El documento habla sobre expresiones algebraicas, definidas como combinaciones de letras y números que representan cantidades desconocidas. Explica conceptos como términos, coeficientes, monomios, polinomios, igualdades y evaluación de expresiones. También incluye ejemplos de expresiones usadas en geometría para calcular áreas, volúmenes y longitudes.

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Unidad 7.3: Expresiones algebraicas
Tema 1: Expresiones algebraicas
Lección 1.1: Evaluación de expresiones algebraicas
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o
más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables,
incógnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresión
algebraica es una combinación de letras y números. Las expresiones algebraicas
nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.
Definición de expresión algebraica
Una expresión algebraica, en una o más variables (letras), es una combinación
cualquiera de estas variables y de números, mediante una cantidad determinada
de operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación o
radicación. Ejemplos:
 
 
 
 
3 2
2
3
5x y 8
2x y 4 4a 5a b
x 2y 2y
Aquí hay más ejemplos de expresiones algebraicas usadas en geometría:
 Longitud de la circunferencia  L 2 r , donde r es el radio de la
circunferencia.
 Área del cuadrado  2
A L , donde L es el lado del cuadrado.
 Volumen del cubo  3
V a , donde a es la arista del cubo.
Observaciones:

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1) La notación 3x significa 3 · x. En general, se aclara el signo de la
multiplicación cuando se expresa el producto entre números, como por
ejemplo 4 · 3
2) Las expresiones algebraicas aparecen en diversos campos: geometría,
física, economía, etc. Por ejemplo:
 El área de un círculo en términos de su radio r 
2
A r 
 La fórmula de interés simple en términos de la cantidad inicial C, la
tasa de interés i y del tiempo t  I = C ∙ i ∙ t
Terminología algebraica
Variables: En una expresión algebraica las variables están representadas por
letras que pueden asumir cualquier valor numérico dentro de un conjunto. En
este curso se trabajará principalmente con el conjunto de los números
racionales.
Término: Es cada sumando, o cada parte, en una expresión algebraica, separada
por los signos de suma (+) o resta (−). Por ejemplo:
2
3x 5x 6   Términos: 2
3x , 5x , 6
Coeficiente: Cada término consta de un factor numérico y otro literal. El factor
numérico de un término se denomina coeficiente numérico o simplemente
coeficiente. Por ejemplo:
5
5
Factor o parte literal
Factor o coeficiente numérico
x y
x y2
2
 

 
  


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Identidades o igualdades: Son expresiones equivalentes o que poseen el mismo
valor. Pueden ser numéricas o algebraicas:
 Igualdad numérica: 3 5 4 2  
 Igualdad algebraica: y 1 2x 5  
Ecuaciones: Las ecuaciones son identidades con una o más variables que actúan
como incógnitas. La igualdad en una ecuación es válida o se verifica para los
valores que asumen las letras. Ejemplos:
Identidad numérica   2 3 5 2 8  
Identidad algebraica o ecuación  x 10 15 
En la ecuación anterior, la igualdad se verifica cuando la variable x asume el
valor de 5, porque 5 + 10 = 15.
Desigualdades: son relaciones de orden entre dos o más números o variables. Se
simbolizan de la siguiente forma:
 a b  a es mayor que b
 a b  a es mayor o igual que b
 a b  a es menor que b
 a b  a es menor o igual que b
Pueden ser numéricas o algebraicas:
 Desigualdad numérica: 10 25 
 Desigualdad algebraica: y 1 5 

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Miembros y términos en una igualdad: los miembros son todos los términos a
cada lado de una igualdad o desigualdad. Ejemplo en la siguiente ecuación con
dos variables:
xxy y6 22 4 
 Términos: 2xy, 6, -4x, 2y
 Primer miembro o miembro a la izquierda de la igualdad: 2xy 6
 Segundo miembro o miembro a la derecha del igual: 4x 2y 
Representación de una expresión algebraica:
Una expresión algebraica se puede representar en forma explícita nombrando al
conjunto de números y letras, usando por lo general letras mayúsculas de
imprenta. Por ejemplo a la expresión:
2
3xy 6x
Se la puede representar de la siguiente forma:
  2
A x,y 3xy 6x 
La letra A representa la expresión algebraica y se verá más adelante que recibe
el nombre de variable dependiente (en este caso de x e y).
Entre paréntesis se informa las variables (independientes) de la expresión
algebraica dada. Se suele leer de la siguiente manera:
La expresión A en relación a las variables x e y (A de x e y):
  2
A x,y 3xy 6x 

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La escritura anterior permite diferenciar el caso que una expresión algebraica
tenga letras que no son variables. Por ejemplo en la expresión:
  2
P x 2x 8x c  
La variable está informada siempre entre paréntesis, en este ejemplo la variable
es la letra x.
Todas las letras que no son variables se llaman constantes, en la expresión
  2
P x 2x 8x c   la constante es la letra c.
Términos semejantes:
Son los términos que tienen el mismo factor literal (se diferencian sólo en su
coeficiente numérico). Por ejemplo, en la siguiente expresión de 4 términos:
  2 2
5xy 3xy 2xy 7
 El coeficiente numérico del término 2
5xy es 5.
 Los términos 2
5xy y 2
2xy son semejantes porque poseen la misma
parte literal.
Monomios y polinomios
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que
aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
Por ejemplo 4
6xy .
Los polinomios son un tipo de expresión algebraica muy importantes donde las
letras están afectadas únicamente de multiplicación y potencia con exponente
natural (entero positivo).

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Los polinomios que constan de un solo término se llaman monomios, con dos
términos se llaman binomios, etc.
Veamos los siguientes ejemplos:
Tipos de expresiones algebraicas según el número de
términos que la forman
Ejemplos
Monomios: formadas por 1 término 6x
Binomios: están formadas por 2 términos. 2
3x 6
Trinomios: formadas por 3 términos.  2
x 4x 4
Polinomios: formados por más de 3 términos.   3 2
5y 2y 3y 5
Las siguientes expresiones algebraicas no se consideran polinomios:

  5 34
2x 3 x 6y 5x 6x
x
Las expresiones algebraicas 8x3
, 2x4
y 3x que están formadas por el producto de
un número y una letra con exponete entero positivo reciben el nombre de
monomios.
Un monomio está formado por un coeficiente y una parte literal.
Observa: Parte literal
Monomio Coeficiente Parte literal
3
8x 8 3
x
4
2x 2 4
x
3x 3 x
6
7x








6
Parte litera
Coeficiente
Gr
x
7
l
ado 6

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Si un monomio está formado por una única letra su coeficiente es 1. El
coeficiente de x7
es 1.
El grado de un monomio es el exponente de la letra. El grado de 8x3
es 3, el de
2x4
es 4 y el de 3x es 1.
Si el monomio tiene más de una letra, su grado es la suma de los exponentes de
todas las letras que lo forman. Por ejemplo:
2 3
5x y  Grado = 2 + 3 = 5
El grado de un polinomio o una expresión algebraica está representado por el
término de mayor grado. Por ejemplo:
 4 22 3
4x2 y 5xyx  Grado del polinomio = 2 + 3 = 5
Evaluación de una expresión algebraica
Cuando se sustituye por números cada una de las variables de una expresión
(para los cuales está definida) y se realizan los cálculos, el número que se
obtiene es el valor de la expresión para dichos reemplazos.
Veamos algunos ejemplos sencillos en geometría:
Ejemplo 1: longitud de una circunferencia de radio igual a 5 cm.
 L 2 r r 5cm L 2 5cm L 10 cm         
Ejemplo 2: área de cuadrado de 5 cm de lado.
 
22 2
A L L 5cm A 5cm A 25 cm      
Ejemplo 3: volumen de un cubo con 5 cm de arista.
 
33 3
V a a 5cm V 5cm V 125 cm      

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Evaluar una expresión algebraica también se conoce como hallar el valor
numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor de las letras.
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al
sustituir las letras por ciertos valores y resolver siguiendo el orden y la jerarquía
de las operaciones.
Repasemos el orden de las operaciones:
Recordar las siguientes ideas simples:
 Siempre se resuelve cada término de adentro hacia afuera, desde lo más
interno hacia lo más externo.
 Siempre se resuelve de izquierda a derecha.
El resumen de los pasos es:
1) Resolver primero todo lo que esté dentro de paréntesis.
2) Luego las potencias y las raíces.
3) Después las multiplicaciones y divisiones.
4) Y por último, resolver las sumas y restas.
Ejemplos para ver el orden de las operaciones:
1) Evaluar    
2 3 2
2x 3y 4x 5xy para x = -2, y = 3:
Reemplazar las letras por los valores dados:
                      
22 3 23 2
2x 3y 4x 5xy 2 2 3 3 4 2 5 2 3
Se resuelven las multiplicaciones dentro del paréntesis y las potencias:
                              
2 3 2 2
2 2 3 3 4 2 5 2 3 4 9 4 8 5 2 9

9. |9|
Se calcula la resta dentro del paréntesis:
                        
2 2
4 9 4 8 5 2 9 13 4 8 5 2 9
Ahora se simplifica la potencia del primer término y las multiplicaciones
en los otros términos:
             
2
13 4 8 5 2 9 169 32 90
Se halla el resultado final resolviendo las sumas y resta:
    169 32 90 201 90 111
2) Evaluar


2 3
4
ab 3a b
a b
para a = 4 y b = -1:
Se reemplazan los valores de las letras usando paréntesis:
     
 
        

  
2 3
2 3
44
4 1 3 4 1a b 3 a b
a b 4 1
Se resuelve primero lo que está dentro de los paréntesis, las potencias y
raíces:
     
 
           

 
2 3
4
4 1 3 4 1 4 1 3 64 1
2 14 1
Se resuelven las multiplicaciones dentro de cada término:
      

 
4 1 3 64 1 4 192
2 1 2 1
Se calculan ahora las sumas en el numerador y denominador:



4 192 196
2 1 3

10. |10|
Se trata de simplificar la fracción resultante o resolver la división, si es
posible, en forma exacta. En este ejemplo la fracción es irreducible, por
lo tanto el valor numérico de la expresión dada es:



4 192
2 1
196
3
3) Evaluar
2
x y
x
para x = 0, y = 4
Al sustituir queda
2
0 4
0
que representa una división que no se puede
resolver, la división entre cero no está definida. Por lo tanto la evaluación
no existe y se representa de la siguiente manera:

 
2
x y
(no existe)
x
4) Evaluar la expresión


3
2
a a 3x
4x
para a = -8 y x = 4:
Se reemplaza y resuelven potencias y raíces:
 
        
    
33
2 2
8 3 4 2 3 4a a 3x 8 8
4 4 16 4x 4
Ahora se simplifica el primer término y la multiplicación en el numerador
del segundo término:
    
   
2 3 48 1 2 12
16 4 2 4
Luego se procede a simplificar el segundo término:

11. |11|
 
       
1 2 12 1 10 1 5
2 4 2 4 2 2
Por último se suma repitiendo el signo y simplifica la fracción obtenida:
     
1 5 6
2 2 2
3
5) Hallar el valor de  
2
3
3m p
m
p
para m = -3 y p = -2:
 
   
 

     
          

      

2
22
3 3
3 3 23m p 1 9 2
m 3
3 8p 2
1 7 1 7 8 63
9 8 9 8 72 72
71
72
Traducir frases lingüísticas
El álgebra es una herramienta que permite manejar relaciones numéricas en las
que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman
variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada a través
de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y
radicación. Las expresiones algebraicas permiten, por ejemplo, hallar áreas y
volúmenes.

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Expresiones algebraicas comunes llamando con la letra x a un número o
cantidad desconocida:
Frase
Expresiones simbólicas o algebraicas
equivalentes
El doble o duplo de un número 2x
El triple de un número 3x
El cuádruplo de un número 4x
La mitad de un número x 2 ,
x
2
,
1
x
2
Un tercio de un número o la
tercera parte de un número
x 3 ,
x
3
,
1
x
3
Un cuarto de un número o la
cuarta parte de un número
x 4 ,
x
4
,
1
x
4
Un número es proporcional a 2, 3,
4...
2x , 3x , 4x , …
Un número al cuadrado o el
cuadrado de un número
2
x
Un número al cubo o el cubo de
un número
3
x
Un número par 2x
Un número impar 2x 1
Dos números consecutivos x , x 1
Dos números consecutivos pares 2x , 2x 2
Dos números consecutivos
impares
2x 1 , 2x 3
Descomponer 24 en dos partes x , 24 x
La suma de dos números es 24 x , 24 x
La diferencia de dos números es
24
x , 24 x

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El producto de dos números es 24 x ,
24
x
El cociente de dos números es 24 x , 24x
Una variable es un símbolo que representa una o más números. Una expresión
algebraica es una frase matemática que usa números, variables y símbolos de
operaciones.
Puedes convertir expresiones algebraicas en frases con palabras.
Expresión algebraica Frases con palabras
x 3  3 más que un número
 Un número aumentado en 3 unidades
k 8 ó
k
8
 El cociente de un número y 8
 La octava parte de k
z 15  Un número disminuido en 15 unidades
 15 restado de un número
6 y ó 6y  6 veces un número
 El producto de 6 y un número

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Referencias:
David Joyner y George Nakos. Álgebra Lineal con Aplicaciones
hard Hill. Álgebra Lineal Elemental con Aplicaciones
Enlaces sugeridos:
http://figurethis.org/espanol.htm
http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html
http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/