Este documento describe funciones en varias variables, incluyendo su dominio, rango y gráfica. Explica que una función en varias variables mapea puntos de un espacio n-dimensional a valores en un espacio m-dimensional. Presenta ejemplos para ilustrar cómo calcular el dominio y graficar funciones en dos y tres variables. También introduce el concepto de curvas y superficies de nivel para graficar funciones cuya gráfica no es una superficie cuadrática o cilíndrica.

1. Funciones en varias variables
Dominio, rango y gráfica de funciones en varias variables
Yoe Herrera
UNAB
yherrera743@unab.edu.co
February 21, 2018
1 / 8

2. Funciones en varias variables
Funciones escalares en varias variables
Una función en (o de) varias variables es una función de la forma
f : Rn
→ Rm
x1, x2, . . . , xn → f( x1, x2, . . . , xn )
El dominio de f es el conjunto
Df = { x1, x2, . . . , xn ∈ Rn
| f( 1, x2, . . . , xn ) ∈ R} ⊆ Rn
.
El rango de f es el conjunto
Rf = {f( x1, x2, . . . , xn ) | x1, x2, . . . , xn ∈ Df } ⊆ Rm
.
La gráfica de f es el conjunto
Gf = { x1, x1, x2, . . . , xn, f( x1, x2, . . . , xn ) | x1, x2, . . . , xn ∈ Df } ⊆ Rm+n
.
2 / 8

3. Funciones en varias variables
Observación: Cuando m = 1, decimos que la función f es escalar. En este curso nos
concentraremos en la funciones escalares solamente.
Ejemplo 1
Halle y grafique el dominio de la función definida por
f(x, y) =
6y − 4x2
√
2x + 3y + 2
+
5xey
9 − 4x2 − 4y2
.
Solución. Df = {(x, y) ∈ R2 | 2x + 3y + 2 > 0, 9 − 4x2 − 4y2 > 0}.
3 / 8

4. Funciones en varias variables
Ejemplo 2
Halle y grafique el dominio de la función definida por g(x, y) =
2x − y2
log(x2 + 4y2 − 4)
.
Solución. Dg = {(x, y) ∈ R2 | 2x − y2 ≥ 0, x2 + 4y2 − 4 > 0, x2 + 4y2 − 4 = 1}.
4 / 8

5. Funciones en varias variables
Ejemplo 3
Halle y describa el dominio de la función w(x, y, z) = 4x −
6x + y − z
4 − y2 + 4x2 − z2
.
Solución. Dw = {(x, y, z) ∈ R3 | 4y2 − x2 + 9z2 − 36 > 0}, es decir Dw está
formado por los puntos que están dentro de las hojas del hiperboloide de dos hojas
que tiene como eje al eje y (de color verde) con ecuación 4 − y2 + 4x2 − z2 = 0 (no
incluye los puntos sobre la superficie).
5 / 8

6. Funciones en varias variables
Ejemplo 4
Halle el rango y la gráfica de la función h(x, y) = 2 − x2 + 4y2.
Solución. Observemos que Dh = R2 y que 0 ≤ x2 + 4y2 y además esta raíz puede
tomar cualquier valor real positivo, entonces z = h(x, y) ≤ 2. Así Rh = (−∞, 2].
Para la gráfica de h, observemos que
(z − 2)2
= x2
+ 4y2
, z ≤ 2.
Luego, la gráfica de h es la parte inferior del cono que tiene como eje al eje z y vértice
en (0, 0, 2).
6 / 8

7. Funciones en varias variables
Ejemplo 5
Halle el rango y la gráfica de la función k(x, y) = 1 + 4x2 − 8x − y2 + 2y.
Solución. Observemos que Dk = {(x, y) | 4x2 − 8x − y2 + 2y ≥ 0}, es decir la región
por dentro de la hipérbola 4x2 − 8x − y2 + 2y = 0 y que 0 ≤ 4x2 − 8x − y2 + 2y,
entonces z = h(x, y) ≥ 1, es decir, Rk = [1, ∞).
Para la gráfica de k, observemos que al completar los cuadrados obtenemos
(z − 1)2
= 4(x − 2)2
− (y − 1)2
+ −16 + 1, z ≥ 1.
Luego, la gráfica de k es la parte superior del hiperboloide de una hoja que tiene eje
paralelo al eje x (eje rojo) y centro en (2, 1, 1).
7 / 8

8. Funciones en varias variables
Curvas y superficies de nivel
Cuando la gráfica de la función f no hace parte de una superficie cuádrica o un
cilindro, podemos utilizar las curvas o superficies de nivel. Dado k ∈ Rf , el conjunto
{(x, y, k) | f(x, y) = k}, es una curva de nivel de f.
Ejemplo 6
Graficar f(x, y) =
x
x2 + y2
.
k = −2 k = −2
k = −1 k = −1
k = 1 k = 1
k = 2 k = 2
8 / 8