Este documento presenta las ecuaciones reducidas y elementos característicos de las curvas cónicas elipse, hipérbola y parábola. Describe que las ecuaciones reducidas dependen de la posición de los focos y centro, y que los elementos característicos incluyen focos, centro, semiejes y excentricidad. También incluye ejemplos gráficos de cada curva cónica.
Calcular Puntos de Tangencia entre Rectas y una CircunferenciaJames Smith
Se combinan la geometría clásica y la analítica para simplificar el procedimiento. La fórmula que desarrollamos se compruueba al final mediante un ejemplo específico y numérico.
Calcular Puntos de Tangencia entre Rectas y una CircunferenciaJames Smith
Se combinan la geometría clásica y la analítica para simplificar el procedimiento. La fórmula que desarrollamos se compruueba al final mediante un ejemplo específico y numérico.
Presentación con las diferentes cónicas, incluyendo ejercicios. Circunferencias: ecuaciones, posiciones relativas, potencia de un punto, eje radical y centro radical; parábolas: ecuación, elementos, construcciones, aplicaciones; elipses: ecuación, elementos, construcciones, aplicaciones; hipérbolas: ecuación, elementos, construcciones, aplicaciones. Esferas de Dandelin.
Crónicas, ecuaciones paramétricas y Coordenadas polaresLuis Vargas
• Entender la definición de una sección cónica.
• Analizar y dar las ecuaciones de parábola utilizando las propiedades de la parábola.
• Analizar y dar las ecuaciones de la elipse utilizando las propiedades de la elipse.
• Analizar y dar las ecuaciones de la hipérbola utilizando las propiedades de la hipérbola.
• Trazar la gráfica de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas.
• Eliminar el parámetro en un conjunto de ecuaciones paramétricas.
• Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una curva.
• Entender dos problemas clásicos del cálculo, el problema tautocrona y el problema braquistocrona.
Cónicas, Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas PolaresYasimer Tovar
Para representar gráficamente una
ecuación en el sistema de coordenadas
polares, hay que trazar una curva en
torno a un punto fijo llamado polo.
Considérese una región limitada por
una curva y por los rayos que pasan
por los extremos de un intervalo de la
curva. Para aproximar el área de tales
regiones se usan sectores circulares.
En este trabajo, se verá cómo puede
emplearse el proceso de límite para
encontrar esta área.
Aquí unos apuntes de trigonometría (muy básicos) para 4º de la ESO y repaso en primero de Bachiller.
Erratas
página 3, al comienzo, dice :
tg(alfa)=1
debería decir
tg(alfa)=P1/P2
página 4
dice
observaciones para las razones de triángulos mayores
debería decir
observaciones para las razones de ángulos mayores
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
Recuerdo perfectamente la primera vez que oí hablar de las imágenes subliminales de los Testigos de Jehová. Fue en los primeros años del foro de religión “Yahoo respuestas” (que, por cierto, desapareció definitivamente el 30 de junio de 2021). El tema del debate era el “arte religioso”. Todos compartíamos nuestros puntos de vista sobre cuadros como “La Mona Lisa” o el arte apocalíptico de los adventistas, cuando repentinamente uno de los participantes dijo que en las publicaciones de los Testigos de Jehová se ocultaban imágenes subliminales demoniacas.
Lo que pasó después se halla plasmado en la presente obra.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
Elites municipales y propiedades rurales: algunos ejemplos en territorio vascónJavier Andreu
Material de apoyo a la conferencia pórtico de la XIX Semana Romana de Cascante celebrada en Cascante (Navarra), el 24 de junio de 2024 en el marco del ciclo de conferencias "De re rustica. El campo y la agricultura en época romana: poblamiento, producción, consumo"
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
Documento sobre las diferentes fuentes que han servido para transmitir la cultura griega, y que supone la primera parte del tema 4 de "Descubriendo nuestras raíces clásicas", optativa de bachillerato en la Comunitat Valenciana.
1. Curvas cónicas. Elementos
característicos y ecuaciones reducidas
( y−k) = 2 p(x−h)
2
( y−k)
2
= 2 p(x−h)
(x−h)
2
a
2
+
( y−k)
2
b
2
= 1
(x−h)
2
b
2
+
( y−k)
2
a
2
= 1
(x−h)2
a2
−
( y−k)2
b2
= 1
( y−k)
2
b
2
−
(x−h)
2
a
2
= 1
2. Introducción
En estas diapositivas repasaremos las
ecuaciones reducidas de las cónicas curvas
cónicas elipse, hipérbola y parábola y veremos
un ejemplo gráfico de cada una.
Al ser una diapositiva pensada para el repaso
de solo los temas citados antes, el lector
deberá saber los conceptos relativos a
definición, posición de los focos y elementos
característicos de una curva cónica para
entenderla en su totalidad.
3. Elipse
Recordemos que la elipse es el lugar
geométricos de todos los puntos que distan lo
mismo a dos puntos denominados focos. Esta
distancia es una constante igual al valor del eje
mayor.
Los elementos característicos de la elipse son
el centro, los focos, el semieje menor, el
semieje mayor, la semidistancia focal y la
excentricidad.
4. Elementos característicos de la
elipse
● Focos ( se suelen representar por F y F')
● Centro (se suele representar (h,k); si es
(0,0) decimos que la elipse está centrada
en el origen de coordenadas).
● Semieje mayor (a)
● Semieje menor (b)
● Semidistancia focal (c)
● Excentricidad (exc)
5. Ecuación reducida de la elipse con
focos en el eje OX
(x−h)2
a
2
+
( y−k)2
b
2
= 1
Recordemos que a2
=b2
+c2
y la exc=c/a. Estas
expresiones será muy útil cuando nos falte el
valor de algún característico que defina la curva
cónica en nuestra ecuación reducida.
7. Ecuación reducida de la elipse con
focos en el eje OY
(x−h)2
b
2
+
( y−k)2
a
2
= 1
Aquí también se cumple que a2
=b2
+c2
pero se
define la excentricidad como exc=a/c. Este
cambio provoca el intercambio de los término a
y b con respecto la expresión anterior.
9. Hipérbola
Recordemos que la hipérbola es el lugar
geométrico de todos los puntos tal que su
distancia a uno de los focos menos la distancia
del punto al otro foco es una constante igual al
valor del eje mayor.
Los elementos característicos de la hipérbola
son el centro, los focos, el semieje menor, el
semieje mayor, la semidistancia focal y la
excentricidad.
10. Elementos característicos de la
hipérbola
● Focos ( se suelen representar por F y F')
● Centro (se suele representar (h,k); si es
(0,0) decimos que la hipérbola está
centrada en el origen de coordenadas).
● Semieje mayor (a)
● Semieje menor (b)
● Semidistancia focal (c)
● Excentricidad (exc)
11. Ecuación reducida de la hipérbola
con focos en el eje OX
(x−h)2
a
2
−
( y−k)2
b
2
= 1
Recordemos que c2
=a2
+b2
. Además exc=c/a,
siendo un valor mayor que 1.
Ojo con el signo del segundo término de la
suma del miembro izquierdo de la expresión;
en una hipérbola siempre tendremos una
resta y en una elipse una suma.
13. Ecuación reducida de la hipérbola
con focos en el eje OY
( y−k)2
b2
−
(x−h)2
a2
= 1
Aquí se sigue cumpliendo la relación c2
=a2
+b2
y
lo que comentamos sobre el signo menos del
miembro izquierdo de la expresión y la
expresión. Ojo con el signo de esta expresión,
es lo que le diferencia de la ecuación reducida
de la elipse.
15. Parábola
Definimos la parábola como el lugar geométrico
de todos los puntos tales que distan lo mismo
de un punto denominado foco que a una recta,
la cual llamamos recta directriz.
Los elementos característicos de una parábola
son el foco, la recta directriz, la distancia entre
el foco y la directriz y el vértice de la parábola.
16. Elementos de la parábola
● Foco (se suelen representar por F )
● Centro (se suele representar (h,k); si es
(0,0) decimos que la parábola está
centrada en el origen de coordenadas).
● Vértice (V)
● distancia foco-directriz (2p)
● Excentricidad (exc)
17. Ecuación reducida de la parábola
con foco en el eje OX
( y−k)2
= 2 p(x−h)
En algunos textos se llama p a la distancia que
existe entre el foco de una parábola y su
recta directriz. Nosotros nos hemos decantado
por la distancia del foco al vértice (y por lo
tanto, la distancia del vértice a la directriz),
que suele ser la más usual.
19. Ecuación reducida de la parábola
con foco en el eje OY
( y−k) = 2 p(x−h)2
En algunos textos se llama p a la distancia
que existe entre el foco de una parábola y
su recta directriz. Nosotros nos hemos
decantado por la distancia del foco al vértice
(y por lo tanto, la distancia del vértice a la
directriz), que suele ser la más usual.