Para inocular a una vaca se usa una jeringa (figura 1). el embolo posee un área superficial de 500〖mm〗^2. Si el líquido en la jeringa se debe inyectar de manera estable con razón de 300 〖cm〗^3⁄min, ¿a qué velocidad debe avanzar el émbolo?. La razón de fuga que pasa por el émbolo es 0,10 veces el flujo volumétrico que sale de la aguja.

1. Problema 1
Para inocular a una vaca se usa una jeringa (figura 1). el embolo posee un área superficial de
500𝑚𝑚2. Si el líquido en la jeringa se debe inyectar de manera estable con razón de
300 𝑐𝑚3 𝑚𝑖𝑛⁄ , ¿a qué velocidad debe avanzar el émbolo?. La razón de fuga que pasa por el
émbolo es 0,10 veces el flujo volumétrico que sale de la aguja.
Solución:
El volumen de control elegidos para resolver éste problema es el volumen de control que se
deformamostradoenlafigura.La sección(1) de la superficie de control se mueve con el émbolo.
El área superficialde lasección(1),es 𝐴1, se consideraigual al área circularde la cara del émbolo,
𝐴 𝑝 aunque esto no es estrictamente cierto, ya que hay fugas. Sin embargo, la diferencia es muy
pequeña por lo cual se puede despreciar y tenemos que:
𝐴1 = 𝐴 𝑝 (1)
De lajeringatambiénsale líquidoporlasección(2),loque incluye al áreafija 𝐴2,el contenidodel
volumende control se puede escribirde lasiguientemanera:
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝜌𝑑𝑉 + 𝑚̇ 2
𝑉𝐶
+ 𝜌𝑄 𝑓𝑢𝑔𝑎 = 0 (2)
Aunque 𝑄 𝑓𝑢𝑔𝑎 y el flujo a través del área de la sección 𝐴2 son estables, la razón de cambio con
respectoal tiempode lamasa de líquido en el volumen de control que se reduce es diferente de
cero, porque el volumen de control se hace más pequeño. Para evaluar el primer término de la
ecuación tenemos que:
∫ 𝜌𝑑𝑉 =
𝑉𝐶
𝜌( 𝐴1 + 𝑉𝑎𝑔𝑢𝑗𝑎) (3)
Donde ℓ es la longitud cambiante del volumen de control y 𝑉𝑎𝑔𝑢𝑗𝑎 es el volumen de la aguja. A
partir de la ecuación (3) se obtiene:
∫ 𝜌𝑑𝑉 =
𝑉𝐶
𝜌𝐴 𝑡
𝜕ℓ
𝜕𝑡
(4)

2. Obsérvese que:
−
𝜕ℓ
𝜕𝑡
= 𝑉𝑝 (5)
Donde 𝑉𝑝 esla velocidaddel émbolo,que esloque pedíaenenunciadodel problema.Al combinar
las ecuaciones, tenemos:
𝑚̇ 2 = 𝜌𝑄2 (6)
Reemplazando los valoes de las ecuaciones (3), (4), (5) y (6) en (2), tenemos que:
−𝜌𝐴1 𝑉𝑝 + 𝜌𝑄2 + 𝜌𝑄 𝑓𝑢𝑔𝑎 = 0
Despejamos 𝑉𝑝 y nos queda que:
𝑉𝑝 =
𝑄2 + 𝑄 𝑓𝑢𝑔𝑎
𝐴1
=
𝑄2 + 0,1𝑄2
𝐴1
=
1,1𝑄2
𝐴1
Reemplazando valores tenemos que:
𝑉𝑝 =
1,1(300 𝑐𝑚3 𝑚𝑖𝑛⁄ )
500𝑚𝑚2 ×
(10𝑚𝑚)3
(1𝑐𝑚)3 = 𝟔𝟔𝟎
𝒎𝒎
𝒎𝒊𝒏