Paula está ayudando a Antonio a dibujar un diseño para un juego de sábanas siguiendo instrucciones. Las instrucciones consisten en trazar circunferencias tangentes de forma recursiva hasta que Antonio la llame de nuevo, lo que aún no ha sucedido, por lo que Paula continúa trazando circunferencias indefinidamente.

1. Arranquemos con un ejemplo…
Antonio es un diseñador gráfico y tiene que hacer un dibujo para un nuevo
juego de sábanas estampadas que saldrán próximamente al mercado. Llama
por teléfono a su compañera de trabajo, paula, porque se le rompió la
computadora y no puede enviar el diseño por mail. Sus instrucciones son:
1) Comienza trazando 2 circunferencias tangentes exteriores.
2) Elige 2 circunferencias tangentes y traza una nueva circunferencia
tangente a ambas. Luego repite el paso 2 hasta que te llame de nuevo.
3) Los únicos dibujos permitidos son los que provienen de las instrucciones
1 y 2. No vale agregar nada.
Antonio no llamó más. Y Paula aún sigue trazando circunferencias......

2. Paula llevaba dibujando eso…

4. La construcción de conjuntos :
Sea A:
i) 1 ∈A →ClÁusula Base
𝒊𝒊)Si n ∈A⇒(n+1)∈A→Cláusula Inductiva
𝒊𝒊𝒊)𝐿𝑜𝑠 ú𝑛𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴 son aquellos que
𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 construir mediante la
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎𝑠 1 𝑦 2 →ClÁusula de Clausura

5. 1 ∈ 𝐴 𝑝𝑜𝑟 𝑖
2 ∈ 𝐴 𝑝𝑜𝑟 𝑖 𝑦 𝑖𝑖
3 ∈ 𝐴,
4 ∈ 𝐴,
…
100 ∈ 𝐴
…
𝐴𝑠Í 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖 𝑦 𝑖𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑖𝑟
𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴,
𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐴 = 𝑁
De esta forma construimos inductivamente el
conjunto de los Naturales

6. →Las cláusulas base son aquellas que afirman que ciertos
elementos pertenecen al conjunto.
→Las cláusulas inductivas son aquellas que establecen reglas para
construir un elemento del conjunto a partir de otro que pertenezca al
conjunto que se está definiendo.
→La cláusula de clausura establece que ningún elemento pertenece
al conjunto, a no ser que se pueda construir mediante la aplicación
de las cláusulas base e inductivas dadas un número finito de veces.

7. Definición inductiva,
¿por qué?
• {3,5,7,…}  COMPLETAR LOS …?
• {3,5,7,9,11,15,….}  LOS IMPARES
• {3,5,7,11,13,17,…}  LOS PRIMOS
¿¿¿Cuál es este conjunto???

8. Algunos ejemplos :
• Ejemplo 2:
{0,2,4,6,8,...}
i. 0 ∈ 𝑃
ii. Si 𝒏 ∈ 𝑷 entonces 𝒏 + 𝟐 ∈ 𝑷
iii.Estos son todos los elementos de 𝑃
6 ∈ 𝑃? ?
0 ∈ 𝑃 → 𝑝𝑜𝑟 𝑖)
⇒ 0 + 2 ∈ 𝑃 → 𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑖)
⇒ 0 + 2 + 2 ∈ 𝑃 → 𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑖)
⇒ 0 + 2 + 2 + 2 ∈ 𝑃 → 𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑖)
S
e
c
u
e
n
c
i
a
d
e
C
o
n
s
t
r
u
c
c
i
ó
n

9. Ejercicios

10. 2) Para cada uno de los conjuntos anteriores dé 5 elementos que pertenezcan al
conjunto y justifique su pertenencia en términos de la aplicación de las cláusulas.
Dé también 5 elementos que no pertenezcan al conjunto y justifique la no
pertenencia en términos de la aplicación de las cláusulas.
3) a) Definir Inductivamente el conjunto de los naturales múltiplos de 3( o sea
{0,3,6,9,…})
b) Definir inductivamente el conjunto de los enteros múltiplos de 3.