matematica

1. Universidad Fermín Toro
Departamento de Formación General
Escuela de Ingeniería
Cabudare
FUNCIONES TRANSCENDENTALES
Alumno: andry flores
Ci: 24162343

2. Funciones Trascendentes:
Todas lasfuncionesque se considerencomo noalgebraicassondenominadas trascendentes.
Mientrastanto lasfuncionesexponenciales,trigonométricas,logarítmicase hiperbólicas,asícomo
sus inversas,son funciones trascendentes.
En este puntoy despuésde esaexplicacióntécnicaestoysegurode que ladudaque rondaen sus
menteses¿paraqué me sirvaesto?Estas funcionestienenmuchosusossinembargosi queremos
nombraralgunosejemplosestassonypuedenserusadasparadeterminarel crecimientode la
población ,el cálculode vibracionesyondas,laeficienciade algoritmosde computadoraymuchas
cosas más,por tal estasfuncionessonelementalesyte seguiránalolargo de la carrera.
Funciones trigonométrica
Una funcióntrigonométricaesimportanteporel hechode tenerunpatróny ser repetitiva,estole
da la capacidadal que la utilizade poderinterpretarciertosactosfísicosque requierende cierta
repetitividadparafuncionar.
Las funcionestrigonométricasmásutilizadas son:seno,coseno, tangente,cotangente,secante,
cosecante.
Basándonosenloanteriorte dejamoslasiguiente tablaque muestraalgunosdatosimportantes
de las funcionestrigonométricasmáscomunes:

3. Definición(Logaritmonatural)
El logaritmonatural de x es denotadoporln(x) yestádefinidoporlaintegral
ln( 𝑥) = ∫
1
𝑡
𝑡
1 dt x > 0
Ademáslafunciónlogaritmonatural esdiferenciable,de hechoporel segundo
teoremafundamentaldel cálculotenemos
𝑑
𝑑𝑥
[ln(𝑥)]=
𝑑
𝑑𝑥
[∫ 𝑑𝑡
𝑥
1
]
1
𝑥
Propiedadesalgebraicasde ln(x)
Teorema
Para cualquiernúmeropositivoayc y cualquiernúmeroracional r:
a) ln(ac) = ln(a) + ln(c)
b) ln (
𝑎
𝑐
) = ln(a) − ln(c)
c) ln(1) = 0
d) ln(𝑎 𝑟) = r ln(a)
Teorema
El dominiode ln(x)es(0,+∞)
b) limx → 0+ln(x) =−∞
c) limx → +∞ ln(x) = +∞
d) El rangode ln(x) es(−∞,+∞)

4. Definición(Funciónexponencial)
Definición
La inversade lafunciónlogaritmonatural ln(x) esdenotadapor 𝑒 𝑥 yestaes
llamadaFunciónexponencial natural.
Teorema
La funciónexponencial natural es diferenciable,yademáscontinuaen(−∞,+∞),
y su derivadaes
𝑑
𝑑𝑥
[ 𝑒 𝑥 ]=𝑒 𝑥
Definición
Si a > 0 y r esun númeroreal, 𝑎 𝑟 se define por
𝑎 𝑟=𝑒 𝑟 ln(𝑎)
Teorema
a) Para cualquiernúmeroreal r,lafunciónpotencia 𝑥 𝑟 esdiferenciable en
(0, +∞) y su derivadaes
𝑑
𝑑𝑥
[ 𝑥 𝑟 ]=𝑟𝑥 𝑥−1
Para b > 0 y b 6= 1, la funciónexponencial de base b, 𝑏 𝑥esdiferenciable en
(−∞,+∞) y su derivadaes
𝑑
𝑑𝑥
[ 𝑏 𝑟 ]=𝑏 𝑥 ln 𝑏
Definición
Para b > 0 y b 6= 1, la funciónlogaritmode base b,denotadapor log 𝑏 𝑥 está
definidapor
log 𝑏 𝑥 =
ln(𝑥)
ln(𝑏)

5. Integración
∫
1
𝑥
dx = ln(𝑥) +k
Esta relaciónesválidaparatodo valorde x exceptoel cero.
∫ 𝑒 𝑥dx = 𝑒 𝑥 + 𝑘
Más general aún
∫ 𝑒 𝑎𝑥dx=
1
𝑎
𝑒 𝑎𝑥 + 𝑘
Ejemplos:
1) ∫ 𝑒6𝑥dx
∫ 𝑒6𝑥dx =
1
6
𝑒6𝑥 + 𝑘
2)∫
ln( 𝑥) 𝑑𝑥
(1−ln(𝑥)) 𝑥
Hacemosel cambiode variable z= ln(x) ⇒dz =
𝑑𝑥
𝑥
entonces
∫
ln( 𝑥) 𝑑𝑥
(1−ln(𝑥)) 𝑥
= ∫
𝑧
1−𝑧
dz =
∫(−1 +
1
1−𝑧
)dz = -∫ 𝑑𝑧+ ∫
𝑧
1−𝑧
=-z-ln(1 − 𝑧) + 𝑘
= -ln 𝑥-ln(1 − ln(𝑥))+k
3)∫(1 − 𝑒−𝑥)dx
∫(1 − 𝑒−𝑥)dx = ∫ 𝑑𝑥-∫ 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 − (− 𝑒−𝑥)+ 𝑘 = 𝑥 + 𝑒−𝑥 + 𝑘

6. Funcionestrigonométricas
Derivadas:
a) Dx(sin(u)) =cos(u)u′
b) Dx(cos(x)) =− sin(u)u′
c) Dx(tan(u)) = 𝑠𝑒𝑐2(u)u′
d) Dx(sec(u)) =sec(u) tan(u)u′
e)Dx(csc(u)) =− csc(u) cot(u)u′
Integrales:
a)∫ sin(x)dx = − cos(x) + K
b) ∫ cos(x) dx = sin(x) + K
c) ∫ 𝑠𝑒𝑐2(x)dx = tan(x) + K
d) ∫ sec(x) tan(x)dx = sec(x) + K
e) ∫csc(x) cot(x)dx = − csc(x) + K
f) ∫tan(x)dx = ln | sec(x)| + K
g) ∫sec(x)dx = ln | sec(x) + tan(x)| + K
Ejemplos:
∫
𝑠𝑒𝑐2(x)
1+tan(𝑥)
𝑑𝑥Hacemos el cambiode variable h= 1 + tan(x) =⇒dh = 𝑠𝑒𝑐2(x)dx,enconsecuencia
∫
𝑠𝑒𝑐2(x)
1+tan(𝑥)
𝑑𝑥= ∫
𝑑ℎ
ℎ
= ln|h| + K = ln| 1 + tan(x)|+K
∫(1 + sec(𝑥))2 dx
∫(1 + sec(𝑥))2 dx = ∫[(1)2 + 2(1) sec( 𝑥) + 𝑠𝑒𝑐2(x)]dx = ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫sec(x)dx +∫ 𝑠𝑒𝑐2(x)dx
=x + 2 ln| sec(x) +tan(x)|+ tan(x) +K

7. Ejemplos:
Hallarla derivadade
Y=
cos(x)
1 + sin(x)
y′ =
− sin(x)(1+ sin(x)) − cos(x) cos(x)
(1 + sin(x))2
=
− sin(x) − sin2(x)− cos2(x)
(1+ sin(x))2
y′=
− sin(x) − (sin2(x)+ cos2(x))
(1+ sin(x))2
=
− sin(x) − 1
(1+ sin(x))2
y′ =
− sin(x) − 1
(1+ sin(x))2
Hallarla derivadade
y = 𝑡𝑎𝑛3(2𝑥4)
y′ = 3 𝑡𝑎𝑛2(2𝑥4) 𝑠𝑒𝑐2(2𝑥4)(8𝑥3) = 24𝑥3 𝑡𝑎𝑛2(2𝑥4) 𝑠𝑒𝑐2(2𝑥4)
y′ = 24𝑥3 𝑡𝑎𝑛2(2𝑥4) 𝑠𝑒𝑐2(2𝑥4)