2. ¿Cómo y dónde surgen los números complejos?
El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–
1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas.
El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss
(1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números ,etc.
empezaron a encontrarse expresiones como la raíz cuadrada de -16, que no se sabían interpretar.
Aun sin entenderlas, algunos comenzaron a manipularlas con las mismas reglas que utilizaban
para los números que conocían. Fue Cardano, durante este mismo siglo, quien propuso un nuevo
tipo de números, que denominó ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números
negativos.
Girolamo Cardano Carl Friedrich Gauss
3. ¿Qué es la unidad imaginaria?
La unidad de los números imaginarios, al igual que es tratado con los números reales en cuyo
caso es uno o 1, viene a ser √-1 o raíz cuadrada de uno negativo. Está denominación nació en el
siglo XVIII debido a que Leonard Euler quería nombrar a los números imaginarios de manera
desdeñosa dándole una denominación que se entiende como un objeto inexistente.
i es la "unidad" de números imaginarios (lo mismo que es "1" para los números reales) y
equivale a √(-1) (la raíz cuadrada de menos uno, y su símbolo es i, o j.
Como ejemplo tenemos:
(5+3i)+(2+6i) = (5+2)+(3i+6i) = 7+9i
4. ¿Se puede operar con ellos?
Si se pueden operar con ellos ya sean complejos o imaginarios
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y
las partes imaginarias entre sí, respectivamente.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Ejemplo:
(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
Números complejos Números imaginarios
(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =
= 10 − 15i + 4i − 6i2 =
10 − 11i + 6 = 16 − 11i
Multiplicación
Para la multiplicación debemos multiplicar cada término del
primer factor por los del segundo.
(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi² = (ac-bd)+(ad+bc)
Sustracción
Para realizar la sustracción, también se deben agrupar los
números imaginarios y reales. Por ejemplo:
(5-2i)-(2+6i) = (5-2)+(-2i-6i) = 3-8i
5. Estos números ¿cómo se expresan en forma polar?
Un número complejo en forma polar consta de dos componentes: módulo y argumento.
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de
coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.
• Z=a+bi
• R=lzl=√a^2+b^2
Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se
designa por arg(z).
Expresión de un número complejo en forma polar.
z = rα |z| = r r es el módulo arg(z) = alfaalfa es el argumento.
6. ¿y trigonométrica?
a + bi = rα = r (cos α + i sen α)
A=r .cos α b=r . Sen α
Formas:
Binómica z = a + bi
Polar z = rα
Trigonométrica z = r (cos α + i sen α)
7. ¿Cómo se representan en un sistema de ejes cartesianos?
Utilizando los dos ejes cartesianos , el eje vertical corresponde a la parte imaginaria y el eje
horizontal corresponde a la parte real.
Los números complejos se pueden representar como puntos del par ordenados.
Z=a+bi=(a,b)
Los afijos de los números reales se sitúan
sobre el eje real, X.
Los afijos de los números imaginarios se sitúan
sobre el eje imaginario, Y
