CIRCUNFERENCIA

1 “Buenas estudiantes hoy, excelentes mujeres mañana”
Con la luz del pasado, ilumina el presente y agradece a Jesús
MATEMÁTICA
Quinto año de Secundaria
Docente: Elisban J. Vivanco Gonzales.
07 al 18 de agosto del 2017
VITAPREM N°01
Estudiante: ________________________________________________________ Asignatura: GEOMETRIA
Campo Temático: circunferencia Bimestre III Unidad: III
Situación de aprendizaje
Un ingeniero civil necesita conocer las posiciones de ciertas
bancas, que se encuentran ubicadas en la Plazuela Elías Aguirre.
Para esto ubica un teodolito en el centro de la plaza y se observa
que el ángulo que origina la banca C respecto a A, es 150°; el
ángulo originado por la banca B respecto a D es 130°, y el ángulo
originado por D respecto a A es 150° (todos en sentido horario).
Indique cual es e ángulo originado por B respecto a C
Circunferencia
Es el lugar geométrico formado por el conjunto de puntos
equidistantes de un punto fijo denominado centro.
Elementos:
O : Centro
W : Punto Aferente
OA : Radio
MN : Cuerda
AB : Diámetro o Cuerda Mayor
FH : Flecha o Sagita
LT : Recta Tangente
P : Punto de tangencia
LS : Recta Secante
X, Y : Puntos Secantes
LN : Recta Normal
MHN : Arco de Circunferencia
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
COPLANARES
I. Circunferencias exteriores:
1 2O O R r 
II. Circunferencias tangentes exteriores
1 2O O R r 
III. Circunferencias tangentes interiores
1 2O O R r 
IV. Circunferencias secantes
1 2R r O O R r   
Competencia Capacidad Desempeño Precisado
Piensa y actúa matemáticamente en situaciones de
forma, movimiento y localización
Matematiza situaciones
Representa relaciones entre características de
la circunferencia mediante un organizador
visual
P
X
Y SL
TL
A
O
W
B
M N
H
F
NL
2O
rR
1O
1O 2O
R r
R
r T
2O1O
R
r
1O 2O

MATEMÁTICA
V. Circunferencias Concéntricas
La distancia entre los centros es cero.
Observación:
- Si dos circunferencias son tangentes, ya sean interiores o
exteriores, la recta que pasa por los centros, pasa también
por el punto de tangencia de ambas circunferencias.
RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES
AB CD
DOS TANGENTES COMUNES INTERIORES Y UN EXTERIOR
a b
RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES
AD CB
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1. Ángulo central:
AB 
2. Ángulo inscrito:
AB
2
 
3. Ángulo interior:
AB CD
2



4. Ángulo exterior:
AB CD
2



5. Ángulo semi–inscrito:
Formado por una cuerda y una tangente.
AB
2
 
6. Ángulo ex–inscrito:
Formado por una cuerda y una secante.
AC BC
2



PRINCIPALES TEOREMAS
TEOREMA DEL RADIO Y LA TANGENTE (radio  tangente)
Todo radio que llega al punto de tangencia es perpendicular
(90º) a la tangente en dicho punto.
TEOREMA DE LAS DOS TANGENTES
Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una
misma circunferencia, los segmentos de tangente son
congruentes.
AB BC
Además:
180   
r
A
B
C

O
r
R
A
BC
D
a b
A
B
C D
A
B
r
r

B
A


A
B
C
D

A
B
C
D

A
B
A
B
C


MATEMÁTICA
TEOREMA DE PONCELET
En todo triángulo rectángulo: (catetos: a, b) (hipotenusa: c),
donde “r” es el inradio o radio de la circunferencia inscrita.
Se cumple que:
b c a 2r 2(R r)    
TEOREMA DE PITOT:
Se da en todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia
a c b d  
TEOREMA DE STEINER:
a c d b  
Otras propiedades:
* En una misma circunferencia o en dos circunferencias
congruentes, a arcos congruentes corresponden cuerdas
congruentes y viceversa.
Si el arco AB es igual al arco CD entonces:
AB = CD
* En una misma circunferencia, los arcos correspondientes
entre dos cuerdas paralelas son congruentes.
Si MN//AB, entonces los arcos AM y NB son iguales.
Más propiedades:
 
Si: OM ON
AB CD

 
1. Si las circunferencias son congruentes
ACD ADB
Consecuencia:
1 2AO B AO B 120º 
Observación:
AB // CD
* Si son tangentes exteriores
x y
m APB
2


x y z 180º  
Si: “R” es punto de tangencia
x y


A
B
C
D
M
N
O
a b
cd
A
B
C D
r r
A
B
1O 2O
rr
A
B
C
D
A
B
P
x
y
x
y
z
A
B
x
y
R
a
b c
r
R
a
b
c
d
A
B
C
D
M N
A B

MATEMÁTICA
Si: “T” es punto de tangencia
AB //CD
Si: “T” es punto de tangencia
a b
ARCO CAPAZ
El arco capaz de un ángulo dado, es un arco de circunferencia,
de modo que todos los ángulos inscritos en dicho arco son
congruentes al ángulo dado.
Sea la medida del ángulo MBC  , el ángulo dado: MN
2
 
por ser ángulo inscrito.
Tomando los puntos A, C sobre el arco MBN, por ángulos
inscritos:
Medida del ángulo: MN
A
2
 
Medida del ángulo: MN
C
2
 
Observación:
La semicircunferencia es el arco capaz de los ángulos que miden
90º.
TRIÁNGULO ÓRTICO O PEDAL
Si en un triángulo acutángulo se unen los pies de las alturas, se
determina el triángulo órtico o triángulo pedal mientras que al
triángulo acutángulo dado se le llamará triángulo antiórtico.
Propiedades:
1. El Ortocentro del triángulo antiórtico es el Incentro
del triángulo Pedal.
2. Cada vértice del triángulo antiórtico es Excentro del
triángulo Pedal.
3. Las distancias de los vértices del triángulo antiórtico a los
lados del triángulo Pedal, son exradios de éste.
TRIÁNGULO MEDIANO Ó COMPLEMENTARIO
Es aquel triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los
lados de un triángulo al cual se le denomina triángulo
anticomplementario.
PROPIEDADES:
1. El baricentro del triángulo anticomplementario es también
baricentro del triángulo mediano, en la figura es el punto
“G”.
2. Al trazar las mediatrices del triángulo anticomplementario,
en el triángulo mediano se determinan alturas. Entonces el
circuncentro del triángulo anticomplementario es
ortocentro del triángulo mediano.
RECTA DE EULER
En todo triángulo, el ortocentro, el baricentro y el circuncentro
pertenecen a una recta llamada Recta de Euler. A partir de esta
condición se puede demostrar los siguientes teoremas:
 La distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble de
la distancia del baricentro al circuncentro (O).
HG 2(OG)
 La distancia del ortocentro (H) a un vértice es el doble de la
distancia del circuncentro (O) al lado opuesto al vértice
mencionado.
HB 2(OP)
A
B
C
P
Q
R
T
a
b
A
B C
D
T
A
B C
M
N

 
2
G
A
B
C
A C
B Recta de Euler
O
G
H
P

MATEMÁTICA
I
O
E
Q
H
T
P
O BA H
M
Situación de Aprendizaje:
Estrategias de solución:
 Lea e interprete adecuadamente el enunciado del problema.
 Elabore un gráfico indicando en el los datos reconocidos del enunciado.
 Centralice su trabajo en las propiedades de los poliedros.
Aplico lo aprendido
1. El diámetro AB de una semicircunferencia se prolonga una
longitud BC = AB = x. Si se traza la tangente CD. Halle cuanto
mide BD. (CPUFAC – III/2017 - II)
a) 𝑥√2 b)
𝑥√2
2
c)
𝑥
√3
d)
𝑥
3√2
e) 𝑥√3
2. En la clase de geometría, el profesor pide a los estudiantes
enunciar las propiedades correctas de una circunferencia:
I. Miguel afirma “Dos rectas tangentes exteriores
comunes a dos circunferencias son congruentes”
II. Angel muy seguro expresa “Si por un punto
exterior de una circunferencia se trazan dos
tangentes, entonces la bisectriz del ángulo
formado por estas pasa por el centro de la
circunferencia”
III. Magaly sostiene “Si en una circunferencia se traza
una cuerda perpendicular a su diámetro,
entonces esta se triseca”
IV. Marcelo enuncia “Si se intersectan dos
circunferencias congruentes, los arcos de
intersección son congruentes”
V. Raúl dice “En todo cuadrilátero inscrito en una
circunferencia los ángulos opuestos son
suplementarios ”
Indique cual es el estudiante que está equivocado (CPUFAC –
II/2017 - II)
a) Magaly b) Marcelo c) Raúl
d) Miguel e) Ángel
3. Calcular la longitud de OHT, siendo PT = 4cm tangente a la
circunferencia de centro O e igual a su diámetro y E punto
medio de HI según la figura adjunta. (UNPRG/2017 - I)
a) 1,6 cm
b) 1,2 cm
c) 2 cm
d) 1,5 cm
e) 0,8 cm
4. En la semicircunferencia de centro “O” se tiene que OB =
2AH = 10. Calcular la longitud MH. (UNPRG - EXON/2017 -
I)
a) 5√2
b) 3√5
c) 5√3
d) 4√3
e) 2√5
Competencia Capacidad Desempeño Precisado
Piensa y actúa matemáticamente en situaciones de
forma, movimiento y localización
 Elabora y usa
estrategias
 Combina y adapta estrategias heurísticas, recursos y
procedimientos más convenientes para determinar
ejercicios y / o problemas de la circunferencia.
Un conductor estaba cambiando un neumático, cuando sus cuatro tuercas cayeron a una
alcantarilla. Era prácticamente imposible recuperarlas, por lo que el hombre temía que fuera a
quedarse tirado bastante tiempo en aquella cuneta.
Sin embargo, un niño que pasó a su lado con una bicicleta le dio la solución y el hombre fue capaz
de poner el neumático nuevo y conducir seguro hasta la gasolinera más cercana. ¿Podríais adivinar
qué fue lo que le dijo el niño?

MATEMÁTICA
ϴ
O
C
B
AQ
L
E
70° x
B C
A D
5. Los radios de dos circunferencias secantes miden 6 y 8 u.
las tangentes de ambas circunferencias en uno de los
puntos de contacto son perpendiculares entre sí. Halle la
distancia entre los centros. (CPUFAC – III/2017 - I)
a) 10 b) 12 c) 7 d) 6 e) 8
6. Los diámetros de dos circunferencias situadas en un mismo
plano están en la relación de 5 a 3 y la distancia entre sus
centros es como 1. Tales circunferencias son: (CPUFAC –
II/2017 - I)
a) Exteriores b) Interiores c) Secantes
d) Tangentes Interiores e) Tangentes Exteriores
7. En la gráfica el <OBA mide ϴ. Determine el valor del angulo
GEC, si EC es tangente a la circunferencia en C y A es un
punto entre O y E (CPUFAC – I/2017 - I)
a) 5ϴ
b) 2ϴ
c) 3ϴ/5
d) ϴ
e) 3ϴ
8. El valor de la siguiente figura es (UNPRG EGR – 5TO /2017 -
I)
a) 100°
b) 110°
c) 105°
d) 70°
e) 80°
9) Una circunferencia está inscrita en un triángulo rectángulo
de lado 15cm, 20cm y 25cm. Determine la longitud de una
cuerda de la circunferencia que dista 2m del centro de dicha
circunferencia. . (UNPRG/ 2016 - II)
a) 2√22
b) 2√23
c) 2√21
d) 2√17
e) 2√15
10) Se tiene 2 circunferencias tangentes exteriores en el punto P. Se
traza una recta tangente a ambas circunferencias en los puntos
A y B. Halle la medida del ángulo APB. (UNPRG/ 2016 - I)
a) 90° b) 45° c) 100° d) 60° e) 30°
11) Hallar AP. Si : BT = 6u. (CPUFAC-I/ 2013 - I)
a) 10
b) 12
c) 8
d) 9
e) 7
12) En una circunferencia su longitud es numéricamente igual al
doble del área del circulo que encierra dicha circunferencia hallar
el radio de la circunferencia. (UNPRG - EX/ 2016 – I)
a) 2 b) 4 c) 1 d) 6 e) 3
13) En la figura mostrada calcular el radio de la enésima
semicircunferencia si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide L.
(CPUFAC - III/ 2016 – I)
A)
𝐿
2𝑛(𝑛+1)
B)
𝐿
2𝑛(𝑛−1)
C)
𝐿
(𝑛+1)2
D)
𝐿
𝑛
E)
𝐿
𝑛2
14) Dada una circunferencia C1 de radio 1 se traza una circunferencia
C2 tangente interior a C1. Luego se traza una circunferencia C3
tangente interior a C2 y pasando por el centro C2. Continuando
este mismo proceso indefinidamente. Halle la suma de las
longitudes de todas las circunferencias. (CPUFAC - III/ 2016 – I)
a) 4 b)
𝜋
6
c)
4𝜋
3
d)
2𝜋
3
e) 5
15) Siendo: P, Q y T puntos de tangencia; AB = 23u y BQ = 14u. Hallar
AP. (UNPRG/ 2012 - II)
a) 8u
b) 7u
c) 6u
d) 9u
e) 10u
16) Si: T es punto de tangencia y
TP = r. Hallar xº. (CPUFAC - II/ 2006 – I)
a) 120°
b) 135°
c) 150°
d) 127°
e) 143°
17) Dada una circunferencia C1 de radio “r” se traza una
circunferencia C2 tangente interior a C1. Luego se traza una
circunferencia C3 tangente interior a C2 y pasando por el centro
C2. Continuando este mismo proceso indefinidamente. Halle la
suma de las longitudes de todas las circunferencias. (CPUFAC -
II/ 2016 – I)
a) r b) 2r c) r / 2 d) 3r e) r2

MATEMÁTICA
r
a
3a
Cn
r r
A
B
B
A
C
E
D
M N
E
A
C
F
BT
r
A
B
CTQ
18) En la siguiente figura, el radio de la circunferencia es: (CPUFAC -
II/ 2016 – I)
a) 5a
b) a/2
c) 3a/2
d) 5a/2
e) 3a
19) En una circunferencia de 26 cm de diámetro. Calcule la medida
de una flecha que corresponde a una cuerda de 24cm. (UNPRG/
2010 - I)
a) 2 b) 4 c) 8 d) 13 e) 5
20) En una circunferencia de 26cm de diámetro calcule la longitud
de la cuerda que limita un arco de 60° (CPUFAC-III/ 2012 - III)
a) 9 b) 5 c) 1 d) 13 e) 3
21) En la siguiente figura: A,B y C, son circunferencias tangentes
entre si y tangentes a L. C2 es tangente a A,B y C y así
sucesivamente. Entonces el radio de la circunferencia Cn es:
(CPUFAC - II/ 2016 – I)
a)
𝑛𝑟
𝑛+1
b)
𝑟
𝑛+1
c)
𝑟
2𝑛(𝑛+1)
d)
2𝑟
𝑛
e)
𝑟
(𝑛+1)2
22) Hallar la 𝑚𝐵𝐶̂ , si “T” es un punto de tangencia.
a) 45°
b) 30°
c) 15°
d) 60°
e) 53°
23) Se tiene un hexágono regular inscrito en una circunferencia de
radio “R”. expresar la apotema (Ap) del hexágono en función de
R. (CPUFAC - I/ 2016 – I)
a)
2
√3
𝑅 b)
1
√3
𝑅 c)
2
3
𝑅 d)
√3
2
𝑅 e)
3
5
𝑅
24) En la figura se muestran 2 circunferencias congruentes. Si 𝐶𝐷̂
mide 164° hallar la medida del ángulo A.
(CPUFAC - II/ 2015 – III)
a) 82°
b) 21°
c) 41°
d) 42°
e) 48°
25) Hallar "x", si: m »AB = 72°
a) 72°
b) 50°
c) 86°
d) 70°
e) 64°
26) En la figura E,F y T son puntos de tangencia, donde R=3cm y AE
= 5cm. Hallar EC en cm: (CPUFAC - II/ 2015 – II)
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
27) En dos circunferencias cuyos radios miden 5 y 2; la distancia la
distancia entre sus centros es 1, estas son circunferencias.
(CPUFAC - I/ 2015 – II)
a) Tangentes exteriores
b) Interiores.
c) Secantes.
d) Ortogonales.
e) Concéntricas.
28) Hallar "x + y". Si AB=8u y AD=BC+CD (CPUFAC - I/ 2005 – II)
a) 8u
b) 16
c) 12
d) 4
e) 6
29) Si: AB + CD = 24u y BC + AD = 40u.
Calcular "PQ".(CPUFAC - I/ 2014 – II)
a) 16u b) 14 c) 12
d) 10 e)
Metacognición
 ¿Qué hiciste cuando no entendías algo o no podías resolver un problema?
 ¿Volviste a leer con atención el enunciado para buscar y hallar la solución?
 ¿Te ayudó alguno de tus compañeros o tu profesor?

MATEMÁTICA
BIBLIOGRAFIA
- Intelectum evolución, Lima – Perú 2017, editorial San Marcos - Lexicom
- Audaces, Alfonso Rojas, colección Skanners, editorial San marcos 2017
- Geometría colección lumbreras - Perú: lumbreras -2015

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