=2 y CD=4.
Calcule BD.
A D C
B
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
5. Según el gráfico, AP=6 y AM=MC=9. Calcule
(BC)2
– (AB)2
.
A M C
P
B
A) 45
B) 60
C) 120
D) 180
E) 117
6. En un triángulo ABC, AB=4, BC=7 y AC=9.
Calcule la longitud de la altura relativa a AC.
A)
3
4
15 B) 6 5 C)
4
3
5
D) 27 5 E) 3 5

Geometría
15
7. Según el gráfico, (AB)(BC)=60, EC=4 y
AD = 21. Calcule BE.

θ θ
β
β
A
D
E
C
B
A) 2 3
B) 2 2
C) 2 15
D) 8
E) 4 3
8. En el gráfico, (AB)2
+(AC)2
=108 y BC=6. Cal-
cule AP.
O B
P
C
A
A) 5
B) 2 5
C) 3 5
D) 6
E) 6 3
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, AB=1, BC=2 y CD=3. Calcule la
distancia de Q a AD.
A B C D
Q
A) 3 B) 14 C) 2 14
D) 3 14 E)
2
3
14
10. Según el gráfico, O es centro del rectángulo
ABCD. Si AE=2 y AD=6, calcule (OE)2
– (OC)2
.
A D
O
B C
E
A) 12 B) 20 C) 14
D) 16 E) 18
11. En el gráfico, 4(AE)=4(ED)=DC=12. Calcule
BD.

θ 2θ
A E D C
B
A)
30
4
B)
5
5
C) 6 2
D)
2
3
6 E) 4 6

Geometría
16
12. En el gráfico, (AB)(BC)=20, FC=3(FL) y AC=6.
Calcule BM.

θ θ
ω ω
2θ
L
FB
A M C
A) 4 B) 3 C) 2 3
D) 3 2 E) 2 2
NIVEL AVANZADO
13. Se tiene el triángulo ABC en el cual se traza
la altura BH (H ∈ AC) y HM (M ∈ BC), tal que
BM=MC. Si AB=5, BC=7 y AC=6, calcule la dis-
tancia de C a HM.
A) 7 B)
6
7
C)
3
5
6
D)
6
7
E)
10
7
6
14. Según el gráfico, ABCD es un romboide, tal
que (AD)2
+(CD)2
=250 y PQ=10. Calcule QC.

P
A D
Q
CB
A) 6
B) 3
C) 5
D) 4
E) 2
15. En un triángulo ABC, se traza la altura BM
y con diámetro HD (D ∈ HC) se traza una
semicircunferencia tangente a BC en T. Si
AB=13, BC=20 y AC=21, calcule el radio de la
semicircunferencia.
A) 4
B) 4,5
C) 5
D) 5,5
E) 6

Geometría
2
6
PRÁCTICA POR NIVELES
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, AB–1=BC=4. Calcule el área de
la región ABC.
53º
A C
B
A) 6 B) 12 C) 8
D) 16 E) 18
2. Según el gráfico, AC=8 y BH=4. Calcule el área
de la región sombreada.
A H C
B
A) 32 B) 16 C) 64
D) 12 E) 24
3. En el gráfico, AC=2(AB)=10 y BC=9. Calcule el
área de la región sombreada.
A C
B
A) 35 B) 21 C) 3 14
D) 2 14 E) 6 14
4. Según el gráfico, AB=7, BC=8 y AH=1. Calcule
el área de la región ABC.
A CH
B
A) 20 3 B) 10 3 C) 15 3
D) 4 3 E) 12 3
5. En el gráfico, AD=5 y DC=4. Calcule el área de
la región ABC.
30º
A D C
B
θ
θ
A) 12 B) 24 C) 36
D) 18 E) 6
6. Según el gráfico, AH=4 y HC=6. Calcule el área
de la región ABC.
B
H CA
A) 24
B) 12
C) 24 6
D) 10 6
E) 12 6
Áreas de regiones triangulares

Geometría
3
7
Anual San Marcos Geometría
7. Según el gráfico, T es punto de tangencia, AT=6
y AB=AC. Calcule el área de la región ABD.
T
A
D
C
B
30º
A) 6 B) 12 C) 18
D) 9 E) 24
8. Segúnelgráfico,(AB)2
+(BC)2
=50,AC=8yMF=2.
Calcule el área de la región MFB si AM=MC.
B
A M
F
C
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 3
NIVEL INTERMEDIO
AB=R=6. Calcule el área de la región som-
breada.
θ
2θ
B
C
A T
R
A) 36 B) 18 C) 12
D) 24 E) 30
10. En el gráfico, E es el punto de tangencia, AB=4
y BC=2. Si m mCE BE − = 60º, calcule el área
E
B C
A
A) 6 B) 2 6 C) 4 6
D) 16 E) 24
11. Según el gráfico, m mAM MC = y 4(AB)=5(BC).
Calcule el área de la región triangular AFB.
F
5
A
M
C
B
A) 10/3 B) 20/3 C) 40/3
D) 10 E) 15
(AB)(TC)=40. Calcule el área de la región ATC.
A B C
T
A) 10 B) 20 C) 40
D) 80 E) 30
Según el gráfico,
Calcule el área de la región triangular
Según el gráfico,
Calcule el área de la región triangular
4 C) 6
8 E)
F
11.
F

Geometría
4
8
Academia ADUNI Material Didáctico N.o
5
NIVEL AVANZADO
13. Calcule el área de una región triangular equilá-
tera si se sabe que el radio de la circunferencia
inscrita en este, mide 4.
A) 48 3 B) 24 3 C) 12 3
D) 9 3 E) 6 3
14. Se tiene un cuadrado ABCD, en las prolon-
gaciones de los lados AD y DC se ubican los
puntos E y F, respectivamente, de modo que
mBEF=mEBC. Si (EF)(AB)=90, calcule el
área de la región triangular EFB.
A) 30
B) 60
C) 90
D) 50
E) 45
15. En una circunferencia de radio 20, se trazan los
diámetros perpendiculares AC y BD. En el arco
CD se ubica el punto Q, AQ y BD se intersectan
en E. Si QC=24, calcule el área de la región
triangular AED.
A) 24 B) 48 C) 50
D) 25 E) 100

Geometría
5
12
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico el área de la región ABC es 100 y
3(AD)=2(CD). Calcule el área de la región BDC.
A D C
B
A) 20 B) 40 C) 60
D) 50 E) 30
2. Según el gráfico, 3(BM)=7(MC) y el área de la
región ABQ es 21. Calcule el área de la región
sombreada.
A
Q
C
M
B
A) 21/2 B) 12 C) 10
D) 9 E) 15
3. En el gráfico, T es punto de tangencia AT=6 y
BC=9. Calcule
A
b
.
B
A B
T A
C
A) 1 B) 2 C) 3
D) 2/3 E) 3/2
4. Según el gráfico, calcule
A
b
.
53º/253º/2
AA BB
A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3
D) 1/4 E) 3/2
5. Según el gráfico, CD=3(BD) y EC=2(AE). Cal-
cule la razón entre las áreas de las regiones
BFD y AFE.
B
D
F
E CA
A) 1/2 B) 3/2 C) 4/3
D) 1/3 E) 4/5
6. Según el gráfico, 4(AB)=6(BD)=12.
Calcule la razón entre las áreas de las regiones
sombreadas.
D
A
B
C
E
A) 1 B) 1/2 C) 2/3
D) 3/5 E) 9/4
M
es 21. Calcule el área de la regiónes 21. Calcule el área de la región
Razón de áreas de regiones triangulares

Geometría
6
13
ABC. Si el área de la región APQC es 25, calcule
el área de la región triangular PBQ.
B
P Q
Gθ
A C
θ
A) 20 B) 25 C) 30
D) 40 E) 50
8. Según el gráfico, calcule la razón de áreas de las
regiones triangulares equiláteras sombreadas.
A) 5/12 B) 3/4 C) 7/12
D) 11/13 E) 6/7
NIVEL INTERMEDIO
9. Según el gráfico, MN es base media del trián-
gulo ABC y el área de la región triangular MBN
es 40. Calcule el área de la región sombreada.
B
M N
A C
A) 40 B) 50 C) 60
D) 70 E) 120
10. En el gráfico, E, F y T son puntos de tangencia y
5(BT)=3(AT). Calcule la razón de las áreas de
las regiones triangulares BCF y ADE.
A) 3/5
B) 2/3
C) 4/5
T
B
C
F
A
E
D
D) 9/25
E) 25/9
11. Según el gráfico, AB = 2 2 y AD=4. Calcule la ra-
zón entre las áreas de las regiones sombreadas.
B C
A D
A) 1/2 B) 1/16 C) 2/3
D) 1/4 E) 1/3
12. Según el gráfico, AB=4 y CD=9. Calcule la razón
entre las áreas de las regiones sombreadas.
A B C D
A) 1/2 B) 2/3 C) 4/5
D) 2/9 E) 1/3
Según el gráfico,
Según el gráfico,
3/4 C)
11.11.

Geometría
7
14
5
NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico, BC=5(AB). Halle la razón entre
las áreas de las regiones sombreadas.
A) 2/5
B) 1/4
C) 1/11
3θ3θ
B
A C
θθ
D) 1/10
E) 3/4
14. Según el gráfico, AB=30 y AC=BC=25. Calcule
la razón entre las áreas de las regiones som-
breadas.
B
A C
A) 5/6 B) 7/18 C) 1/2
D) 2/3 E) 7/25
15. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y EC=DF.
Indique la relación correcta entre las áreas de
las regiones sombreadas.
B C
E
A
A2A2
A1A1
A3A3
D F
A) A3=A2 –A1
B) A
A A
3
2 1
2
=
−
C) A
A A
3
2 1
2
=
+
D) A3=A2+A1
E) A2=2A1+A3
A A2 1A A2 1A A
2
A A2 1A A−A A2 1A A
B) A3 =
C) A
A A
C

Geometría
8
18
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, 4(AC)=3(BD)=24. Calcule el
área de la región cuadrangular ABCD.
45º45º
B
C
DA
A) 48 2 B) 24 2 C) 12 2
D) 10 2 E) 20 2
2. A partir del gráfico, calcule el área de la región
sombreada si AC=8 y BD=2.
A
D
B C
60º
A) 4 3 B) 8 3 C) 16 3
D) 32 3 E) 12 3
3. Según el gráfico, BC//AD, AB=10 y AD=16.
Calcule el área de la región trapecial ABCD si
AB=CD.
B C
A D
53º53º
A) 40 B) 80 C) 160
D) 100 E) 50
α+θ=90º. Calcule el área de la región som-
breada si AP=4 y QD=9.
P A
B
D
C
θα
Q
A) 13 B) 26 C) 39
D) 30 E) 36
5. Según el gráfico, (AC)(BD)=16 y α+θ=120º.
Calcule el área de la región cuadrangular ABCD.
B
C
D
αα
θθ
A
A) 32 B) 64 C) 16 3
D) 8 3 E) 4 3
6. En el gráfico, EC=4(BF) y AD=5. Calcule el área
A
D
C
E
FB
A) 20 B) 40 C) 60
D) 100 E) 80
Áreas de regiones cuadrangulares

Geometría
9
19
7. En el gráfico, 4(HC)=5(AH)=20 y HD = 5.
Calcule el área de la región sombreada.
B
D
CA
H
A)
9 5
2
B)
27 5
2
C)
18 5
2
D)
36 5
2
E)
15 5
2
8. En el gráfico, FBCE es un cuadrado. Si PF=5 y
FQ=8, calcule el área de la región sombreada.
B C
Q
F
θθ
EA
P
A) 30 B) 15 C) 40
D) 45 E) 20
NIVEL INTERMEDIO
9. A partir del gráfico, calcule el área de la región
paralelográmica ABCD si mAB = 53º y R=5.
A) 10
B) 15
C) 12
B C
A D
R
D) 18
E) 20
10. Según el gráfico, CD = 2 2 y mDC = 37º. Calcu-
le el área de la región paralelográmica ABCD.
B
C
A
D
A) 4 B) 8 C) 12
D) 16 E) 20
11. En el gráfico, (AC)(BD)=36 y mBC = 60º. Cal-
cule el área de la región sombreada.
A
B
C
D
A) 36 3
B) 18 3
C) 27 3
D) 10 3
E) 9 3
12. Según el gráfico, AM=MB, BN=NC, AB=9 y
BC=12. Calcule el área de la región sombreada.
A C
B
NM
A) 6 B) 9 C) 12
D) 25 E) 3
=8, calcule el área de la región sombreada.
Q

Geometría
10
20
5
NIVEL AVANZADO
13. Si AD=CM y (BH)(BC)=20, halle el área de la
región paralelográmica ABCD.
B C
A M D
H
A) 5
B) 7,5
C) 10
D) 15
E) 20
14. En el gráfico, AOEC es un trapecio isósceles. Si
CD=2, calcule el área de la región sombreada.
A O
E
D
C
A) 4 2 B) 6 2 C) 8 2
D) 12 2 E) 16 2
15. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, AP=PQ y
DP=2. Calcule el área de la región cuadrada.
A) 4
B) 8
C) 16
B C
QQ
A P D
D) 12
E) 20
1616
D) 12
E) 20
=2, calcule el área de la región sombreada
es un trapecio isósceles. Si
=2, calcule el área de la región sombreada
es un trapecio isósceles. Sies un trapecio isósceles. Sies un trapecio isósceles. Sies un trapecio isósceles. Si

Geometría
11
24
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, BM=MC y AN=ND. Calcule X.
B
M
C
771010
XX
A N D
A) 3 B) 4 C) 13
D) 8,5 E) 5
2. En el gráfico, CM=MD y BC//AD. Calcule X.
B C
22
2020
A D
M
XX
A) 9
B) 11
C) 18
D) 10
E) 12
3. En el gráfico, BC//AD. Calcule X.
B C
99
44
A D
XX
A) 13 B) 26 C) 12
D) 6 E) 6,5
4. Según el gráfico, halle la relación entre A, B y C.
AA
BB
CC
A) A=B+C B) B=A+C C) B=A+2C
D) A
B C
=
+
2
E) A B
C
= +
2
5. En el gráfico, BC//AD y CF//DE. Calcule X en
función de A y B.
A) A+B
B) B+2A
C) A+2B
AA XX
BB
F E
CB
A D
D) 2A–B
E) 2B–A
6. Según el gráfico, halle la relación entre las áreas
de las regiones sombreadas. (ABCD: paralelo-
gramo)
A
D
C
B
B C
DA
A) A+B= C+D
B) A+C=B+D
C) A B
D C
− +
−
2
D) A+C=D+2C
E) A+D=2(B+C)
A+B
B) B+2A
C) A+2B
D) 2A
D
X
M
Razón de áreas de regiones cuadrangulares

Geometría
12
25
7. Según el gráfico, halle la relación entre las áreas
de las regiones sombreadas.
A) A+C=B+D
B) A+B=C+D
C) C+D=2A+B
b
d
c
c
a
a
b
d
A
B
C
D
D) B+D=2(A+C)
E) D–B=C–A
8. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo. Ha-
lle la relación entre las áreas de las regiones
sombreadas.
AA
BBCC
DD
B C
DA
A) A+C =B+D
B) C+D=A+B
C) D=A+B–C
D) D=A+B+C
E) B=D+A–2C
NIVEL INTERMEDIO
9. A partir del gráfico, calcule
A B
C D
+
+
.
d
d
a a
CC
DD
BB
AA
bbcc
cc
bb
A) 1/3 B) 1/4 C) 3/2
D) 1/2 E) 2/3
10. En el gráfico, ABCD es un romboide. Halle la re-
lación entre las áreas A1, A2 y A3.
A D
CB
A3A3
A2A2
A1A1
A) A2=A1–2A3
B) A1=A3+A2
C) 2A1=A3+A2
D) 2A3=A1+A2
E) A1=A3 –A2
11. En el gráfico, ABCD y DEFG son cuadrados.
sombreadas.
B C
A D G
FE 8º8º
A) 1/7 B) 1/4 C) 9/16
D) 1/8 E) 9/25
12. Según el gráfico, AE=6, BE=3 y ED=4. Calcule
la razón entre las áreas de las regiones DECF y
ABCD. (DECF es un paralelogramo).
A) 1/3
C
B
A
D
F
53º53º
EE
B) 1/5
C) 2/7
D) 1/9
E) 1/4
En el gráfico,
sombreadas.
sombreadas.
B
DD

Geometría
13
26
5
NIVEL AVANZADO
13. En un cuadrilátero convexo ABCD, M, N y Q son
los puntos medios de AB, BC y CD, respectiva-
mente. Calcule la razón entre las áreas de las
regiones MNQ y ABCD.
A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3
D) 1/4 E) 2
14. En un trapecio ABCD (BC//AD), se trazan sus
diagonales. Las áreas de las regiones BCD y
ACD son 5 m2
y 20 m2
, respectivamente. Cal-
cule el área de la región trapecial ABCD.
A) 20 m2
B) 25 m2
C) 35 m2
D) 30 m2
E) 50 m2
15. En el triángulo ABC, BN es mediana y el área
de la región PQM es 4 u2
. Calcule el área de
la región trapecial APMC si las regiones AQP y
NQC son equivalentes.
B
P M
A N
QQ
C
A) 18 u2
B) 24 u2
C) 36 u2
D) 72 u2
E) 54 u2

Geometría
14
30
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, calcule A–B.
AA BB
34
A) 5π B) 7π C) 9π
D) π E) 6π
AB=4. Calcule el área de la corona circular.
B
A
T
A) π B) 2π C) 3π
D) 4π E) 8π
3. Según el gráfico, R=6. Calcule A–B si AB=AC.
RR B
A C
AA BB
30º30º
A) π B) 2π C) 3π
D) 4π E) 6π
4. Según el gráfico, R=4 y BC=6. Calcule la di-
ferencia entre las áreas de las regiones som-
breadas.
R
B
C
A) 4π–8 B) 3(π–4) C) 4(π–3)
D) 4(π–12) E) 4(π–1)
5. Según el gráfico, AB=14 y AC=50. Calcule el
área del círculo inscrito en ABC.
B C
A
A) 12π B) 24π C) 18π
D) 36π E) 20π
6. Calcule el área del círculo cuyo perímetro es 8π.
A) 4π B) 16π C) 24π
D) 32π E) 8π
7. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y AB=4.
Calcule el área de la región sombreada.
B C
DA
A) π–1 B) π–3 C) π–2
D) π–4 E) 2π–2
Áreas de regiones circulares

Geometría
15
31
8. Según el gráfico, BC=CD y R=4. Calcule el área
R
D
B
C
A) 8π B) 16π C) 4π
D) 2π E) 32π
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, AB=3 y BC=4. Calcule el área de
la corona circular.
B
C
A
A) 12π B) 6π C) 18π
D) 21π E) 15π
10. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado cuyo
lado mide 8. Calcule la suma de las áreas de
las regiones sombreadas.
A) 4π–8
B) 2π+4
C) 16π
B C
A D
D) 32π
E) 2π+8
11. En el gráfico, T y Q son puntos de tangencia,
AT=4 y TB=12. Calcule el área de la región
sombreada.
Q
TA B
A) 8π B) 16π C) 20π
D) 55π E) 23π
12. Halle el área de la región sombreada si
mAOB=60º y OA=OB=12.
A) 4π
B) 12π
C) 16π
O
B
A
D) 20π
E) 36π
NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, T es punto de tangencia,
TB=24 y BF=36. Calcule la diferencia entre las
áreas de las regiones sombreadas.
F
B
T
A) 69π B) 169π C) 85π
D) 50π E) 79π
π
12π
C) 16π
D) 20π
E) 36

Geometría
16
32
5
14. Halle el área de la región sombreada si AB es
diámetro, OA=OB y FH=2. (O es punto de tan-
gencia)
A O BH
F
A) 2π–8 B) 4π–4 C) 4π–1
D) 2π–1 E) 4π–8
15. Halle el área de la región sombreada si ABCD
es un cuadrado cuyo lado mide 10 u.
B C
A D
A) 100–25π B) 150–50π C) 50π
D) 50 E) 25π–50

6
Práctica por Niveles
NIVEL BÁSICO
1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es co-
rrecta?
I. Una recta y un punto determinan un plano.
II. Si una recta es paralela a una recta conte-
nida en un plano, entonces es paralela a
dicho plano.
III. Las rectas alabeadas son coplanares.
A) solo I B) solo II C) solo III
D) I y III E) todas
2. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es inco-
rrecta?
I. Si dos planos son paralelos, las interseccio-
nes de estos con un tercero son paralelas.
II. Toda recta paralela a un plano es paralela a
algunas rectas contenidas en dicho plano.
III. Si dos rectas son paralelas a un mismo pla-
no, entonces dichas rectas son paralelas.
D) todas E) ninguna
3. Indique verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda y elija la secuencia correcta.
I. Dos planos paralelos a una misma recta
son paralelos entre sí.
II. Un punto determina un plano.
III. Si una recta no interseca a un plano, no es
paralela a dicho plano.
A) VFF B) FFF C) VVF
D) VFV E) FFV
4. Respecto a las siguientes afirmaciones, in-
dique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F).
I. Si una recta es perpendicular a una recta
contenida en un plano, dicha recta será se-
cante al plano.
II. Si dos rectas determinan un plano, son pa-
ralelas o alabeadas.
III. Si dos planos no son secantes, entonces no
son paralelos.
A) VVF
B) FFV
C) VFF
D) FFF
E) VVV
5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es inco-
rrecta?
I. Las rectas alabeadas no se intersecan.
II. Las rectas pueden ser secantes, paralelas o
alabeadas.
III. Si una recta es paralela a dos planos, di-
chos planos son paralelos.
D) todas E) ninguna
I. Tres puntos determinan un plano.
II. Dos rectas determinan un plano.
III. Las rectas paralelas son coplanares.
A) VVV
B) VVF
C) VFV
D) VFF
E) FFV
7. Según el gráfico, P// Q; A y B están en el
plano P, y C y D están en el plano q. Calcule
m
m
AD
BC


.
PP
QQ
AA BB
CCDD
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E)
1
2
2
Geometría
Introducción a la geometría del espacio

7
8. En el gráfico, P// Q. Calcule x.
QQ
PP
30º30º
xx
40º40º
A) 70º B) 50º C) 60º
D) 35º E) 40º
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, P// Q// R, 2(AB)=3(BC) y
EF=6. Calcule ED.
PP
QQ
RR
AA
BB
CC
DD
EE
FF
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 5
10. En el gráfico, P// Q, E y B están en el
plano P; A, C y D están en el plano Q. Si G es
baricentro de la región ABC, calcule EG
GD
.
QQ
PP
AA
BB
CC
DD
EE
G
A) 1 B) 2 C) 3
D)
1
2
E)
1
3
I. Las rectas alabeadas solo tienen un punto
en común.
II. Las rectas secantes son coplanares.
III. Si una recta no es secante a un plano, en-
tonces es paralela a dicho plano.
A) VFV B) VVF C) FFV
D) FFF E) FVF
I. Dos rectas siempre determinan un plano.
II. La intersección de tres planos siempre es
una recta.
III. Si una recta es paralela a un plano, enton-
ces dicha recta será paralela a todas las
rectas contenidas en dicho plano.
A) VFF B) VFV C) FVF
D) FVV E) FFF
Geometría
3

8
6
NIVEL AVANZADO
13. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda y elija la secuencia correcta.
I. Si dos rectas no se intersecan, entonces son
paralelas.
II. Por una recta secante a un plano se puede
trazar solo un plano secante al primero.
III. Si dos planos no son paralelos, entonces
son secantes.
A) VFV B) VVV C) FFV
D) FVV E) FFF
14. Indique las proposiciones incorrectas.
I. Si una recta es perpendicular a una recta
paralela a un plano, entonces dicha recta
es paralela al plano.
II. Toda recta contenida en uno de dos planos
paralelos es paralela al otro plano.
III. Dos rectas paralelas a un mismo plano
siempre determinan un plano.
A) todas
B) solo I
C) I y III
D) I y II
E) II y III
15. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F)
de las siguientes proposiciones y elija la se-
cuencia correcta.
I. Si dos planos no se intersecan, entonces
son secantes.
II. La intersección de dos planos secantes es
un segmento.
III. Cuatro puntos no colineales determinan a
los más un plano.
A) VFV
B) VVV
C) FFV
D) FVV
E) FFF
Geometría
4

12
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, OP es perpendicular al plano del
círculo y PL=5. Calcule OP.
OO33
P
LL
A) 3 B) 4 C) 5
D) 8 E) 2
2. Según el gráfico, ABCD y ABEF son cuadrados.
Calcule la medida del ángulo determinado
por BC y EF.
A
B C
D
E
F
A) 90º B) 75º C) 60º
D) 53º E) 45º
3. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y AQD es
un triángulo equilátero. Calcule la medida del
ángulo determinado por AQ y CD.
A
B
CD
Q
60º
A) 30º
B) 45º
C) 53º
D) 37º
E) 60º
4. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado de
centro O, OP es perpendicular al plano de di-
cho cuadrado y AB=OP. Calcule x. (CM=MD).
MOO
P
B C
DA
x
A) 45º B)
53
2
º
C)
37
2
º
D) 30º E) 60º
equilátera ABC, AP es perpendicular al plano
de dicha región. Si AB=6 y AP = 3, calcule x.
A
P
B
C
xx
GG
A) 15º B) 30º C) 18º
D) 8º E)
37
2
º
5
Geometría
Geometría del espacio I

13
6. Según el gráfico, PC es perpendicular al pla-
no del rectángulo ABCD, PC=CD=5. Calcule
la medida del ángulo entre AP y el plano del
rectángulo.
A
B
C
D
P
30º30º
A) 15º B) 16º C)
53
2
º
D) 30º E)
37
2
º
7. Según el gráfico, GQ es perpendicular al plano
de la región equilátera ABC, cuyo baricentro
es G, BC=12 y GQ = 3 3. Calcule la medida del
ángulo entre BQ y el plano de ABC.
A
B
C
Q
G
A) 53º
B) 37º
C) 30º
D) 45º
E) 60º
8. En el gráfico, la proyección ortogonal de AB
sobre el plano P mide 6 u y BN=17. Calcule
AB - AM.
A
B
MMPP
NN
37º
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
NIVEL INTERMEDIO
9. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las
siguientes afirmaciones y elija la secuencia
correcta.
I. Si dos rectas forman el mismo ángulo con
un mismo plano, serán paralelas.
II. Si dos rectas son perpendiculares a un mis-
mo plano, serán paralelas.
III. Un segmento y su proyección ortogonal so-
bre un plano son de igual longitud.
A) VVF B) VVV C) FVF
D) VFV E) FFF
10. En el gráfico, PC es perpendicular al plano del
cuadrado ABCD cuyo lado mide 4. Calcule la
distancia de P al punto medio de AD.
P
B C
DA
5
A) 2 5 B) 2 C) 4
D) 5 E) 3 5
Geometría
6

14
6
11. Según el gráfico, ABCD y ABEF son cuadrados
de centro O y O1, respectivamente. Calcule la
medida del ángulo entre OO1 y BC.
A
C
D
E
F BB
OO
O1O1
120º
A) 45º B) 90º C) 60º
D) 30º E) 37º
12. En el gráfico, G es baricentro de la región equi-
látera BEC y O es centro del cuadrado ABCD.
Calcule la medida del ángulo entre OG y CD.
GG
OO
E
B C
DA
A) 30º B) 60º C)
53
2
º
D)
37
2
º
E) 15º
NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, AB=BC y AB está contenido
en el plano P. Si la medida del ángulo entre BC
y el plano P es de 45º, calcule la medida del
ángulo entre AC y el plano P.
C
PP
BB
AA
A) 45º
B) 37º
C) 53º
D) 60º
E) 30º
14. Según el gráfico, AB y BC están contenidos en
el plano P, y AD es perpendicular al plano P.
Si BC=8 y AD=6, calcule la medida del ángulo
entre MN y BC.
m
m
M
D
PP BB
NN
nn
nn
CCAA
A) 30º
B) 53º
C) 37º
D) 45º
E) 60º
15. En un semicírculo de diámetro AB y radio 5,
por B se traza BP perpendicular a su plano y se
ubica Q en el arco AB. Si BP=18 y mBQ = 74º,
calcule la medida del ángulo entre PQ y el
plano del semicírculo.
A) 30º B) 60º C) 53
2
º
D) 45º E) 143
2
º
Geometría
7

18
NIVEL BÁSICO
1. Si la medida del diedro determinado por los
rectángulos congruentes ABCD y CDEF es de
120º, y BC=4, calcule AE.
C
D A
B
E
F
A) 8
B) 12
C) 4 3
D) 6 3
E) 8 3
2. Según el gráfico, AH=9, HC=4 y BQ=6. Calcu-
le la medida del diedro AC.
A
B
C
H
Q
A) 30º
B) 60º
C) 45º
D) 53º
E) 37º
3. En el gráfico, los semicírculos están en planos
perpendiculares, m mBQ AP = = 90º.
Calcule PQ.
3
A B
P
Q
A) 6 B) 9 C) 6 2
D) 4 2 E) 3 2
4. Las regiones triangulares equiláteras ABC y
BCD determinan un diedro de 106º, y AB=10.
Calcule AD.
AA
BB
CC
D
A) 4 3 B) 6 3 C) 10
D) 20 E) 8 3
5. Según el gráfico, BP es perpendicular al plano
del triángulo ABC, AB=15, BC=20 y BP=9. Cal-
cule la medida del diedro AC.
A
B
C
P
A) 45º B) 53º C) 60º
8
Geometría
Geometría del espacio II

19
D) 37º E) 15º
6. En el gráfico, los cuadrados ABCD y CDEF
están en planos perpendiculares y O es cen-
tro de CDEF. Calcule la medida del diedro
O - AB - C.
A B
CD
E F
O
A) 30º B) 53
2
º C) 37
2
º
D) 45º E) 53º
7. En el gráfico, BP es perpendicular al plano de
la región equilátera ABC, AB=8 y BP = 3 3.
Calcule la distancia de P a AC.
P
BB
AA
CC
A) 4 B) 8 C) 5 2
D) 5 3 E) 4 3
I. Dos planos son perpendiculares si su die-
dro mide 90º.
II. Si L L1 2y son perpendiculares a L 3, en-
tonces L 1//L 2.
III. El ángulo diedro se determina trazando,
en cada plano, rectas perpendiculares a la
arista de dicho diedro.
A) VFF B) VVF C) VVV
D) VFV E) FFF
NIVEL INTERMEDIO
9. Según el gráfico, BF es perpendicular al plano
ABCD; AB=BC=BF=6 y M es punto medio de
CD. Halle el área de la región sombreada.
F
M
A
B
C
D
A) 9 2
B) 36
C) 12 3
D) 9
E) 18 2
10. Según el gráfico, GP es perpendicular al plano
de la región equilátera ABC cuyo baricentro
es G. Si AC PG= ( ) =3 6 3, calcule la medida
del diedro AB.
A
B
C
GG
P
A)
127
2
º
B)
143
2
º
C) 30º
Geometría
9

20
6
D) 60º E) 45º
11. Según el gráfico, AF es perpendicular al pla-
no del semicírculo, AB=AF=6 y m mMB MA = .
Calcule el área de la región BFM.
A
B
F
M
A) 6 3 B) 9 2 C) 9 3
D) 6 2 E) 12
12. Según el gráfico, AP es perpendicular al plano
del cuadrado ABCD y CD=4. Calcule el área
de la región PDC.
A B
CD
P
37º
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
NIVEL AVANZADO
13. Por el extremo A del diámetro AB de una cir-
cunferencia, se traza AM perpendicular al pla-
no de la circunferencia y se ubica un punto C
en la circunferencia. Calcule MC si MB=26 y
BC=14.
A) 2 15
B) 4 5
C) 4 30
D) 18
E) 20
14. En un plano P se ubica una circunferencia de
centro O, en la cual se traza una cuerda AB de
longitud 8 cm y que dista 2 cm del centro. Si
se traza AE, perpendicular al plano P, y AE=4,
calcule EO.
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
15. Sea BD perpendicular al plano que contiene
al triángulo ABC. Si AB=15, BC=13, AC=14 y
BD=12, calcule la medida del diedro determi-
nado por los planos ADC y ABC.
A) 15º
B) 30º
C) 45º
D) 60º
E) 75º
Geometría
10

24
NIVEL BÁSICO
1. Calcule el área de la superficie lateral del pris-
ma regular mostrado.
3
53º53º
A) 12 B) 24 C) 36
D) 66 E) 48
2. En el gráfico, DE=AD=4. Calcule el volumen
del prisma regular mostrado.
A B
C
D E
F
A) 16 2 B) 8 3 C) 16 3
D) 8 2 E) 16 6
3. Calcule el volumen del prisma regular mostrado.
53º
2
53º
2
6 56 5
A) 180 B) 90 C) 256
D) 216 E) 200
4. En el gráfico, el volumen del cubo es 216. Cal-
cule el área de la región ACH.
A
B C
DD
E
FF
G
H
A) 6 3 B) 18 3 C) 18 2
D) 6 2 E) 64
5. En un hexaedro regular ABCD - EFGH, halle la
medida del ángulo entre AE y BG.
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 90º
E) 37º
6. Si HG
CG EH
= =
2 3
y BH = 14, calcule el volu-
men del paralelepípedo rectangular mostrado.
A
B C
E H
G
DD
FF
A) 6
B) 12
C) 18
D) 14
E) 28
11
Geometría
Prisma regular

25
7. En el hexaedro regular ABCD - EFGH, calcule
la medida del ángulo entre AC y FH.
A) 60º B) 45º C) 90º
D) 53º E) 30º
8. El área de la superficie total del cubo
ABCD-EFGH es 96. Calcule el área de la región
AFG.
A
B C
DD
E
FF G
H
A) 4 3 B) 4 2 C) 8 2
D) 6 2 E) 8
NIVEL INTERMEDIO
9. En el paralelepípedo rectangular, AG=13,
EH=3 y AB=4. Calcule el área de la superficie
total del paralelepípedo.
D
A B
H G
F
CC
EE
A) 192
B) 210
C) 180
D) 150
E) 96
10. En un rectoedro, la arista lateral mide 40 y las
aristas de las bases miden 24 y 18. Calcule la
medida del ángulo entre una diagonal y la base.
A) 30º
B) 60º
C) 45º
D) 53º
E) 37º
11. En el prisma regular ABC - DEF, AD = 3 3 y
AB=8. Calcule el área de la región BDF.
A B
F
D E
CC
A) 10 3 B) 20 3 C) 15 3
D) 20 2 E) 20
12. El volumen del prisma regular ABC - DEF es 48.
Calcule la medida del diedro A - EF - D.
A
B
C
D
EE
F
60º60º
A) 60º B)
53
2
º
C)
127
2
º
D) 30º E) 45º
Geometría
12

26
6
NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico, el área de la región cuadrada
CESN es 12. Calcule el volumen del prisma re-
gular mostrado.
A
B C
D
EEFF
M
NN PP
Q
RS
A) 12 6 B) 24 C) 36
D) 12 3 E) 12 2
14. En un hexaedro regular ABCD - EFGH, se traza
DQ⊥BH, (Q está en BH) y QH = 3. Calcule el
área de la superficie total de dicho hexaedro.
A) 3 3 B) 18 C) 54
D) 18 3 E) 18 2
15. Las dimensiones de un paralelepípedo rectan-
gular son tres números consecutivos y su volu-
men es 60. Calcule el área de la superficie total
del paralelepípedo.
A) 120
B) 90
C) 240
D) 180
E) 94
Geometría
13

6
4. Calcule el volumen de un cilindro circular rec-
to cuya generatriz mide 10 y el diámetro de su
base mide 8.
A) 80p B) 640p C) 320p
D) 160p E) 40p
5. En un cilindro de revolución, el área de su
superficie lateral y su volumen son numérica-
mente iguales. Calcule el radio de su base.
A) 2 B) 1 C) 3
D) 1/2 E) 4
6. Según el gráfico, calcule el volumen del cilin-
dro de revolución si el área de la región ABC
es 24.
37º37º
A B
C
A) 32p B) 36p C) 48p
D) 64p E) 96p
7. En el gráfico, OB=41 y R=9. Calcule el área de
la superficie total del cilindro de revolución.
B
RR OO
A) 720p B) 882p C) 800p
D) 724p E) 320p
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, calcule la razón entre las
áreas de las superficies laterales de los cilin-
dros de revolución.
53º53º
12
9
A) 4 B) 12 C) 6
D) 9 E) 8
2. En el gráfico, el volumen del cilindro de revo-
lución es 64p y su generatriz mide 4. Calcule x.
xx
A) 37º B) 30º C) 53º
D) 16º E) 45º
3. En un cilindro de revolución, la altura y el diá-
metro de su base son iguales, y el área de su
superficie total es 36p. Calcule su volumen.
A) 6p
B) 6 6π
C) 12 6π
D) 12p
E) 24p
2
Geometría
Cilindro de revolución

7
8. Calcule el área de la superficie lateral del cilin-
dro de revolución mostrado.
A) 12p
53º
2
53º
2
22
B) 10p
C) 16p
D) 20p
E) 8p
NIVEL INTERMEDIO
9. Calcule la razón entre los volúmenes de los ci-
lindros mostrados.
A) 1/6 B) 1/8 C) 1/4
D) 1/16 E) 1/12
10. Según el gráfico, EC=8 y ED=9. Calcule el área
total del cilindro.
C
D
E
A) 106p B) 53p C) 276p
D) 138p E) 72p
11. En el gráfico se muestra un cilindro de revo-
lución, tal que el área de su superficie lateral
es igual a la suma de áreas de sus bases y
BD = 3 5. Calcule el volumen del cilindro.
B
D
A) 3p
B) 6p
C) 18p
D) 27p
E) 12p
12. Calcule el volumen del cilindro de revolución
si DE=4 y EC=2.
C
D
E
A) 18p
B) 27p
C) 30p
D) 36p
E) 48p
Geometría
3

8
7
NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, se muestra un cilindro de
revolución. Si el área de la región sombreada
es S, calcule el área de la superficie lateral.
(AM=MB)
A
B
M
A) Sp B) 2 Sp C) 3 Sp
D) Sp/2 E) 3/2 Sp
14. El desarrollo de la superficie lateral de un ci-
lindro es una región rectangular cuya diagonal
mide 13. Si la generatriz mide 5, calcule el área
de la superficie lateral del cilindro.
A) 70
B) 60
C) 50
D) 90
E) 80
15. Calcule la razón entre los volúmenes del cilin-
dro de revolución y el prisma regular inscrito
en este.
A)
3
9
π
B)
2 3
9
π
C)
3
3
π
D)
3
2
π
E)
4 3
9
π
Geometría
4

12
NIVEL BÁSICO
1. La arista de un tetraedro regular mide 36. Cal-
cule la razón entre las cantidades que repre-
sentan a su volumen y el área de su superficie
total.
A) 6 B) 12 C) 6
D) 2 6 E) 6 6
2. Si la altura de un tetraedro regular mide 3 6,
calcule el área de su superficie total.
A) 81 B) 9 3 C) 81 3
D) 27 E) 27 3
3. Calcule el volumen del tetraedro regular cuya
arista mide 2 6.
A) 8 3 B) 4 6 C) 4 3
D) 4 2 E) 2 2
4. Calcule el área de la superficie lateral de la pi-
rámide regular.
4
4
A) 16 B) 32 C) 12
D) 12 2 E) 16 2
5. En una pirámide triangular regular, el perímetro
de su base es 30 y su altura mide 3 3. Calcule
su volumen.
A) 15 B) 45 C) 65
D) 75 E) 80
6. En el gráfico, V-ABC es una pirámide regular
y VH ⊥ ABC. Calcule el volumen de dicha
pirámide.
4
6
A
B
C
H
V
A) 24 B) 8 C) 12
D) 16 E) 12 3
7. En el gráfico P-ABCD es una pirámide regular,
PC=5 y AD=6. Calcule el área de la superficie
lateral de dicha pirámide.
A
B C
D
P
A) 96 B) 48 C) 24
D) 60 E) 90
8. Calcule el área de la superficie total de una pi-
rámide cuadrangular regular si la arista básica
mide 4 y su altura mide 2 3.
A) 16
B) 32
C) 12
D) 24
E) 48
5
Geometría
Pirámide regular

13
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, G es baricentro de ABC y DG=4.
Calcule el área de la región ADH si ABCD es un
tetraedro regular.
A B
C
D
G H
A) 4 2 B) 4 3 C) 5 2
D) 5 3 E) 6 2
10. Calcule el área de la superficie total de una pi-
rámide regular P-ABCD si su altura mide 3 y su
arista básica mide 8.
A) 72 B) 120 C) 144
D) 192 E) 80
11. Calcule el volumen de una pirámide regular
O-ABCD, tal que mS DOC=60º y AB=6.
A) 2 6 B) 24 3 C) 36 2
D) 42 2 E) 18 3
12. En una pirámide cuadrangular regular O-ABCD,
OD=DA y su altura mide 3. Calcule su volumen.
A) 9 B) 16 C) 18
D) 24 E) 36
NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, calcule la razón entre el área
de la superficie lateral del prisma regular y el
área de la superficie total del tetraedro regular
inscrito en aquel (DE=3).
A B
C
D E
F
A) 3 B) 2 3 C) 2
D)
2
2
E) 2 2
14. En una pirámide triangular regular, la medida
del diedro entre una cara lateral y la base es
37º, y su arista básica mide 8 3. Calcule su
volumen.
A) 16 3 B) 32 3 C) 40 3
D) 45 3 E) 48 3
15. Calcule el volumen de una pirámide hexago-
nal regular si su apotema mide 3 y la arista bá-
sica, 2.
A) 6 2 B) 12 2 C) 15 2
D) 18 2 E) 6 3
Geometría
6

17
NIVEL BÁSICO
1. El volumen del cono de revolución es
15
3
π.
Calcule la medida del ángulo de desarrollo de
su superficie lateral.
11
A) 60º B) 90º C) 75º
D) 53º E) 45º
2. Según el gráfico, calcule el volumen del cono
de revolución.
5
74º74º
A) 12p B) 15p C) 18p
D) 25p E) 30p
3. Del gráfico, calcule el área de la superficie total
del cono equilátero.
2
A) p
B) 2p
C) 3p
D) 4p
E) 5p
4. Si el área lateral de un cono de revolución es
igual a 2 veces el área de su base, calcule el
ángulo que forma la generatriz con la altura.
A) 30º B) 60º C) 37º
D) 53º E) 45º
5. Si el volumen de un cono de revolución es
numéricamente igual al doble del área de su
base, calcule su altura.
A) 3 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
6. En el gráfico, la altura del cono de revolución
mide 4, OH=2 y AB=8. Calcule la generatriz
del cono.
AA
BB
HH
OO
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
7. Calcule el área de la superficie total de un cono
de revolución si la generatriz y la altura se dife-
rencian en 1, además, el radio de la base es 5.
A) 50p B) 60p C) 70p
D) 90p E) 65p
7
Geometría
Cono de revolución

18
7
8. En la figura, el cono de revolución tiene una
base de centro O y OC=2. Halle el área lateral
del cono.
θθ
θθ
A
B
OO C
A) 4p
B) 4 3π
C) 8p
D) 6 2π
E) 12p
UNMSM 2013-I
NIVEL INTERMEDIO
9. Según el gráfico, calcule la razón de volúme-
nes del cilindro de revolución y el cono de re-
volución.
A) 1/2
B) 2/3
C) 4/5
D) 5/8
E) 3/8
10. Según el gráfico, AM=MB, MN=4 y AO=10.
Calcule el área de la superficie lateral del cono
circular recto.
A
B
M
OO
NN
A) 40p B) 80p C) 20p
D) 60p E) 64p
11. Calcule el volumen de un cono de revolución
si el área de su superficie total es igual al cuá-
druple del área de la base, y el radio de la base
mide 3.
A) 18 2π B) 9 3π C) 9 6π
D) 9 2π E) 12 2π
12. Según el gráfico, VM=MA y VH=3 y HB=7.
Calcule el volumen del cono de revolución.
V
A B
H
M
A) 21p B)
80
3
5π C)
40
3
5π
D) 20 5π E)
20
3
5π
Geometría
8

19
NIVEL AVANZADO
13. Halle el volumen de un cono de revolución de
área lateral igual a b. La distancia del centro de
la base a una de sus generatrices es 2a.
A)
2
3
ab
B) ab
C) 2a+b
D) 2b+a
E)
ab
3
14. Calcule el área de la superficie total del cono
de revolución, cuyo desarrollo de su superficie
lateral se muestra.
88
A) 10p B) 12p C) 16p
D) 20p E) 32p
15. El área de la superficie total de un cono de
revolución es 200p, y el producto de la gene-
ratriz y el radio de la base es 136. Calcule su
volumen.
A) 100p B) 120p C) 160p
D) 180p E) 320p
Geometría
9

23
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, AB = 6 3. Calcule el área de
la superficie esférica.
A) 36p
A
120º
B
B) 72p
C) 144p
D) 72 3π
E) 36 3π
2. Según el gráfico, calcule la razón entre el área
de la superficie semiesférica y el área de la su-
perficie total del cilindro de revolución. (T es
punto de tangencia).
T
A) 1/2 B) 1/3 C) 1
D) 2/3 E) 1/4
3. Según el gráfico, el cono de revolución y la
esfera son equivalentes. Calcule R/r.
53º
R
r
A) 1 B) 2 C)
2
2
D) 23
E) 2
4. Calcule el volumen de la esfera si la diferen-
cia entre las áreas de su superficie y el círculo
máximo es 9p.
A) 18p B) 4 3π C) 12p
D) 6 3π E) 8p
5. Calcule la longitud del diámetro de una se-
miesfera, cuya área de su superficie total es
48p.
A) 2 B) 4 C) 8
D) 16 E) 6
6. Calcule el volumen de una esfera, cuya área
de su superficie es 48p.
A) 16 3π B) 18 3π C) 32p
D) 36p E) 32 3π
7. Calcule la longitud del radio de una esfera,
cuya área de su superficie es numéricamente
igual a su volumen.
A) 3 B) 4 C) 2
D) 3 E) 2
8. Si el volumen de un cubo es 27, calcule el volu-
men de la esfera inscrita en dicho cubo.
A) 6p B)
9
2
π
C) 12p
D) 36p E) 8p
NIVEL INTERMEDIO
9. Si el área de la esfera inscrita en el cilindro
más el área total del cilindro es 90p, halle el
volumen de la esfera.
A) 12p B) 36p C) 45p
D) 90p E) 24p
10
Geometría
Esfera

24
7
10. En el gráfico, el volumen del cono es 18p. Cal-
cule el volumen de la semiesfera.
r r
A) 36p B) 72p C) 54p
D) 108p E) 144p
11. Sean E1 y E2 dos esferas. Si el volumen de E2 es
el doble de volumen de E1 y el radio de E1 es
163
, calcule el volumen de E2.
A) 612p B)
128
3
π C) 412p
D)
512
3
π E) 552p
12. En el gráfico, el área de la esfera inscrita es al
área de la base del cono como 4 es a 3. Calcule x.
A) 30º x
B) 45º
C) 60º
D) 75º
E) 53º
NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico, el volumen del cono equilátero
es v. Calcule el volumen de la esfera inscrita.
A)
V
3
B)
2
3
V
C)
4
3
V
D)
4
9
V
E)
4
5
V
14. Si la altura del cono de revolución inscrito en
la esfera es 8, calcule el volumen de la esfera.
4
A)
500
3
π
B)
250
3
π
C)
125
3
π
D)
64
3
π
E) 160p
15. Si el volumen del cono de revolución es 1500p,
calcule el área de la superficie total de la se-
miesfera inscrita.
74º
A) 220p B) 432p C) 450p
D) 350p E) 288p
Geometría
11

6
NIVEL BÁSICO
1. Halle la distancia entre los puntos A(–4; –6) y
B(1; –3).
A) 34 B) 90 C) 3 2
D) 4 E) 35
2. La distancia entre los puntos A(–4; n) y
B(8; 3n) es 288 u. Halle n.
A) 2 10 B) 3 C) –6
D) –3 E) −2 10
3. A partir del gráfico, halle las coordenadas de P
si 2(AP)=5(PB).
A( – 4; 5)
B(7; 8)
P
A) 9
50
7
;



 B)
27
7
7;



 C) −




6
7
41
7
;
D)
5
7
40
7
;



 E)
27
7
50
7
;




4. Según el gráfico, LQ=3(PL). Halle las coorde-
nadas de Q.
P( – 4; – 5)
Q
L( – 1; 3)
A) (6; 7) B) (8; 27) C) (5; 15)
D) (3; 9) E) (8; –27)
5. En el gráfico, O es centro del cuadrado ABCD y
CD = 2 5. Halle las coordenadas de O.
A) (3; 2)
B) (4; 3)
B
Y
X
C
D
O
A(2; 0)
C) (5; 2)
D) (2; 3)
E) (3; 3)
6. En el gráfico, ABCD es un cuadrado. Halle las
coordenadas del baricentro de la región trian-
gular CDE.
B C
DA
Y
X
(0; 7)
16º16º
A) (14; 1) B) (7; 5) C) (9; 6)
D) 15
7
3
;



 E) (9; 7)
7. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo en el
que MC=MD. Halle las coordenadas de P.
B( – 3; 5)
D( – 4; 2)
A( – 5; – 3)
M
P
C
A) −



3
17
3
; B) (2; 6) C) (3; 5)
D)
7
2
17
3
;



 E)
7
3
17
2
;




2
Geometría
Geometría analítica I

7
8. Según el gráfico, ABCD es un rombo. Halle la
medida del ángulo de inclinación de L . (O es
centro de ABCD).
A) 30º
B) 45º
X
L
Y
B
D
C
127º
O
A
C) 53º/2
D) 37º/2
E) 127º/2
NIVEL INTERMEDIO
9. Según el gráfico, OB=BC=6. Calcule AP.
53º 53º
A
BO C X
Y
P
A) 3 15 B) 65 C) 95
D) 85 E) 4 5
10. Según el gráfico, OABC es un cuadrado y
B(12; 12)=12. Calcule MH si OM=MP.
A) 3
B) 4
O
H
A
B
C
P75º
M
X
Y
C) 5
D) 6
E) 7,5
11. En un triángulo ABC, los puntos medios de los
lados AB, AC y BC son, respectivamente, (1; 3),
(4; 2) y (–3; 1). Halle el vértice A.
A) (7; 4) B) (5; 7) C) (5; 8)
D) (8; 4) E) (4; 7)
12. Los vértices de un triángulo son A(3; 2),
B(12; 4) y C(5; –7). Halle la medida del mayor
de sus ángulos interiores.
A) 60º B) 90º C) 120º
D) 150º E) 75º
NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, PC=3(AC)=6 y AM=MB. (T y
P son puntos de tangencia). Calcule CM.
O X
Y A
P
T
C
M
B
A) 41 B) 13 C) 2 17
D) 2 19 E) 3 6
14. En un triángulo ABC, se traza la bisectiz interior
BD y 3(BC)=4(AB). Si A(–2; 3) y C 5
16
3
;



,
halle las coordenadas de D.
A) (2; 3) B) (4; 5) C) (1; 4)
D) (3; 2) E) (4; 1)
15. De gráfico, halle la suma de coordenadas del
punto P si
BD DC
3 5
= .
A) 8
B) 10
7A7A AA
D
P
C(7; 5)
B
A(2; 0)
C) 12
D) 16
E) 7
Geometría
3

12
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, halle la pendiente de L . (T es
punto de tangencia).
L
T
(5; 3)
( – 2; 7)
A) –4/7 B) 4/7 C) 7/4
D) –7/4 E) –1/2
2. Del gráfico, halle la pendiente de L .
L
(4; 3)
(–4; –5)
A) 1 B) –1 C) 2
D) –2 E) 3
3. Según el gráfico, O es centro del cuadrado
ABCD. Halle la pendiente de la recta L .
L
D
A X
B
Y
O
C
A) 1/2
B) 1/3
C) 1/4
D) 2/3
E) 1
4. Según el gráfico, OABC es un cuadrado y T es
un punto de tangencia. Calcule la pendiente
de L .
XO B
Y
T
C
A
L
A) 1/3 B) 1/4 C) 1/5
D) 1/7 E) 1/8
5. Si la ecuación de la recta L es 7x+4y–45=0 y
el punto (3; k) pertenece a dicha recta, halle k.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
6. Del gráfico, halle la ecuación de la recta L.
L
(7; 2)
(5; 4)
A) x+y–5=0
B) x+y+5=0
C) x–y–5=0
D) x–y–9=0
E) x–y+9=0
4
Geometría
Geometría analítica II

13
7. Halle la diferencia entre las pendientes de L1
y L2 si
L1: 5x–3y+12=0
L2: 6x+7y–5=0
A) 17/21 B) 23/21 C) 53/21
D) 19/21 E) 1/7
8. Según el gráfico, OB=4 y BC=5. Halle la ecua-
ción de L .
β
β
L
B C XO
Y
A) 3x–2y+12=0
B) 3x+2y+12=0
C) 3x–2y–12=0
D) 2x–3y+12=0
E) 2x–3y–12=0
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, C(9; 4). Halle la ecuación de L .
XO
Y
C
A) 2x+9y–45=0
B) x+9y–45=0
C) x+3y+15=0
D) x+3y–15=0
E) x+9y+45=0
10. Según el gráfico, AB=13, BC=15 y AC=14. Cal-
cule la pendiente de L .
XO
Y
B
A C
A) –1/3 B) –3/4 C) –2/5
D) –5/12 E) –12/5
11. En el gráfico, O y O1 son centros de los cua-
drados ABCD y DEFG, respectivamente, y
AB=4(CE)=8. Halle la ecuación de la recta
OO1.
XA
B C
E F
GD
O
O1
Y
A) 7x+y+32=0
B) x+7y+32=0
C) 7x–y+32=0
D) x–7y–32=0
E) x+7y–32=0
12. Se tiene un triángulo ABC de coordenadas
A(0; 0), B(4; 6) y C(4; 4). Calcule la ecuación
de la recta que contiene a la mediana BM.
A) 2x–y–3=0
B) x–2y–4=0
C) 2x–y–2=0
D) 2x–3y–4=0
E) 3x–2y–4=0
Geometría
5

14
8
NIVEL AVANZADO
13. Se tiene un rombo ABCD en que A(–2; 3) y
C(6; –5). Halle la ecuación de BD.
A) x+y–3=0
B) x–y–3=0
C) x+y+3=0
D) x–y–1=0
E) x–y+1=0
14. Determine la ecuación de la recta cuya pen-
diente es –4 y que pasa por el punto de inter-
sección de las rectas 2x+y–8=0; 3x–2y+9=0.
A) 4x–y–10=0
B) 2x+y+8=0
C) 4x+y–10=0
D) 4x+y+2=0
E) 4x+y+10=0
15. En la figura, T es punto de tangencia, OA=AB,
T=(4; 8). Halle la ecuación de L .
XO
B
A
Y
T
L
A) x+4y–10=0
B) x+2y–10=0
C) x+6y–10=0
D) x+3y–10=0
E) x+5y–10=0
Geometría
6

18
NIVEL BÁSICO
1. La ecuación general de una circunferencia
x2
+y2
–2x–4y–4=0. Halle su centro y radio.
A) (1; 2), 3 B) (–1; –2), 3 C) (2; 1), 3
D) (–2; –1), 4 E) (1; 3), 9
2. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo
centro está en A(–2; –3) y su radio es 5.
A) (x–2)2
+(y–3)2
=25
B) (x–2)2
+(y+3)2
=25
C) (x+2)2
+(y+3)2
=25
D) (x+2)2
+(y–3)2
=25
E) (x+3)2
+(y+2)2
=25
3. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo
centro es (1; 5) y pasa por (–3; 2).
A) x2
+y2
–8x–8y+16=0
B) x2
+y2
–4x–4y+16=0
C) x2
+y2
–14x+24=0
D) x2
+y2
–2x–10y+1=0
E) x2
+y2
–6x+2y+1=0
4. Halle la longitud de la circunferencia cuya
ecuación es x2
+y2
–6x+2y–15=0.
A) 25p B) 5p C) 10p
D) 16p E) 3 2π
5. Halle la ecuación de la circunferencia circuns-
crita al triángulo rectángulo ABC, recto en B si
A(–3; –4) y C(1; 4).
A) x2
+2y2
+2x–19=0
B) x2
+y2
+2x–19=0
C) 2x2
+y2
+4x–19=0
D) 3x2
+2y2
+4x+y–19=0
E) x2
+y2
+2x+3y–19=0
6. A partir del gráfico, halle la ecuación de la cir-
cunferencia inscrita en AOB si AB=10.
O B X
Y
A
37º
A) (x+2)2
+(y+2)2
=4
B) (x+2)2
+(y+2)2
=2
C) (x–2)2
+(y+2)2
=2
D) (x–2)2
+(y–2)2
=2
E) (x–2)2
+(y–2)2
=4
7. Determine la ecuación de la circunferencia
tangente a los semiejes positivos si
L : 3x–2y–4=0.
O X
Y
L
A) (x–4)2
+(y–4)2
=16
B) (x–8)2
+(y–8)2
=16
C) (x–2)2
+(y–2)2
=4
D) (x–4)2
+(y–4)2
=4
E) (x+4)2
+(y+4)2
=16
8. Halle la ecuación de la recta tangente a la cir-
cunferencia, (x–6)2
+(y–5)2
=25, en el punto
(2; 8).
A) 4x–3y+16=0
B) 4x+3y–16=0
C) 3x–4y+16=0
D) 2x+3y–15=0
E) 5x–3y+16=0
7
Geometría
Geometría analítica III

19
NIVEL INTERMEDIO
9. Calcule la distancia entre los centros de las cir-
cunferencias
x2
+y2
–6x–2y–6=0; x2
+y2
–12x+4y+31=0
A) 2 2 B) 4 2 C) 2
D) 5 2 E) 3 2
10. Halle el área del círculo cuya circunferencia
correspondiente tiene por ecuación a
x2
+y2
–4x+6y–3=0.
A) 12p B) 16p C) 15p
D) 14p E) 9p
11. Del gráfico, halle la ecuación de la circunferencia.
X
Y
(3; 5)
62( ; 0)
A) x2
+(y+1)2
=25
B) x2
+(y–1)2
=25
C) x2
+(y–2)2
=25
D) x2
+(y+2)2
=25
E) x2
+(y–5)2
=16
12. Halle la ecuación de la circunferencia que
pasa por el origen de coordenadas, y cuyo cen-
tro es la intersección de las rectas x+3y–6=0;
x–2y–1=0.
A) (x–3)2
+(y–1)2
=10
B) (x+3)2
+(y–1)2
=10
C) (x–3)2
+(y+1)2
=10
D) (x–1)2
+(y–3)2
=10
E) (x+1)2
+(y+3)2
=10
NIVEL AVANZADO
13. Halle el área de un círculo cuya circunferencia
es concéntrica con otra que tiene por ecuación
C: x2
+y2
–6x+10y–2=0; y cuyo radio es la
tercera parte del radio de C.
A) 4p B) 6p C) 2p
D) 9p E) 8p
14. Los extremos de la cuerda de una circunferen-
cia son los puntos (–1; 5) y (–2; –2). Si la suma
de las coordenadas del centro de dicha circun-
ferencia es 3, halle su ecuación.
A) x2
+y2
+2x–4y–25=0
B) x2
+y2
+2x–2y–10=0
C) x2
+y2
–4x–2y–20=0
D) x2
+y2
–2y–16=0
E) x2
+y2
+4x+2y–20=0
15. Calcule el área de la región (ubicada en el pri-
mer cuadrante) limitada por la recta x+y–2=0
y la circunferencia x2
+y2
–4=0.
A) p–3
B) p–1
C) 2p–1
D) 2p–2
E) p–2
Geometría
8

22
NIVEL BÁSICO
1. Si M; N; P; Q; R son puntos consecutivos de
una recta, de modo que
NQ+MP+PR=50 y
NQ
MR
=
2
3
,
entonces NQ es
A) 35 B) 30 C) 15
D) 20 E) 25
2. En la figura, AD=12 cm. Halle BC.
DA C
B
105º30º
A) 3 3 6+( ) cm
B) 3 3+( ) cm
C) 3 3 1+( ) cm
D) 3 6+( ) cm
E) 3 2 2+( ) cm
UNMSM 2009-I
3. En la figura, A y C son puntos de tangencia.
Halle la medida del ángulo inscrito S ABC en
la circunferencia.
40º
P
B
C
A
A) 80º B) 60º C) 65º
D) 55º E) 70º
4. En la figura, PQ=18 cm y CD=6 cm. Halle la
longitud del diámetro AD de la semicircunfe-
rencia.
P Q
B
A
C
D
A) 4 13 cm B) 4 17 cm C) 20 cm
D) 6 13 cm E) 21 cm
UNMSM 2009-I
5. En la figura, se muestra un trapecio isósceles
cuyas bases miden a cm y b cm. Halle el radio
de la circunferencia inscrita.
A) ab cm B)
1
2
ab cm C) 2 ab cm
D)
1
4
ab cm E) a b cm
6. En el triángulo, AM
AC
=
4
; AB=4 m; BC=5 m;
AC=6 m. Halle BM.
A M
B
C
A)
27
2
m B)
19
2
m C)
21
2
m
D)
25
2
m E)
23
2
m
9
Geometría
Problemas diversos

Teoría y problemas de Geometría ADUNI ccesa007

Teoría y problemas de Geometría ADUNI ccesa007

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Teoría y problemas de Geometría ADUNI ccesa007

Similar a Teoría y problemas de Geometría ADUNI ccesa007 (20)

Más de Demetrio Ccesa Rayme

Más de Demetrio Ccesa Rayme (20)

Último

Último (20)

Teoría y problemas de Geometría ADUNI ccesa007