Fuerza cortante y momento flector
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Ejercicios resuletos de Fuerza cortante y momento flector
![𝑦
2𝑘𝑁 4𝑘𝑁
𝑅1
𝑂
𝐴 𝐵 𝐶
𝑅2
1.2 𝑚 1 𝑚 1 𝑚 𝑥
𝑉[𝑘𝑁]
−0.91
−2.91
4𝑘𝑁
𝑀[𝑘𝑁𝑚]
𝑚
𝑚
−1.1
−4
𝐴1
𝐴2
𝐴3
Para la viga mostrada, encuentre las reacciones en los soportes y grafique los diagramas de fuerza cortante y
momento flector. Etiquete de manera adecuada los diagramas y proporcione los valores en todos los puntos
clave.
Diagrama de Cuerpo Libre:
Diagrama de Fuerza Cortante:
Diagrama de Momento Flector
Cálculo de las reacciones:
Aplicando sumatoria de momentos en 𝑂:
+ ∑ 𝑀 𝑜 = 0
2𝑘𝑁 ∗ 1.2𝑚 − 𝑅2 ∗ 2.2𝑚 + 4𝑘𝑁 ∗ 3.2𝑚 = 0
𝑅2 =
4𝑘𝑁 ∗ 3.2𝑚 + 2𝑘𝑁 ∗ 1.2𝑚
2.2𝑚
𝑅2 = 6.91 𝑘𝑁
Sumatoria de fuerzas:
+ ∑ 𝐹𝑌 = 0
𝑅1 + 𝑅2 − 2𝑘𝑁 − 4𝑘𝑁 = 0
𝑅1 + 6.91𝑘𝑁 − 2𝑘𝑁 − 4𝑘𝑁 = 0
𝑅1 = −0.91𝑘𝑁
Comprobación:
+ ∑ 𝐹𝑌 = 0
6.91𝑘𝑁 − 2𝑘𝑁 − 4𝑘𝑁 − 0.91𝑘𝑁 = 0
0 = 0
Cálculo de momentos por áreas:
𝐴1 = −0.91(1.2)𝑘𝑁𝑚
𝐴1 = −1.1 𝑘𝑁𝑚
𝐴2 = −2.91(1)𝑘𝑁𝑚
𝐴2 = −2.91𝑘𝑁𝑚
𝑀 𝑚á𝑥 = (−1.1 − 2.91)𝑘𝑁𝑚
𝑴 𝒎á𝒙 = 𝟒 𝒌𝑵𝒎](https://image.slidesharecdn.com/subirslide-200627232409/85/fuerza-cortante-y-momento-flector-1-320.jpg)
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- 1. 𝑦 2𝑘𝑁 4𝑘𝑁 𝑅1 𝑂 𝐴 𝐵 𝐶 𝑅2 1.2 𝑚 1 𝑚 1 𝑚 𝑥 𝑉[𝑘𝑁] −0.91 −2.91 4𝑘𝑁 𝑀[𝑘𝑁𝑚] 𝑚 𝑚 −1.1 −4 𝐴1 𝐴2 𝐴3 Para la viga mostrada, encuentre las reacciones en los soportes y grafique los diagramas de fuerza cortante y momento flector. Etiquete de manera adecuada los diagramas y proporcione los valores en todos los puntos clave. Diagrama de Cuerpo Libre: Diagrama de Fuerza Cortante: Diagrama de Momento Flector Cálculo de las reacciones: Aplicando sumatoria de momentos en 𝑂: + ∑ 𝑀 𝑜 = 0 2𝑘𝑁 ∗ 1.2𝑚 − 𝑅2 ∗ 2.2𝑚 + 4𝑘𝑁 ∗ 3.2𝑚 = 0 𝑅2 = 4𝑘𝑁 ∗ 3.2𝑚 + 2𝑘𝑁 ∗ 1.2𝑚 2.2𝑚 𝑅2 = 6.91 𝑘𝑁 Sumatoria de fuerzas: + ∑ 𝐹𝑌 = 0 𝑅1 + 𝑅2 − 2𝑘𝑁 − 4𝑘𝑁 = 0 𝑅1 + 6.91𝑘𝑁 − 2𝑘𝑁 − 4𝑘𝑁 = 0 𝑅1 = −0.91𝑘𝑁 Comprobación: + ∑ 𝐹𝑌 = 0 6.91𝑘𝑁 − 2𝑘𝑁 − 4𝑘𝑁 − 0.91𝑘𝑁 = 0 0 = 0 Cálculo de momentos por áreas: 𝐴1 = −0.91(1.2)𝑘𝑁𝑚 𝐴1 = −1.1 𝑘𝑁𝑚 𝐴2 = −2.91(1)𝑘𝑁𝑚 𝐴2 = −2.91𝑘𝑁𝑚 𝑀 𝑚á𝑥 = (−1.1 − 2.91)𝑘𝑁𝑚 𝑴 𝒎á𝒙 = 𝟒 𝒌𝑵𝒎
- 3. 𝑦 400 𝑙𝑏 𝑓 = 40 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑅1 𝑂 𝐴 𝐵 𝐶 𝑅2 4𝑝𝑢𝑙𝑔 10𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑥 𝑅3 4𝑝𝑢𝑙𝑔 2𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑂 𝐴 𝐵 𝐶 4𝑝𝑢𝑙𝑔 5𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑥 400 𝑙𝑏 400 𝑙𝑏 𝐷 𝐷 𝑅1 𝑅2 𝑅3𝑅4 5𝑝𝑢𝑙𝑔2𝑝𝑢𝑙𝑔4𝑝𝑢𝑙𝑔 400 𝑙𝑏 𝑅1 𝑅4 𝑅4 𝑅2 𝑅3 400𝑙𝑏 4𝑝𝑢𝑙𝑔 4𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑂 𝐵𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 2𝑝𝑢𝑙𝑔 5𝑝𝑢𝑙𝑔 5𝑝𝑢𝑙𝑔 Para la viga mostrada, encuentre las reacciones en los soportes y grafique los diagramas de fuerza cortante y momento flector. Etiquete de manera adecuada los diagramas y proporcione los valores en todos los puntos clave. Diagrama de cuerpo libre: Como se trata de una viga hiperestática, para la resolución es necesario trabajar como dos segmentos: Calculo de la fuerza 𝐹: 𝐹 = 40𝑙𝑏 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 10𝑝𝑢𝑙𝑔 𝐹 = 400 𝑙𝑏 Aplicando sumatoria de momentos en 𝑂: + ∑ 𝑀 𝑜 = 0 400𝑙𝑏(4𝑝𝑢𝑙𝑔) − 𝑅4(8𝑝𝑢𝑙𝑔) = 0 𝑅4 = 400𝑙𝑏(4𝑝𝑢𝑙𝑔) 8𝑝𝑢𝑙𝑔 = 200 𝑙𝑏 + ∑ 𝐹𝑌 = 0 𝑅1 = 400𝑙𝑏 − 200𝑙𝑏 = 200𝑙𝑏 𝑅1 = 200𝑙𝑏 Aplicando sumatoria de momentos en 𝑂: + ∑ 𝑀 𝐷 = 0 −200𝑙𝑏(12𝑝𝑢𝑙𝑔) + 𝑅2(10𝑝𝑢𝑙𝑔) − 400𝑙𝑏(5𝑝𝑢𝑙𝑔) = 0 𝑅2 = 200𝑙𝑏(12𝑝𝑢𝑙𝑔) + 400𝑙𝑏(5𝑝𝑢𝑙𝑔) 10𝑝𝑢𝑙𝑔 = 440𝑙𝑏 + ∑ 𝐹𝑌 = 0 −200𝑙𝑏 + 440𝑙𝑏 − 400𝑙𝑏 + 𝑅3 = 0 𝑅3 = 160𝑙𝑏
- 4. 𝑂 𝐴 𝐵 𝐶 4𝑝𝑢𝑙𝑔 5𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑥 400 𝑙𝑏 400 𝑙𝑏 𝐷 𝑅1 5𝑝𝑢𝑙𝑔2𝑝𝑢𝑙𝑔4𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑅4 𝑅2 𝑅3 𝑦 𝑂 𝐵 𝐶 𝑥 𝐷 𝑉[𝑙𝑏] 200 -200 240 -160 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑀[𝑙𝑏𝑝𝑢𝑙𝑔] 800 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑥 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝐴5 −400 𝑂 320 Diagrama de cuerpo libre: Diagrama de Fuerza cortante: Diagrama de Momento Flector: Los momentos se calculan mediante áreas: 𝐴1 = 200𝑙𝑏(4𝑝𝑢𝑙𝑔) 𝐴1 = 800𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔 = 𝑀1 𝐴2 = −200𝑙𝑏(4𝑝𝑢𝑙𝑔) 𝐴2 = −800 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑀2 = (800 − 800)𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑀2 = 0 𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝐴3 = (−200 ∗ 2)𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝐴3 = −400 = 𝑀3 𝑥1 = (240 − (−160)) ∗ 10 160 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑥1=4𝑝𝑢𝑙𝑔 Por lo tanto el cruce por cero entre las reacciones 𝑅2 𝑦 𝑅3 es de 6 𝑝𝑢𝑙𝑔. 𝐴4 = 6𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 240 2 𝑙𝑏 𝐴4 = 720 𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑀4 = 𝐴3 − 𝐴4 = 320 𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝐴5 = 4𝑝𝑢𝑙𝑔 (− 160𝑙𝑏 2 ) 𝐴5 = −320 𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝐴4 − 𝐴5 = 0
- 6. 𝑦 𝑅1 𝑅2 𝑊 4 𝑝𝑢𝑙𝑔4 𝑝𝑢𝑙𝑔8 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑂 𝐴 𝐵 Para la viga ilustrada en la figura, encuentre las ubicaciones y magnitudes del esfuerzo flector máximo a la tensión debido a 𝑀 y el esfuerzo cortante máximo debido a 𝑉. Diagrama de cuerpo libre: Para el cálculo de 𝑊: 𝑊 = 𝑤(8𝑝𝑢𝑙𝑔) 𝑊 = 100𝑙𝑏 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 8𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑊 = 800𝑙𝑏 Cálculo de las reacciones: Sumatoria de momentos en 𝑂: + ∑ 𝑀 𝑜 = 0 −𝑅2(8𝑝𝑢𝑙𝑔) + 𝑊(12𝑝𝑢𝑙𝑔) = 0 𝑅2 = 800𝑙𝑏(12𝑝𝑢𝑙𝑔) 8𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑹 𝟐 = 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒍𝒃 Sumatoria de fuerzas en el eje 𝑦: + ∑ 𝐹𝑌 = 0 −𝑅1 + 𝑅2 − 𝑊 = 0 𝑅1 = 1200𝑙𝑏 − 800𝑙𝑏 𝑹 𝟏 = 𝟒𝟎𝟎 𝒍𝒃 Los momentos se calculan mediante áreas: 𝐴1 = −400𝑙𝑏(8𝑝𝑢𝑙𝑔) 𝐴1 = −3200 𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑴 𝒎á𝒙 = −𝟑𝟐𝟎𝟎 𝒍𝒃 ∗ 𝒑𝒖𝒍𝒈 𝐴2 = 800𝑙𝑏 ∗ 8𝑝𝑢𝑙𝑔 2 𝐴2 = 3200𝑙𝑏 𝐴1 + 𝐴2 = 0 𝐴1 𝐴2 𝑉 𝑚á𝑥 = 𝑀 𝑚á𝑥 =
- 7. Cálculo de esfuerzo cortante máximo debido a 𝑽: Esfuerzo flector máximo a la tensión debido a 𝑴 𝒎á𝒙: 𝜎 𝑚á𝑥 = 𝑀 𝑚á𝑥 𝑐 𝐼 𝜎 𝑚á𝑥 = 3200𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔 ( ℎ 2 ) 𝑏 ∗ ℎ3 12 𝜎 𝑚á𝑥 = 3200𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔(1𝑝𝑢𝑙𝑔) 1𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ (2𝑝𝑢𝑙𝑔)3 12 𝝈 𝒎á𝒙 = 𝟒𝟖𝟎𝟎 𝒍𝒃 𝒑𝒖𝒍𝒈 𝟐 𝜏 𝑚á𝑥 = 3𝑉 𝑚á𝑥 2𝐴 𝜏 𝑚á𝑥 = 3(800𝑙𝑏) 2(1𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 2𝑝𝑢𝑙𝑔) 𝝉 𝒎á𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 𝒍𝒃 𝒑𝒖𝒍𝒈 𝟐
- 8. 𝑦 𝑅1 𝑅2 𝑃1 𝑃2 𝐴1 𝐴2 Para la viga ilustrada en la figura, encuentre las ubicaciones y magnitudes del esfuerzo flector máximo a la tensión debido a 𝑀 y el esfuerzo cortante máximo debido a 𝑉. Diagrama de cuerpo libre: Calculo de reacciones: Sumatoria de momentos en 𝐴: + ∑ 𝑀𝐴 = 0 −𝑅2(15𝑝𝑢𝑙𝑔) + 1000𝑙𝑏(20𝑝𝑢𝑙𝑔) = 0 𝑅2 = 1000𝑙𝑏(20𝑝𝑢𝑙𝑔) 15𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑅2 = 1333.33 𝑙𝑏 Sumatoria de fuerzas en el eje 𝑦: + ∑ 𝐹𝑌 = 0 𝑅1 − 𝑃1 + 𝑅2 − 𝑃2 = 0 𝑅1 = 3000𝑙𝑏 + 1000𝑙𝑏 − 1333.33𝑙𝑏 = 0 𝑅1 = 2666.67𝑙𝑏 𝑅1 + 𝑃1 = 2666.67𝑙𝑏 − 3000𝑙𝑏 𝑅1 + 𝑃1 = −333.33𝑙𝑏 𝑅1 + 𝑃1 + 𝑅2 = (2666.67 − 3000 + 1333.33)𝑙𝑏 𝑅1 + 𝑃1 + 𝑅2 = 1000𝑙𝑏 Del diagrama de fuerza cortante: 𝑉 𝑚á𝑥 = 1000𝑙𝑏 Calculo de momento flector por áreas: 𝐴1 = −333.33𝑙𝑏 ∗ 15𝑝𝑢𝑙𝑔 𝐴1 = −5000 𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝐴2 = 1000𝑙𝑏 ∗ 5𝑝𝑢𝑙𝑔 𝐴2 = 5000 𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝐴1 + 𝐴2 = 0
- 9. Cálculo de cortante máximo debido a 𝑽: Esfuerzo flector máximo a la tensión debido a 𝑴 𝒎á𝒙: 𝜎 𝑚á𝑥 = 𝑀 𝑚á𝑥 𝑐 𝐼 𝜎 𝑚á𝑥 = 5000𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔 ( ℎ 2 ) 𝑏 ∗ ℎ3 12 𝜎 𝑚á𝑥 = 5000𝑙𝑏 ∗ 𝑝𝑢𝑙𝑔(1𝑝𝑢𝑙𝑔) 0.75 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ (2𝑝𝑢𝑙𝑔)3 12 𝝈 𝒎á𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒍𝒃 𝒑𝒖𝒍𝒈 𝟐 𝜏 𝑚á𝑥 = 3𝑉 𝑚á𝑥 2𝐴 𝜏 𝑚á𝑥 = 3(1000𝑙𝑏) 2(0.75 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 2𝑝𝑢𝑙𝑔) 𝝉 𝒎á𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒍𝒃 𝒑𝒖𝒍𝒈 𝟐
- 10. 𝑦 𝑅1 𝑅2 𝑃1 𝑃2 𝑂 𝐴 𝐵𝐶 𝐷 50𝑚𝑚50𝑚𝑚 100𝑚𝑚 100𝑚𝑚 Para la viga ilustrada en la figura, encuentre las ubicaciones y magnitudes del esfuerzo flector máximo a la tensión debido a 𝑀 y el esfuerzo cortante máximo debido a 𝑉. Diagrama de cuerpo libre: 𝑃1 = 6 𝑘𝑁 𝑚𝑚 ∗ 100 𝑚𝑚 𝑃1 = 600𝑘𝑁 𝑃2 = 6 𝑘𝑁 𝑚𝑚 ∗ 200𝑚𝑚 𝑃2 = 1200 𝑘𝑁 Cálculo para hallar las reacciones: Sumatoria de momentos en 𝐴: + ∑ 𝑀𝐴 = 0 −600𝑘𝑁(50𝑚𝑚) + 1200𝑘𝑁(100𝑚𝑚) − 𝑅2(200𝑚𝑚) = 0 𝑅2 = 1200𝑘𝑁(100𝑚𝑚) − 600𝑘𝑁(50𝑚𝑚) 200𝑚𝑚 𝑅2 = 450𝑘𝑁 Sumatoria de fuerzas en el eje 𝑦: + ∑ 𝐹𝑌 = 0 −𝑃1 + 𝑅1 − 𝑃2 + +𝑅2 = 0 −600𝑘𝑁 + 𝑅1 − 1200𝑘𝑁 + 450𝑘𝑁 = 0 𝑅1 = 1200𝑘𝑁 − 450𝑘𝑁 + 600𝑘𝑁 𝑅1 = 1350𝑘𝑁 Calculo de momentos mediante áreas: 𝐴1 = −600𝑘𝑁 ( 100𝑚𝑚 2 ) 𝐴1 = −30000𝑘𝑁𝑚𝑚 𝑀1 = −30000𝑘𝑁𝑚𝑚 𝐴1 𝐴2 𝐴3125𝑚𝑚100 𝑚𝑚 75𝑚𝑚
- 11. 450𝑘𝑁 1200𝑘𝑁 200𝑚𝑚 Para hallar el cruce por cero y determinar la base del triangulo del area 𝐴2 se puede aplicar semejanza de triangulos: Por lo tanto: 𝐴2 = 125𝑚𝑚 2 (750𝑘𝑁) 𝐴2 = 46875𝑘𝑁𝑚𝑚 𝑀2 = 𝐴1 + 𝐴2 = −30000𝑘𝑁𝑚𝑚 + 46875𝑘𝑁𝑚𝑚 𝑀2 = 16875𝑘𝑁𝑚𝑚 𝐴3 = 450𝑘𝑁 ( 75𝑚𝑚 2 ) 𝐴3 = 16875𝑘𝑁𝑚𝑚 = 𝑀3 𝑀2 − 𝑀3 = 0 Del diagrama de fuerza cortante se tiene que: 𝑉 𝑚á𝑥 = 750𝑘𝑁 Cálculo de cortante máximo debido a 𝑽: Esfuerzo flector máximo a la tensión debido a 𝑴 𝒎á𝒙: 𝜎 𝑚á𝑥 = 𝑀 𝑚á𝑥 𝑐 𝐼 Del diagrama de momento flector se sabe que: 𝑀 𝑚á𝑥 = 30000 𝑘𝑁 ∗ 𝑚𝑚 1200𝑘𝑁 450𝑘𝑁 = 200 𝑥 𝑥 = 75 𝑚𝑚 200𝑚𝑚 − 𝑥 = 125𝑚𝑚 𝑥 𝜏 𝑚á𝑥 = 4𝑉 𝑚á𝑥 3𝐴 𝜏 𝑚á𝑥 = 3(750𝑘𝑁) 2(𝜋 ∗ 252) 𝜏 𝑚á𝑥 = 0.57 𝑘𝑁 𝑚𝑚2 𝝉 𝒎á𝒙 = 𝟎. 𝟓𝟕𝑴𝑷𝒂
- 12. 𝜎 𝑚á𝑥 = 30000𝑘𝑁𝑚𝑚 ( 50𝑚𝑚 2 ) 𝜋 ∗ (25𝑚𝑚)4 4 𝜎 𝑚á𝑥 = 2.44𝑘𝑁 𝑚𝑚2 𝝈 𝒎á𝒙 = 𝟐. 𝟒𝟒𝑴𝑷𝒂