El documento presenta información sobre los cuadriláteros, incluyendo definiciones, clasificaciones y teoremas. Define los diferentes tipos de cuadriláteros (trapezoide, trapecio, paralelogramo) y explica cómo se clasifican según la congruencia de sus lados y ángulos. También incluye demostraciones de varios teoremas geométricos sobre las propiedades de los cuadriláteros.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como ángulos, lados de polígonos y triángulos. Define ángulos rectos, agudos y obtusos, así como triángulos isósceles, equiláteros y escalenos. También describe líneas verticales, horizontales y paralelas, así como puntos y rayos que forman ángulos. En resumen, proporciona definiciones fundamentales de los elementos geométricos más básicos.
Este documento contiene 10 problemas de matemáticas sobre progresiones geométricas. Los problemas involucran hallar términos, razones, sumas y productos de términos, y evaluar fracciones de progresiones geométricas infinitas.
Este documento contiene 30 preguntas sobre conceptos geométricos como congruencia de triángulos, elementos secundarios y propiedades de figuras planas. Las preguntas abarcan temas como identificar triángulos congruentes basados en ángulos y lados correspondientes, determinar medidas de ángulos utilizando propiedades de figuras como bisectrices y medianas, y reconocer cuándo se cumplen las condiciones para la congruencia entre triángulos. Incluye también algunos ejercicios sobre cuadriláteros y sus propiedades.
El documento explica los ángulos cuadrantales y las funciones trigonométricas en la circunferencia trigonométrica. Se dividen los ángulos en cuatro cuadrantes y se explican los valores de las funciones trigonométricas para ángulos cuadrantales como 0°, 90°, 180° y 270°. Finalmente, se dan ejemplos para simplificar expresiones trigonométricas usando los valores de ángulos cuadrantales.
El documento resume el Teorema de Tales, atribuido al matemático griego Tales de Mileto. El teorema establece que si una línea paralela es trazada a uno de los lados de un triángulo, se crean dos triángulos semejantes. También describe cómo Tales usó este principio para medir las alturas de las pirámides de Egipto comparando sombras. El teorema tiene aplicaciones importantes en la geometría y la división proporcional de segmentos.
En ésta presentación tememos las demostraciones a identidades trigonométricas, ejemplos, ejercicios, consultas y taller correspondiente a ésta temática del periodo 3 y la semana 5.
Este documento define y clasifica los triángulos. Explica que un triángulo tiene tres vértices y tres lados. Clasifica los triángulos por la longitud de sus lados (escaleno, isósceles, equilátero) y por la medida de sus ángulos (agudo, obtuso, rectángulo, equiángulo). También describe los criterios para determinar si dos triángulos son congruentes, como el postulado de lado-lado-lado.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como ángulos, lados de polígonos y triángulos. Define ángulos rectos, agudos y obtusos, así como triángulos isósceles, equiláteros y escalenos. También describe líneas verticales, horizontales y paralelas, así como puntos y rayos que forman ángulos. En resumen, proporciona definiciones fundamentales de los elementos geométricos más básicos.
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Este documento define y clasifica los triángulos. Explica que un triángulo tiene tres vértices y tres lados. Clasifica los triángulos por la longitud de sus lados (escaleno, isósceles, equilátero) y por la medida de sus ángulos (agudo, obtuso, rectángulo, equiángulo). También describe los criterios para determinar si dos triángulos son congruentes, como el postulado de lado-lado-lado.
Este documento presenta las definiciones y fórmulas para calcular las razones trigonométricas de ángulos agudos en un triángulo rectángulo. Explica que las razones se definen como el cociente entre las longitudes de los lados del triángulo y uno de los ángulos agudos. Luego proporciona ejemplos resueltos de cálculos trigonométricos y ejercicios prácticos para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Teoría y Problemas de Razones Trigonométricas y Triángulos Notables ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
Este documento presenta información sobre razones trigonométricas en triángulos rectángulos notables. Explica las razones trigonométricas para ángulos de 45°, 30°, 60°, 37°, 53° y 15°. Luego proporciona 20 problemas de cálculo que involucran razones trigonométricas en diversas figuras geométricas como triángulos, cuadrados y círculos.
Este documento describe los poliedros, sus características y clasificaciones. Explica que los poliedros son sólidos cuyas caras son polígonos regulares y describe sus elementos como vértices, aristas y caras. También describe los cinco poliedros regulares conocidos como los sólidos platónicos - el tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro - e incluye información sobre sus caras, aristas y vértices. Además, explica la relación de Euler que relaciona estas características en los
Este documento contiene 18 preguntas de opción múltiple sobre geometría. Cada pregunta presenta una figura geométrica y solicita calcular el valor de un ángulo o longitud desconocida a partir de la información dada en la figura.
Ejercicios sobre conceptos_basicos_geometria euclidianaReyna Rosales
Este documento a sido de gran utilidad para mi y es por eso que lo estoy compartiendo ayudara a reforzar algunos conceptos que no han quedado muy claros de la Geometría euclidiana
Este documento contiene 20 problemas relacionados con el cálculo del área de diferentes figuras geométricas planas, incluyendo triángulos, rectángulos, cuadrados y regiones triangulares. Los problemas involucran el uso de fórmulas como la de Herón para triángulos, fórmulas para figuras compuestas y relaciones trigonométricas. El documento fue escrito por el profesor Lic. Raúl Ponce Yalico para su curso de tercer año de secundaria.
Este documento presenta información sobre pirámides regulares, incluyendo definiciones de términos como área lateral, área total y volumen. También contiene 16 problemas de ejercicios sobre el cálculo de estas medidas para pirámides regulares dadas sus dimensiones.
Este documento presenta 8 preguntas de geometría sobre triángulos. Las preguntas involucran calcular ángulos desconocidos, hallar bisectrices y relaciones entre ángulos. El documento provee gráficos y datos numéricos para que el lector pueda resolver las preguntas planteadas.
Practica nº 3 geometria 4to año triangulos rectangulos notableskarlosnunezh
El documento contiene 42 problemas de geometría sobre triángulos rectángulos y notables. Los problemas incluyen calcular ángulos, lados y relaciones en diversos triángulos dados algunos datos como medidas de ángulos y lados. El objetivo es hallar valores desconocidos como ángulos, lados, distancias y relaciones.
El documento presenta información sobre los cuadriláteros, incluyendo definiciones, clasificaciones y teoremas. Define los diferentes tipos de cuadriláteros como trapezoides, trapecios, paralelogramos, rectángulos, rombos y cuadrados. Explica las propiedades de estos cuadriláteros como la congruencia de sus lados y ángulos. También incluye demostraciones de teoremas sobre paralelogramos y la bisectriz de sus diagonales.
Este documento describe los ángulos trigonométricos y sus propiedades. Define un ángulo trigonométrico como el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen. Explica que los ángulos trigonométricos pueden ser positivos o negativos dependiendo de si la rotación es antihoraria o horaria, respectivamente. Además, presenta varios ejercicios resueltos para practicar el cálculo de ángulos trigonométricos.
Este documento presenta 5 problemas de matemáticas para estudiantes de noveno grado. El primer problema involucra operaciones fraccionarias y porcentajes. El segundo pide calcular porcentajes de números dados. El tercero requiere calcular una nota definitiva basada en los porcentajes de 3 exámenes. El cuarto pide simplificar fracciones y expresarlas como decimales. El quinto problema involucra crear una tabla de frecuencias y calcular porcentajes basados en los datos de tamaños de calzado de 30 estudiantes.
Este documento trata sobre triángulos rectángulos. Explica que un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 grados y los lados opuestos al ángulo recto se llaman hipotenusa y catetos. Luego, detalla cómo resolver triángulos rectángulos usando el teorema de Pitágoras, razones trigonométricas y la suma de los ángulos internos. Finalmente, presenta ejemplos numéricos de cómo calcular los lados y ángulos desconocidos de triángulos rectángulos.
Este documento presenta información sobre geometría en el espacio, incluyendo definiciones de planos, ángulos diedros, cuerpos geométricos de revolución y traslación, áreas y volúmenes de paralelepípedos, cubos, prismas, cilindros, pirámides y conos. También cubre puntos en el espacio y sus coordenadas, y proporciona ejemplos y respuestas para practicar estos conceptos.
Este documento contiene 18 problemas de geometría relacionados con triángulos. Los problemas involucran conceptos como bisectrices, medianas, alturas y ángulos. Se pide calcular medidas de ángulos dados ciertas condiciones sobre las bisectrices, medianas y alturas trazadas en triángulos.
El documento presenta 25 problemas relacionados con el cálculo de áreas, volúmenes y otras propiedades geométricas de figuras como cubos, pirámides, prismas, cilindros y esferas. Se pide calcular áreas, volúmenes totales, superficies, capacidades y otras medidas. También se incluyen preguntas sobre porcentajes y fracciones relacionadas con los volúmenes calculados.
Este documento resume la historia de la geometría desde sus orígenes en la antigua Grecia hasta los desarrollos modernos. Comenzó como una geometría empírica para medir tierras y construir edificios, pero los griegos la sistematizaron basándola en axiomas y postulados. Euclides expuso de forma rigurosa la geometría griega en Los Elementos. Más tarde, Descartes conectó la geometría y el álgebra a través de la geometría analítica. En el siglo XIX surgieron nuevos conceptos como la
Este documento presenta 20 problemas de geometría que involucran la congruencia de triángulos. Cada problema contiene una figura geométrica con triángulos y segmentos de línea, y pide calcular un ángulo desconocido, la medida de un lado o determinar si dos triángulos son congruentes basándose en las propiedades de los triángulos congruentes.
Este documento contiene 24 ejercicios de matemáticas para estudiantes de 3er año de secundaria. Cada ejercicio presenta una ecuación o problema geométrico y varias opciones de respuesta para calcular el valor desconocido "x". Los ejercicios involucran cálculos algebraicos, geométricos y trigonométricos sobre figuras como rombos, trapecios y paralelogramos.
Este documento presenta las definiciones y fórmulas para calcular las razones trigonométricas de ángulos agudos en un triángulo rectángulo. Explica que las razones se definen como el cociente entre las longitudes de los lados del triángulo y uno de los ángulos agudos. Luego proporciona ejemplos resueltos de cálculos trigonométricos y ejercicios prácticos para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Teoría y Problemas de Razones Trigonométricas y Triángulos Notables ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
Este documento presenta información sobre razones trigonométricas en triángulos rectángulos notables. Explica las razones trigonométricas para ángulos de 45°, 30°, 60°, 37°, 53° y 15°. Luego proporciona 20 problemas de cálculo que involucran razones trigonométricas en diversas figuras geométricas como triángulos, cuadrados y círculos.
Este documento describe los poliedros, sus características y clasificaciones. Explica que los poliedros son sólidos cuyas caras son polígonos regulares y describe sus elementos como vértices, aristas y caras. También describe los cinco poliedros regulares conocidos como los sólidos platónicos - el tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro - e incluye información sobre sus caras, aristas y vértices. Además, explica la relación de Euler que relaciona estas características en los
Este documento contiene 18 preguntas de opción múltiple sobre geometría. Cada pregunta presenta una figura geométrica y solicita calcular el valor de un ángulo o longitud desconocida a partir de la información dada en la figura.
Ejercicios sobre conceptos_basicos_geometria euclidianaReyna Rosales
Este documento a sido de gran utilidad para mi y es por eso que lo estoy compartiendo ayudara a reforzar algunos conceptos que no han quedado muy claros de la Geometría euclidiana
Este documento contiene 20 problemas relacionados con el cálculo del área de diferentes figuras geométricas planas, incluyendo triángulos, rectángulos, cuadrados y regiones triangulares. Los problemas involucran el uso de fórmulas como la de Herón para triángulos, fórmulas para figuras compuestas y relaciones trigonométricas. El documento fue escrito por el profesor Lic. Raúl Ponce Yalico para su curso de tercer año de secundaria.
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Practica nº 3 geometria 4to año triangulos rectangulos notableskarlosnunezh
El documento contiene 42 problemas de geometría sobre triángulos rectángulos y notables. Los problemas incluyen calcular ángulos, lados y relaciones en diversos triángulos dados algunos datos como medidas de ángulos y lados. El objetivo es hallar valores desconocidos como ángulos, lados, distancias y relaciones.
El documento presenta información sobre los cuadriláteros, incluyendo definiciones, clasificaciones y teoremas. Define los diferentes tipos de cuadriláteros como trapezoides, trapecios, paralelogramos, rectángulos, rombos y cuadrados. Explica las propiedades de estos cuadriláteros como la congruencia de sus lados y ángulos. También incluye demostraciones de teoremas sobre paralelogramos y la bisectriz de sus diagonales.
Este documento describe los ángulos trigonométricos y sus propiedades. Define un ángulo trigonométrico como el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen. Explica que los ángulos trigonométricos pueden ser positivos o negativos dependiendo de si la rotación es antihoraria o horaria, respectivamente. Además, presenta varios ejercicios resueltos para practicar el cálculo de ángulos trigonométricos.
Este documento presenta 5 problemas de matemáticas para estudiantes de noveno grado. El primer problema involucra operaciones fraccionarias y porcentajes. El segundo pide calcular porcentajes de números dados. El tercero requiere calcular una nota definitiva basada en los porcentajes de 3 exámenes. El cuarto pide simplificar fracciones y expresarlas como decimales. El quinto problema involucra crear una tabla de frecuencias y calcular porcentajes basados en los datos de tamaños de calzado de 30 estudiantes.
Este documento trata sobre triángulos rectángulos. Explica que un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 grados y los lados opuestos al ángulo recto se llaman hipotenusa y catetos. Luego, detalla cómo resolver triángulos rectángulos usando el teorema de Pitágoras, razones trigonométricas y la suma de los ángulos internos. Finalmente, presenta ejemplos numéricos de cómo calcular los lados y ángulos desconocidos de triángulos rectángulos.
Este documento presenta información sobre geometría en el espacio, incluyendo definiciones de planos, ángulos diedros, cuerpos geométricos de revolución y traslación, áreas y volúmenes de paralelepípedos, cubos, prismas, cilindros, pirámides y conos. También cubre puntos en el espacio y sus coordenadas, y proporciona ejemplos y respuestas para practicar estos conceptos.
Este documento contiene 18 problemas de geometría relacionados con triángulos. Los problemas involucran conceptos como bisectrices, medianas, alturas y ángulos. Se pide calcular medidas de ángulos dados ciertas condiciones sobre las bisectrices, medianas y alturas trazadas en triángulos.
El documento presenta 25 problemas relacionados con el cálculo de áreas, volúmenes y otras propiedades geométricas de figuras como cubos, pirámides, prismas, cilindros y esferas. Se pide calcular áreas, volúmenes totales, superficies, capacidades y otras medidas. También se incluyen preguntas sobre porcentajes y fracciones relacionadas con los volúmenes calculados.
Este documento resume la historia de la geometría desde sus orígenes en la antigua Grecia hasta los desarrollos modernos. Comenzó como una geometría empírica para medir tierras y construir edificios, pero los griegos la sistematizaron basándola en axiomas y postulados. Euclides expuso de forma rigurosa la geometría griega en Los Elementos. Más tarde, Descartes conectó la geometría y el álgebra a través de la geometría analítica. En el siglo XIX surgieron nuevos conceptos como la
Este documento presenta 20 problemas de geometría que involucran la congruencia de triángulos. Cada problema contiene una figura geométrica con triángulos y segmentos de línea, y pide calcular un ángulo desconocido, la medida de un lado o determinar si dos triángulos son congruentes basándose en las propiedades de los triángulos congruentes.
Este documento contiene 24 ejercicios de matemáticas para estudiantes de 3er año de secundaria. Cada ejercicio presenta una ecuación o problema geométrico y varias opciones de respuesta para calcular el valor desconocido "x". Los ejercicios involucran cálculos algebraicos, geométricos y trigonométricos sobre figuras como rombos, trapecios y paralelogramos.
Este documento presenta 12 problemas de geometría sobre cuadriláteros y trapecios. Los problemas incluyen calcular valores desconocidos "x" cuando se dan propiedades de figuras como rombos, romboides, cuadrados y trapecios. También incluye calcular medidas como medianas cuando se dan dimensiones de trapecios. El documento proporciona una serie de ejercicios prácticos sobre conceptos geométricos básicos de cuadriláteros y trapecios.
Este documento define y clasifica los cuadriláteros. Explica que los cuadriláteros son polígonos con cuatro lados y vértices. Define y clasifica los diferentes tipos de cuadriláteros, incluyendo trapezoides, trapecios, paralelogramos, rombos y cuadrados. Describe las propiedades de cada tipo de cuadrilátero y proporciona ejemplos ilustrados. Finalmente, incluye 26 problemas de nivel I a III relacionados con los conceptos presentados.
El documento presenta 40 problemas de geometría sobre diferentes figuras geométricas como cuadriláteros, trapecios, rombos y romboides. Los problemas incluyen hallar medidas de lados, ángulos y distancias, así como calcular perímetros y relaciones entre elementos de las figuras.
Este documento contiene 19 problemas de geometría sobre cuadriláteros. Los problemas cubren temas como calcular valores desconocidos en figuras geométricas, hallar perímetros de cuadriláteros como cuadrados, rectángulos y rombos, y determinar medidas de ángulos internos y externos. El objetivo es que los estudiantes practiquen cálculos geométricos básicos sobre las propiedades de diferentes tipos de cuadriláteros.
El documento proporciona una historia detallada del desarrollo de la geometría a través de los tiempos, desde sus orígenes en el antiguo Egipto y Babilonia hasta los avances modernos. Destaca que Pitágoras estableció la geometría como una ciencia deductiva basada en axiomas y teoremas, y que Euclides sistematizó la geometría griega en su obra Los Elementos. También describe los primeros problemas de construcción geométrica, el estudio de las cónicas, las contribuciones de Arquímedes
Este documento contiene 30 preguntas sobre polígonos y cuadriláteros. Las preguntas cubren temas como las propiedades de paralelogramos, rombos, trapecios y cuadrados. También incluyen preguntas sobre ángulos, lados y diagonales de estas figuras. La guía proporciona las respuestas correctas al final para que los estudiantes puedan revisar su comprensión de estos conceptos básicos de geometría.
El documento presenta conceptos básicos de geometría del plano, incluyendo polígonos, triángulos, cuadriláteros y sus elementos. Explica cómo construir figuras geométricas como triángulos y polígonos regulares, y define rectas y puntos notables en triángulos como las mediatrices, bisectrices y alturas.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, segmentos, rayos, ángulos y figuras planas como triángulos y cuadrilateros. Explica cómo medir y clasificar ángulos, y define propiedades de figuras como la suma de los ángulos interiores de un polígono, el número de diagonales de una figura y los tipos de triángulos. Incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
El documento describe diferentes tipos de cuadriláteros. Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Los tipos incluyen paralelogramos, rombos, rectángulos, cuadrados, trapecios e isósceles. También presenta teoremas sobre las propiedades de los cuadriláteros como que la suma de los ángulos internos es 360° y que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.
Este documento presenta información sobre geometría y trigonometría, incluyendo definiciones y propiedades de polígonos como cuadriláteros, romboides y trapecios. Explica cómo clasificar cuadriláteros según sus lados y ángulos, y proporciona ejemplos y actividades para practicar el cálculo de medidas de ángulos y lados usando las propiedades de estas figuras.
El documento resume los tipos y propiedades de los cuadriláteros. Explica que los cuadriláteros se clasifican como paralelogramos, trapecios y trapezoides según si sus lados son paralelos. Dentro de los paralelogramos se incluyen rectángulos, cuadrados, rombos y romboides. Los trapecios pueden ser rectangulares, isósceles o escalenos. Finalmente, los trapezoides se clasifican como simétricos o asimétricos.
El documento resume las propiedades y clasificaciones de los cuadriláteros. Explica que los cuadriláteros se clasifican como paralelogramos, trapecios o trapezoides según si tienen lados paralelos o no. Luego describe las propiedades específicas de paralelogramos como rectángulos, cuadrados y rombos. Finalmente, clasifica los trapecios en rectángulos, isósceles y escalenos, y los trapezoides en simétricos y asimétricos.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría euclidiana, incluyendo puntos, rectas, segmentos de recta, ángulos y triángulos. Explica el método deductivo utilizado en geometría y define términos como bisectriz, mediatriz, altura y otros elementos geométricos. También incluye postulados sobre puntos, rectas, ángulos y medidas de segmentos, así como teoremas sobre ángulos opuestos por el vértice y complementos de ángulos congruentes.
El documento contiene información sobre conceptos geométricos como proyecciones, rectas perpendiculares a planos, ángulos entre rectas y planos, distancias entre rectas y más. Explica las propiedades de los cinco poliedros regulares (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) y cómo calcular sus medidas como aristas, áreas y volúmenes.
Este documento define los poliedros como figuras geométricas formadas por cuatro o más regiones poligonales adyacentes no coplanares. Describe que las regiones poligonales son las caras del poliedro, los lados de los polígonos son las aristas y los vértices de los polígonos son los vértices del poliedro. También clasifica los poliedros según su número de caras, como tetraedros con 4 caras, pentaedros con 5 caras y hexaedros con 6 caras.
Este documento presenta información sobre los cuadriláteros, incluyendo su definición, clasificaciones y propiedades. Explica que un cuadrilátero tiene cuatro lados y dos diagonales, y clasifica los cuadriláteros en paralelogramos, trapecios y trapezoides según el paralelismo de sus lados. También describe las propiedades específicas de rectángulos, cuadrados, rombos y trapecios.
El documento describe los cuadriláteros, incluyendo sus clasificaciones y propiedades. Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados en paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos incluyen rectángulos, cuadrados y rombos. Se describen las propiedades específicas de cada figura, como que los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos y de igual longitud.
El documento describe los cuadriláteros, incluyendo sus clasificaciones y propiedades. Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados en paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos incluyen rectángulos, cuadrados, rombos y romboides. Se describen las propiedades específicas de cada figura, como que los rectángulos tienen ángulos rectos y las diagonales de un rombo son perpendiculares.
Este documento resume conceptos básicos de geometría como clasificación de figuras planas, polígonos, triángulos, cuadriláteros y sus propiedades. Explica que los polígonos se clasifican de acuerdo a su número de lados y ángulos. Define triángulos equilátero, isósceles y escaleno según la igualdad de sus lados, así como triángulos rectángulo, obtusángulo y acutángulo según sus ángulos. También define cuadriláteros como paralelogramos,
El documento explica conceptos básicos de geometría sobre ángulos. Define qué es un ángulo, sus elementos, y diferentes clasificaciones de ángulos según su medida, posición y relación con rectas paralelas. También introduce conceptos sobre triángulos como sus propiedades y clasificaciones.
Documento que muestra conceptos básicos sobre polígonos y construcciones de polígonos regulares paso a paso. Diseñado especialmente para el nivel de 3º de ESO pero aplicable en 1º de ESO y en cualquier otro curso superior a un nivel básico.
Definicion
Un cuadrilátero es una figura geométrica, polígono, de 4 lados rectos no necesariamente iguales.
Los cuadriláteros convexos tienen todas las medidas de sus ángulos interiores menores que 180°.
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS
Paralelogramos
Trapecios
Trapezoides
Paralelogramo
Es un cuadro que tiene sus lados paralelos de dos en dos.
Este documento describe las propiedades de los cuadriláteros. Explica que un cuadrilátero tiene cuatro lados y dos diagonales. Luego clasifica los cuadriláteros convexos en paralelogramos, trapecios y trapezoides, describiendo las propiedades de cada uno. Finalmente, define los tipos específicos de paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Este documento describe las propiedades de diferentes tipos de cuadriláteros como paralelogramos, trapecios, trapezoides, cuadrados, rectángulos y rombos. Explica que un paralelogramo tiene lados opuestos paralelos y diagonales que se cortan en el punto medio, mientras que un trapecio solo tiene dos lados paralelos. También cubre las propiedades de cuadrados, rectángulos y rombos como figuras específicas de paralelogramos. Finalmente, resume los teoremas geométricos
TEORIA 3 SEMANApp. T _______cuadriláteros ien____ingridcueva1
Este documento presenta información sobre cuadriláteros. Define cuadriláteros como polígonos de cuatro lados e introduce conceptos como cuadriláteros convexos y no convexos. Luego define y explica diferentes tipos de cuadriláteros como trapezoides, trapecios, paralelogramos y sus propiedades. Finalmente incluye ejemplos de problemas para practicar los conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría moderna como ángulos diedros, triedros, poliedros y poliedros regulares. Explica elementos como caras, aristas y vértices de los poliedros, así como la clasificación de poliedros según su número de caras y características. También presenta el teorema de Euler y resuelve ejercicios prácticos sobre poliedros regulares como el tetraedro, hexaedro y octaedro.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
1. ADMISIÓN 2011-II CUADRILÁTEROS
CEPRE-UNI GEOMETRÍA 1
GEOMETRÍA
CUADRILÁTEROS
DEFINICIÓN: Es un polígono de cuatro lados. Considerando su interior puede ser
convexo o no convexo.
Cuadrilátero convexo Cuadrilátero no convexo
DEFINICIONES: En todo cuadrilátero convexo se tiene
1. Dos lados de un cuadrilátero son opuestos, si no se intersecan.
2. Dos lados de un cuadrilátero son consecutivos, si tienen un extremo común.
3. Dos ángulos de un cuadrilátero son opuestos, si no tienen en común un lado del
cuadrilátero.
4. Dos ángulos de un cuadrilátero son consecutivos, si tienen común un lado del
cuadrilátero.
5. Una diagonal de un cuadrilátero es un segmento cuyos extremos son dos vértices no
consecutivos.
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS
De acuerdo al paralelismo de sus lados opuestos los cuadriláteros se clasifican en
trapezoides, trapecios y paralelogramos.
I. TRAPEZOIDE
Es un cuadrilátero que no tiene lados opuestos paralelos.
AB no es paralelo a CD
BC no es paralelo a AD
A D
B
C
D
B
A
C
A D
B
C
2. ADMISIÓN 2011-II CUADRILÁTEROS
CEPRE-UNI GEOMETRÍA 2
Trapezoide Simétrico: Llamado también trapezoide bisósceles, es aquel
trapezoide que tiene dos pares de lados consecutivos congruentes.
La diagonal AC es mediatriz de la diagonal BD.
y
II. TRAPECIO
Es un cuadrilátero que tiene un par de lados opuestos paralelos.
1. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio tal como BC y AD.
2. La altura del trapecio es el segmento perpendicular trazado desde un punto de
una base a la otra base tal como BH .
3. El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos del trapecio se
llama mediana tal como MN.
Clasificación
De acuerdo a la congruencia de sus lados opuestos no paralelos se clasifican en:
a) Trapecio escaleno
Es aquel trapecio cuyos lados opuestos no paralelos no son congruentes.
B C
A D
a ¹ q
a q
A D
a q
B C
M N
H
BC es paralelo a AD y
AB no es paralelo a CD
3. ADMISIÓN 2011-II CUADRILÁTEROS
CEPRE-UNI GEOMETRÍA 3
b) Trapecio isósceles
Es aquel trapecio cuyos lados opuestos no paralelos son congruentes.
OBSERVACIÓN
Un trapecio se llama trapecio rectángulo si uno de sus lados no paralelos es
perpendicular a las bases.
Teorema
La mediana de un trapecio es paralela a las bases y la longitud de la mediana es igual
a la semisuma de las longitudes de las bases.
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
mediana la MN
y DC AB trapecio el ABCD Sea
Hipótesis
) // (
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
+
=
2
// //
DC AB
MN
DC MN y AB MN
Tesis
A D
C B
B C
A D
a a
A B
D C
N M
A B
D C
N M
F
a
a
b
b
4. ADMISIÓN 2011-II CUADRILÁTEROS
CEPRE-UNI GEOMETRÍA 4
Demostración:
Afirmaciones Razones
1. Se prolongan AN y DC hasta que 1. Trazos auxiliares
se intersequen en el punto F.
2. BN CN@ 2. Por hipótesis
3. m BNA m CNFÐ = Ð = b 3. Ángulos opuestos por el vértice
4. a=Ð=Ð FCN m ABN m 4. Ángulos alternos internos
5. ABN FCND @ D 5. Postulado ALA
6. Luego: AN FN@ 6. Por ser lados correspondientes de
AB FC@ triángulos congruentes
7. En el ADF : MN // DFD 7. Porque MN une los puntos medios de
dos lados del triángulo
8. Por tanto: 8. Por ser DC una parte de DF y
AB MN y DC MN // // además; dos rectas paralelas a una
tercera recta son paralelas entre sí.
9. En el DAFD :
DF
MN
2
= 9. Porque: MN une los puntos medios
de dos lados del triángulo
10.
2 2
AB DC
MN
CF DC
MN
+
=
+
=Þ 10. Postulado de adición y sustitución.
Corolario
En un trapecio la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales
es igual a la semidiferencia de las longitudes de las bases.
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
AC y BD diagonales
las de medios puntos los une que segmento
el PQ y DC AB trapecio el ABCD Sea
Hipótesis
) // (
þ
ý
ü
î
í
ì -
=
2
AB DC
PQ Tesis
5. ADMISIÓN 2011-II CUADRILÁTEROS
CEPRE-UNI GEOMETRÍA 5
Demostración:
Afirmaciones Razones
1. En el ABDD : ( )AB
MP I
2
= 1. El segmento MP une los puntos
medios de los lados AD y BD .
2. En el ADCD : ) (
2
II
DC
MQ= 2. El segmento MQ une los puntos
medios de los lados AD y AC
3. De la figura: PQ = MQ – MP (III) 3. Por axioma de la sustracción
4. Reemplazando (I) y (II) en (III) 4. Axioma de la sustitución
2 2 2
AB DC
PQ
AB DC
PQ
-
=Þ-=
III. PARALELOGRAMO
Es aquel cuadrilátero que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos.
AD BC y DC AB // //
Clasificación
De acuerdo a la congruencia entre sus ángulos consecutivos y entre sus lados
consecutivos se clasifican en:
A D
B C
A B
D C
N M P Q
A B
D C
N M P Q
6. ADMISIÓN 2011-II CUADRILÁTEROS
CEPRE-UNI GEOMETRÍA 6
a) Rectángulo: Es un paralelogramo cuyos ángulos son congruentes y cuyos lados
consecutivos no son congruentes.
y
b) Rombo: Es un paralelogramo cuyos lados son congruentes y cuyos ángulos
consecutivos no son congruentes.
c) Cuadrado: Es un paralelogramo cuyos lados y ángulos son todos congruentes.
d) Romboide: Es aquel paralelogramo cuyos ángulos consecutivos y lados
consecutivos no son congruentes.
D
C B
A
B C
A D
C
B
D
A
7. ADMISIÓN 2011-II CUADRILÁTEROS
CEPRE-UNI GEOMETRÍA 7
TEOREMAS SOBRE PARALELOGRAMOS
Teorema
En un paralelogramo, dos lados opuestos y dos ángulos opuestos cualesquiera son
congruentes.
Sea el paralelogramo ABCD
Hipótesis
AB//DC AD//BC
ìï
í
Ùïî
þ
ý
ü
î
í
ì
Ð@ÐÐ@Ð
@@
CBA ADC y DCB BAD
BC AD y DC AB
Tesis
Demostración:
Afirmaciones Razones
1. Tracemos la diagonal BD 1. Trazo auxiliar
2. BD BD@ 2. Todo segmento es congruente a sí mismo
(propiedad reflexiva)
3. m BDC m DBAÐ = Ð = a 3. Ángulos alternos internos entre paralelas
m ADB m CBDÐ = Ð = b
4. Luego, BDA ADBCD @ D 4. Postulado ALA
5. Y por consiguiente 5. Por los elementos correspondientes
BC AD y DC AB @@ de triángulos congruentes
DCB BAD Ð@Ð
6. Finalmente: CBA ADC Ð@Ð 6. Postulado de la adición de ángulos.
Teorema recíproco
Si dos lados de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces el cuadrilátero es
un paralelogramo. (La demostración la dejamos como ejercicio para el lector).
D C
A B
D C
A B
b
b
a
a
8. ADMISIÓN 2011-II CUADRILÁTEROS
CEPRE-UNI GEOMETRÍA 8
Teorema
Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.
Sea un paralelogramo ABCD, cuyas
Hipótesis diagonales AC y BD se intersecan
en el punto O.
ì
ï
í
ï
î
Tesis: AO OC y BO OD@ @
Demostración:
Afirmaciones Razones
1. m CAD m BCAÐ = Ð = a 1. Por ser ángulos alternos internos
m CBD m BDAÐ = Ð = b
2. AD BC@ 2. Por teorema anterior
3. Luego, AOD COBD @ D 3. Postulado ALA
4. Y por consiguiente: 4. Por ser elementos correspondientes
AO CO y OD OB@ @ de triángulos congruentes
Teorema
Si ambos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el
cuadrilátero es un paralelogramo.
Teorema
El segmento entre los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer
lado y mide la mitad de su longitud.
A D
B C
O
A D
B C
b
b a
a
O
9. ADMISIÓN 2011-II CUADRILÁTEROS
CEPRE-UNI GEOMETRÍA 9
PROBLEMAS RESUELTOS – CUADRILÁTEROS
01. En el cuadrilátero ABCD mostrado, BM = MC, AD = 4AL, AD + 2AB = 18 m y
m BAC m CADÐ = Ð . Si m ACD 90Ð = , entonces la longitud de ML es
A) 3,5 cm
B) 4 cm
C) 4,5 cm
D) 5,5 cm
E) 6 cm
Solución:
Dato: 4 2m 18+ =l
2 m 9+ =l
* Se traza CP: Mediana relativa a la
hipotenusa en el triángulo rectángulo
ACD.
* AB // CP entonces ABCP es un
trapecio
ML : mediana entonces
2 m 9
ML
2 2
+
= =
l
ML = 4,5 cm
02. En un trapecio ABCD, BC // AD, BC < AD. Se ubica M punto medio de AB. Las
distancias de B y D a CA son 8 cm y 10 cm. Calcule la distancia del punto medio de
MD a AC.
A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) 7 cm
Solución:
*
BB'
MM' 4
2
= =
* Trapecio MD'DM'
10 4
x 3
2
-
= =
A
B M C
D
L
a
a
A
B M C
D
L
a
a
l l 2l P
2l
a
m
A
C
D
B
D '
B '
M'
4
8
10
x
M
Q
Q'
10. ADMISIÓN 2011-II CUADRILÁTEROS
CEPRE-UNI GEOMETRÍA 10
03. En un romboide ABCD se ubican los puntos medios M y N de los lados AD y BC , AC
intersecta a BM y DN en los puntos P y Q respectivamente. Si AQ = 12u, calcule la
longitud de QC.
APM CQND @ D
AP QCÞ =
PQT CQND @ D
AP QC
QC 6u
Þ =
Þ =
04. En un trapecio ABCD la base menor BC mide 2u, las diagonales son perpendiculares, y
estás miden 6 y 8u. Calcular la longitud de la base mayor.
2 x
5
2
+
=
x = 8u
05. ABCD es un trapecio, se trazan las diagonales AC y BD. La bisectriz del CADÐ
intersecta a BD en el punto E. Si m BCE 80Ð = , m EBD 20,Ð = AC AD@ y
BC + CD = 7u, calcular la longitud del segmento BD .
BD = BE + ED
EBCD es isósceles
y AE
suur
es mediatriz de CD.
EC ED
BD 7u
Þ =
Þ =
B C
A D
N M
8
6
5
4 3
x
2
B
20
A
D
C
E
A D
B C
P
Q
T
M
N
11. ADMISIÓN 2011-II CUADRILÁTEROS
CEPRE-UNI GEOMETRÍA 11
01. Dado un cuadrado ABCD, en BC y CD se ubican los puntos P y Q tal que
( )m CPQ 2 m BAPÐ = Ð . Calcule la m PAQÐ .
A) 30 B) 37 C) 45 D) 53 E) 60
Solución:
Se traza ^AH PQ
T. Bisectriz: AB=AH=a
Ð = Ð = am HAQ m BAH
Como AH=AD=a entonces uuur
AQ: bisectriz del ÐHAD
Luego x=a+q,
pero a+x+q=90Þx=45
02. En un romboide ABCD, M es punto medio de CD y en BM se ubica el punto P tal que
^PD AD. Calcule AP si BP=a y PM=b.
A) a+b B) 2a+b C) a+2b D) 2ab E) a2b
Solución:
D @ D Þ = = +
= =
DMQ CMB MQ BM a b
DQ BC n
T. Mediatriz: = +x a 2b
03. En un trapecio ABCD, de bases BCy AD, los ángulos A y D son complementarios,
AB=5 y CD=12. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y
BD.
Piden:
-
= K
AD BC
x (1)
2
Se traza ÞPC / /AB ABCD: romboide
AP=b y PC=5
DPCD :rectángulo Þ PD=13
En (1):
+ -
= Þ =
13 b b
x x 6,5
2
A D
C B
P
90q q
5 5
90q
12
13
b
b
A D
B P C
Q
aa
q
qx
a
a
a
2a
90a
90a
H
A D Q
B C
M
x
n
b
n
a
P
b
a+b
m
m
n
b a
a
q
q
12. ADMISIÓN 2011-II CUADRILÁTEROS
CEPRE-UNI GEOMETRÍA 12
PROBLEMAS PROPUESTOS – CUADRILÁTEROS
01. Indique el valor verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Todo paralelogramo equilátero
es un cuadrado.
II. Si las diagonales de un
cuadrilátero son perpendiculares
entre si, el cuadrilátero es un
rombo.
III. Si un paralelogramo es un
rectángulo, el rectángulo es un
paralelogramo.
A)Solo I y II B) Solo II y III
C)Solo I D) Solo III
E)I, II y III
02. Se tiene el trapecio ABCD, AB//CD,
en CD se ubica el punto medio F,
{ }AF BD EÇ = , además
{ }BC AF GÇ = . Si AE 4= , EF 3= .
Calcule FG
A) 21 B) 22
C) 23
D) 24 E) 28
03. En un paralelogramo ABCD,
AB a= , BC b= , sea M un punto de
AC, se trazan ME AB^ , MF AD^
(E ABÎ y F ADÎ ) siendo ME c= .
Halle: MF
A) ac
b
B) bc
a
C) ab
c
D) a b c
3
+ + E) 2 2 2
a b c+ -
04. Se tiene el cuadrado ABCD, se
ubica R punto medio de AD , AF es
perpendicular a ( )BR F BRÎ , calcule
la distancia del centro del cuadrado
al segmento BR.
A)
1
AF
3
B)
1
AF
4
C)
2
AF
3
D)
1
AF
2
E)
3
AF
4
05. En un trapecio ABCD, BC// AD,
BC AD< . Se ubica M punto medio
de AB. Las distancias de B y D a
CA son 8 y 10. Calcule la distancia
del punto medio de MD a AC.
A) 1 B) 2
C) 3
D) 4 E) 7
06. En un paralelogramo ABCD, por el
vértice A se traza una recta que
intersecta a la prolongación del lado
DC en el punto N. La altura DH
(H AB)Î del paralelogramo
intersecta a AN en el punto M. Si
m DANÐ = 2m BANÐ y BC 18 u= ,
entonces la longitud (en u) de MN
es
A) 18 B) 27
C) 36
D) 48 E) 56
07. Indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Si las diagonales de un
cuadrilátero convexo son
perpendiculares y congruentes,
entonces el cuadrilátero es un
cuadrado.
II. Si las diagonales de un trapecio
son congruentes, entonces el
trapecio es isósceles.
III. Si las diagonales de un
cuadrilátero se bisecan,
entonces el cuadrilátero es un
paralelogramo.
13. ADMISIÓN 2011-II CUADRILÁTEROS
CEPRE-UNI GEOMETRÍA 13
A) VVV B) VFV
C) FVF
D) FVV E) FFF
08. En un trapecio ABCD (AB//CD), las
bisectrices interiores de los ángulos
A y D se intersectan en el punto P y
las bisectrices interiores de los
ángulos C y B se intersectan en el
punto Q. Si AD BC 15 u+ = y
AB CD 12 u+ = , entonces la longitud
(en u) de PQ es:
A) 0,5 B) 1
C) 1,5
D) 2 E) 3
09. En un trapecio ABCD (AB / /CD), M
y N son puntos medios BD y AC.
Si AB CD+ = l , entonces la longitud
del segmento que une los puntos
medios de AM y BN es
A)
2
l
B)
3
l
C)
4
l
D)
5
l
E)
6
l
10. Indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Si los lados opuestos de un
cuadrilátero son congruentes,
entonces el cuadrilátero es un
paralelogramo.
II. Si las diagonales de un
cuadrilátero son perpendiculares y
congruentes, entonces el
cuadrilátero es un cuadrado.
III.Ningún polígono tiene 3 vértices
colineales.
A) FFF B) VFV
C) VFF
D) FVV E) VVV
11. En un triángulo ABC, sus lados
miden AB 13u= , BC=12u y AC=7u.
Desde el vértice B, se trazan las
perpendiculares BP y BQ a las
bisectrices de los ángulos BAC y
BCA, respectivamente. Entonces, la
longitud (en u) de PQ es
A) 8 B) 9
C) 10
D) 11 E) 12
12. Determine el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Un cuadrilátero convexo es un
trapecio isósceles si y solo sí sus
diagonales son congruentes.
II. Un cuadrilátero convexo no es
un paralelogramo si y solo sí sus
diagonales no se bisecan.
III. Un cuadrilátero convexo es un
trapezoide simétrico.
A) VVV B) FVV
C) FVF
D) VFV E) FFF
13. Indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Un trapezoide simétrico es un
polígono convexo.
II. Si las diagonales de un
cuadrilátero se bisecan,
entonces dicho cuadrilátero es
un paralelogramo.
III. Si en un trapezoide convexo se
unen los puntos medios de dos
lados opuestos con los puntos
medios de las diagonales, se
forma un paralelogramo.
IV. Al unir los puntos medios de los
cuatro lados de un trapecio
isósceles se forma un rombo.
A) FVFV B) VVVV
C) FVVV
D) FFVV E) VVFF
14. ADMISIÓN 2011-II CUADRILÁTEROS
CEPRE-UNI GEOMETRÍA 14
14. Dadas las siguientes proposiciones:
I. Un trapecio es inscriptible.
II. El cuadrilátero cuyos vértices
son 2 vértices de un triángulo y
los pies de las alturas trazadas
desde dichos vértices, es un
cuadrilátero inscriptible.
III. Si en una circunferencia se
trazan 2 cuerdas congruentes y
secantes, entonces los extremos
de dichas cuerdas son los
vértices de un trapecio isósceles.
Indique cuál (es) son verdaderas
A) I, II y III B) II y III
C) I y II
D) I y III E) Solo III
15. En las siguientes proposiciones
cuáles son verdaderas y/o falsos
I. Las diagonales del rombo son
bisectrices de sus ángulos.
II. Si las diagonales de un
cuadrilátero se bisecan el
cuadrilátero es un
paralelogramo.
III. La diagonal de un paralelogramo
lo divide en dos triángulos
congruentes.
IV. Las diagonales de un rectángulo
son congruentes.
A) VVVV B) VVVF
C) VVFF
D) VFFF E) FFFF
16. Indique el valor de verdad de:
I. Si en un cuadrilátero las
bisectrices de los ángulos
opuestos son paralelos,
entonces el cuadrilátero es un
paralelogramo.
II. En un trapecio una diagonal
puede bisecar a la otra diagonal.
III. Si en un polígono regular todas
sus diagonales son congruentes,
entonces el polígono es un
cuadrado.
A) FFF B) VVV
C) VFF
D) VFV E) FFV
Bibliografía
1. Encyclopedia Británica Inc., Benton, W., Publisher (1952). The thirteen Books of
Euclid’s elements. 1 st
edition. Editorial Encyclopedia Británica. The United States of
America.
2. Moise, E. (1964). Elementary Geometry. 1ª edición. Editorial Addison Wesley
publishing company Inc. The United States of America.
3. Helfgott, M. (1992). Geometría Plana. Editorial Escuela Activa S.A. Lima – Perú
4. Vega, F. (1961). Matemática Moderna 4. Editorial Colegio Militar Leoncio Prado.
Lima – Perú