El documento describe el cálculo del área bajo la curva f(x)=x^2 entre 0 y 2 usando el método de las sumas de Riemann. Se divide el intervalo en 3, 6 y 12 partes y se calcula el área aproximada como la suma de las áreas de los rectángulos correspondientes. Entre más partes se usen, la aproximación del área es más precisa, convergiendo al área exacta de 5/3 unidades cuadradas solo cuando el número de intervalos tiende a infinito.

1. Cálculo de Áreas
Aplicación de Sumas de
Riemman
Ing. Gerardo Valdés Bermudes

2. ¿Cuál es el área de la figura sombreada?

3. Calculo por aproximación
 Dividimos el intervalo en tres partes.
Área aproximada= suma de las áreas de los rectángulos
Área de un rectángulo= (Base) (Altura)
Base=Δx=1 Altura=f(x)=x2
A1= (0)(1)= 0
A2= (1)(1)= 1
A3= (4)(1)= 4
AT= 5 u2
x1= 0
x2= 1
x3= 2

4. Calculo por aproximación
 Dividimos el intervalo en seis partes.
Área aproximada= suma de las áreas de los rectángulos
A1= (0)(1/2)= 0
A2= (1/4)(1/2)= 1/8
A3= (1)(1/2)= 1/2
A4= (9/4)(1/2)= 9/8
A5= (4)(1/2)= 2
A6= (25/4)(1/2)= 25/8
AT= 55/8= 6.875u2
Base=Δx=1/2 Altura=f(x)=x2
x1= 0
x2= 1/2
x3= 1
x4= 3/2
x5= 2
x6= 5/2

5. Calculo por aproximación
 Dividimos el intervalo en doce partes.
Área aproximada= suma de las áreas de los rectángulos
Base=Δx=1/4 Altura=f(x)=x2
A1= (0) (1/4)= 0
A2= (1/16)(1/4)= 1/64
A3= (1/4) (1/4)= 1/16
A4= (9/16)(1/4)= 9/64
A5= (1) (1/4)= 1/4
A6= (25/16)(1/4)= 25/64
A7= (9/4) (1/4)= 9/16
A8= (49/16)(1/4)= 49/64
A9= (4) (1/4)=1
A10= (81/16)(1/4)=81/64
A11= (25/4) (1/4)=25/16
A12= (121/16)(1/4)=121/64
AT= 506/64 = 7.9 u2
x1= 0
x2= 1/4
x3= 1/2
x4= 3/4
x5= 1
x6= 5/4
x8= 7/4
x9= 2
x10= 9/4
x11= 5/2
x12= 11/4
x7= 3/2

6. Sumas de Riemman
∑=
∆
n
i
xxf
0
)(
2
2
0
2
5
6
)5)(3)(2(
)1()( ui
i
==∑=
Área aproximada= suma de las áreas de los rectángulos
∑=
∆
n
i
xxf
0
)(
A1= (0)(1)= 0
A2= (1)(1)= 1
A3= (4)(1)= 4
AT= 5 u2
x1= 0
x2= 1
x3= 2

7. Sumas de Riemman
A1= (0)(1/2)= 0
A2= (1/4)(1/2)= 1/8
A3= (1)(1/2)= 1/2
A4= (9/4)(1/2)= 9/8
A5= (4)(1/2)= 2
A6= (25/4)(1/2)= 25/8
x1= 0
x2= 1/2
x3= 1
x4= 3/2
x5= 2
x6= 5/2
2
5
0
2
5
0
2
5
0
2
0
875.6
6
)11)(6)(5(
8
1
8
1
)
2
1
()
4
(
)
2
1
()
2
(
)(
ui
i
i
xxf
i
i
i
n
i
==
=
=
∆
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
AT= 55/8= 6.875u2

8. Sumas de Riemman
x1= 0
x2= 1/4
x3= 1/2
x4= 3/4
x5= 1
x6= 5/4
x8= 7/4
x9= 2
x10= 9/4
x11= 5/2
x12= 11/4
x7= 3/2
2
11
0
2
11
0
2
11
0
2
0
9.7
6
)23)(12)(11(
64
1
64
1
)
4
1
(
16
)
4
1
()
4
(
)(
ui
i
i
xxf
i
i
i
n
i
==
=
=
∆
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=

9. ¿Cuántos intervalos se necesitan para
que el área sea exacta?

10. ¿Cuántos intervalos se necesitan para
que el área sea exacta?