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FUNCIONES
                          REALES

                           Nivel PRE




������−14
        ℍ������������������������������������
                        Prof.: Christiam Huertas
Par ordenado
Es un conjunto de dos elementos denotado por (������, ������) donde importa
el orden.

                                                    1era       2da
                                                 componente componente

Ejemplos:                                               Ojo
                                      1             1
             2; 5       −1; 3           ; ������    ������;            Son diferentes
                                      2             2


Teorema (Igualdad de pares ordenados)
                    ������, ������ = ������, ������   ↔ ������ = ������ ∧ ������ = ������

Ejemplo:
Si ������ − 2; 6 = 3; 2������      → ������ − 2 = 3 ∧ 6 = 2������             → ������ = 5 ∧ ������ = 3

                                                                      Prof.: Christiam Huertas
Plano cartesiano
Un sistema de coordenadas cartesianas (o rectangular), se forma
con dos rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en el punto
correspondiente al número 0 en cada línea.

                    ������
   Segundo                         Primer           Nombrado en honor del
   cuadrante                       cuadrante        matemático y filosofo
                                                    francés René Descartes.
                    ������
                               (������; ������)

                    ������        ������               ������



   Tercer                          Cuarto
   cuadrante                       cuadrante
                                                           1596 - 1650

                                                                Prof.: Christiam Huertas
Plano cartesiano
Ejemplo.
Represente geométricamente los puntos: 3; 2 , −4; 1 y (2; −3).

                   ������



                                 (3; 2)
                   2
       (−4; 1)
                         1
                             2
     −4             ������           3        ������



                  −3
                             (2; −3)




                                                       Prof.: Christiam Huertas
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos no vacíos ������ y ������. El producto cartesiano de ������
con ������ se denota por ������ × ������ y se define como:

                           ������ × ������ =       ������, ������ / ������ ∈ ������ ∧ ������ ∈ ������


Ejemplo:
Dados los conjuntos ������ = 1; 3 y ������ = 2; 4; 5
Entonces
      ������ × ������ =        1; 2 , 1; 4 , 1; 5 , 3; 2 , 3; 4 , 3; 5

Propiedades:                           Del ejemplo anterior
������. ������ × ������ ≠ ������ × ������                  ������ × ������ = 2; 1 , 2; 3 , 4; 1 , 4; 3 , 5; 1 , (5; 3)

 ������. ������ × ������ = ������ × ������ ↔               ������ = ������
 ������. ������(������×������) = ������   ������   ⋅ ������   ������     En el ejemplo: ������(������×������) = 2 ⋅ 3 = 6

                                                                             Prof.: Christiam Huertas
Relación binaria

Sean ������ y ������ dos conjuntos no vacíos. Se llama relación de ������ en ������ a
todo subconjunto del producto cartesiano ������ × ������. Es decir,

                ������ es una relación de ������ en ������ ↔ ������ ⊂ ������ × ������

Ejemplo:
Dados los conjuntos ������ = 1; 3 y ������ = 2; 4; 5
Entonces
     ������ × ������ =     1; 2 , 1; 4 , 1; 5 , 3; 2 , 3; 4 , 3; 5
Algunas relaciones de ������ en ������ seran:
  ������ =   1; 2    ⊂ ������ × ������
  ������ =   1; 4 , (3; 2) ⊂ ������ × ������
  ������ =   1; 2 , 1; 5 , 3; 5   ⊂ ������ × ������


                                                                Prof.: Christiam Huertas
Función
Diremos que la relación ������ de ������ en ������ es una función si y solo si:
a cada elemento ������ ∈ ������ le corresponde un único elemento ������ ∈ ������, tal
que ������; ������ ∈ ������.
                                                ������
Notación funcional: ������: ������ ⟶ ������ o ������                 ������

Ejemplo:
Dada la relación ������ =        3; 5 , 5; 1 , 8; 2 .
Lo representamos con un diagrama sagital:

              ������                   Vemos que a cada elemento del
      ������                ������
                                   conjunto ������ , le corresponde un único
     ⋅3              ⋅1            elemento del conjunto ������.
     ⋅5              ⋅2
                                   Por lo tanto, ������ es una función.
     ⋅8              ⋅5


                                                                  Prof.: Christiam Huertas
Función
Ejemplo: indique cual de las siguientes relaciones es un función.

      ������                          ������                            ������




                                                          Prof.: Christiam Huertas
Condición de unicidad
Sea ������ una función.
               Si ������; ������ ∈ ������ ∧    ������; ������ ∈ ������, entonces, ������ = ������

Ejemplo:
Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función,
halle el valor de ������ + ������.
                 ������ =    2; ������ − 5 , 5; 9 , ������ + 2; 1 , 2; 6 , 5; ������ 2
De la función vemos que:
               ������ − 5 = 6     → ������ = 11
                   9 = ������ 2   → ������ = 3 ∨ ������ = −3
Analicemos para cada caso:
Si ������ = ������:     ������ =    2; 6 , 5; 9 , 5; 1     (no es función)
Si ������ = −������:   ������ =     2; 6 , 5; 9 , −1; 1    (si es función)
Es decir, ������ = 11 y ������ = −3.             Por lo tanto, ������ + ������ = 8
                                                                         Prof.: Christiam Huertas
Dominio y rango de
                                                 una función
Dominio de una función:
Es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los
pares ordenados que pertenecen a la función.
Se denota por: Dom(������)

Rango de una función:
Es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los
pares ordenados que pertenecen a la función.
Se denota por: Ran(������)

Ejemplo:
Dada la función ������ =   3; 5 , 5; 1 , 8; 2 .
Dom ������ = 3; 5; 8         (Conjunto de pre imágenes)
 Ran ������ = 5; 1; 2        (Conjunto de imágenes)



                                                             Prof.: Christiam Huertas
Regla de correspondencia

Es la relación que existe entre los elementos del dominio y los del
rango.
Sea ������: ������ ⟶ ������ una función, entonces
                         ������; ������ ∈ ������ ↔ ������ ������ = ������
denota la dependencia entre ������ e ������.
Además, ������ es la variable independiente.
        ������ es la variable dependiente.
Ejemplo.
Dada la función ������ =   1; 1 , 2; 4 , 3; 9 , (4; 16)
Se obtiene que:
  ������ 1 = 1 = 12
  ������ 2 = 4    = 22           ������ ������ = ������ 2     ������ ∈ 1; 2; 3; 4
  ������ 3   = 9 = 32
                         o     ������ = ������ 2      ������ ∈ 1; 2; 3; 4
  ������ 4   = 16 = 42
                                                                Prof.: Christiam Huertas
Funciones reales
Diremos que la función ������: ������ ⟶ ������ es una función real de variable
real, si ������ y ������ son subconjuntos de los reales.
Es decir: ������ ⊂ ℝ ∧ ������ ⊂ ℝ.

Ejemplo:           ������        ������
              ������: −1; 3 ⟶ 1; 10
                    ������ ⟼ ������ 2 + 1
                             ������ ������


Como ������ = −1; 3 ⊂ ℝ y ������ = 1; 10 ⊂ ℝ, entonces ������ ������ = ������ 2 + 1 es
una función real de variable real.
Observaciones:
1. Dom ������ = ������          En el ejemplo, Dom ������ = −1; 3
2. Ran ������ ⊆ ������

                                                        Prof.: Christiam Huertas
Cálculo del
                                             dominio y rango

Sea ������: ������ ⟶ ������ una función tal que ������ ⊂ ℝ y ������ ⊂ ℝ.
Dominio de ������:                        Rango de ������:
Esta formado por todos los            Esta formado por todos los
valores reales de ������ ∈ ������ , que       valores reales de ������ ∈ ������ (conjunto
garantizan la existencia de           de imágenes) y se calcula a
������ = ������ ������ .                          partir de su dominio.

Ejemplo: Halle el dominio y rango de la función ������ ������ = ������ − 2 + 1
������ ������ existe en ℝ si y solo si:       Se tiene la función ������ = ������ − 2 + 1
          ������ − 2 ≥ 0                  Como ������ ≥ 2 (Dominio)
      → ������ ≥ 2                          → ������ − 2 ≥ 0
       → ������ ∈ 2; +∞                     →  ������ − 2 ≥ 0
      → Dom ������ = 2; +∞                  →  ������ − 2 + 1 ≥ 1
                                               ������
                                        ∴ Ran ������ = 1; +∞
                                                             Prof.: Christiam Huertas
Cálculo del
                                             dominio y rango
APLICACIÓN
Halle el rango de la función ������(������) = −������ 2 + 2������, si se sabe que su
dominio es igual al conjunto de los números reales.


Se sugiere completar el cuadrado:
������(������) = −������ 2 + 2������ = − ������ 2 − 2������ +1 − 1 = −(������ − 1)2 +1
                         (������ − 1)2
Como Dom ������ = ℝ, entonces, ������ ∈ ℝ
                           → (������ − 1) ∈ ℝ
                            → (������ − 1)2 ≥ 0
                            → −(������ − 1)2 ≤ 0
                            → −(������ − 1)2 + 1 ≤ 1
                                     ������ ������

                                                ∴ Ran ������ = −∞; 1
                                                             Prof.: Christiam Huertas

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Funciones reales

  • 1. FUNCIONES REALES Nivel PRE ������−14 ℍ������������������������������������ Prof.: Christiam Huertas
  • 2. Par ordenado Es un conjunto de dos elementos denotado por (������, ������) donde importa el orden. 1era 2da componente componente Ejemplos: Ojo 1 1 2; 5 −1; 3 ; ������ ������; Son diferentes 2 2 Teorema (Igualdad de pares ordenados) ������, ������ = ������, ������ ↔ ������ = ������ ∧ ������ = ������ Ejemplo: Si ������ − 2; 6 = 3; 2������ → ������ − 2 = 3 ∧ 6 = 2������ → ������ = 5 ∧ ������ = 3 Prof.: Christiam Huertas
  • 3. Plano cartesiano Un sistema de coordenadas cartesianas (o rectangular), se forma con dos rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en el punto correspondiente al número 0 en cada línea. ������ Segundo Primer Nombrado en honor del cuadrante cuadrante matemático y filosofo francés René Descartes. ������ (������; ������) ������ ������ ������ Tercer Cuarto cuadrante cuadrante 1596 - 1650 Prof.: Christiam Huertas
  • 4. Plano cartesiano Ejemplo. Represente geométricamente los puntos: 3; 2 , −4; 1 y (2; −3). ������ (3; 2) 2 (−4; 1) 1 2 −4 ������ 3 ������ −3 (2; −3) Prof.: Christiam Huertas
  • 5. Producto cartesiano Dados dos conjuntos no vacíos ������ y ������. El producto cartesiano de ������ con ������ se denota por ������ × ������ y se define como: ������ × ������ = ������, ������ / ������ ∈ ������ ∧ ������ ∈ ������ Ejemplo: Dados los conjuntos ������ = 1; 3 y ������ = 2; 4; 5 Entonces ������ × ������ = 1; 2 , 1; 4 , 1; 5 , 3; 2 , 3; 4 , 3; 5 Propiedades: Del ejemplo anterior ������. ������ × ������ ≠ ������ × ������ ������ × ������ = 2; 1 , 2; 3 , 4; 1 , 4; 3 , 5; 1 , (5; 3) ������. ������ × ������ = ������ × ������ ↔ ������ = ������ ������. ������(������×������) = ������ ������ ⋅ ������ ������ En el ejemplo: ������(������×������) = 2 ⋅ 3 = 6 Prof.: Christiam Huertas
  • 6. Relación binaria Sean ������ y ������ dos conjuntos no vacíos. Se llama relación de ������ en ������ a todo subconjunto del producto cartesiano ������ × ������. Es decir, ������ es una relación de ������ en ������ ↔ ������ ⊂ ������ × ������ Ejemplo: Dados los conjuntos ������ = 1; 3 y ������ = 2; 4; 5 Entonces ������ × ������ = 1; 2 , 1; 4 , 1; 5 , 3; 2 , 3; 4 , 3; 5 Algunas relaciones de ������ en ������ seran: ������ = 1; 2 ⊂ ������ × ������ ������ = 1; 4 , (3; 2) ⊂ ������ × ������ ������ = 1; 2 , 1; 5 , 3; 5 ⊂ ������ × ������ Prof.: Christiam Huertas
  • 7. Función Diremos que la relación ������ de ������ en ������ es una función si y solo si: a cada elemento ������ ∈ ������ le corresponde un único elemento ������ ∈ ������, tal que ������; ������ ∈ ������. ������ Notación funcional: ������: ������ ⟶ ������ o ������ ������ Ejemplo: Dada la relación ������ = 3; 5 , 5; 1 , 8; 2 . Lo representamos con un diagrama sagital: ������ Vemos que a cada elemento del ������ ������ conjunto ������ , le corresponde un único ⋅3 ⋅1 elemento del conjunto ������. ⋅5 ⋅2 Por lo tanto, ������ es una función. ⋅8 ⋅5 Prof.: Christiam Huertas
  • 8. Función Ejemplo: indique cual de las siguientes relaciones es un función. ������ ������ ������ Prof.: Christiam Huertas
  • 9. Condición de unicidad Sea ������ una función. Si ������; ������ ∈ ������ ∧ ������; ������ ∈ ������, entonces, ������ = ������ Ejemplo: Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función, halle el valor de ������ + ������. ������ = 2; ������ − 5 , 5; 9 , ������ + 2; 1 , 2; 6 , 5; ������ 2 De la función vemos que: ������ − 5 = 6 → ������ = 11 9 = ������ 2 → ������ = 3 ∨ ������ = −3 Analicemos para cada caso: Si ������ = ������: ������ = 2; 6 , 5; 9 , 5; 1 (no es función) Si ������ = −������: ������ = 2; 6 , 5; 9 , −1; 1 (si es función) Es decir, ������ = 11 y ������ = −3. Por lo tanto, ������ + ������ = 8 Prof.: Christiam Huertas
  • 10. Dominio y rango de una función Dominio de una función: Es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a la función. Se denota por: Dom(������) Rango de una función: Es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a la función. Se denota por: Ran(������) Ejemplo: Dada la función ������ = 3; 5 , 5; 1 , 8; 2 . Dom ������ = 3; 5; 8 (Conjunto de pre imágenes) Ran ������ = 5; 1; 2 (Conjunto de imágenes) Prof.: Christiam Huertas
  • 11. Regla de correspondencia Es la relación que existe entre los elementos del dominio y los del rango. Sea ������: ������ ⟶ ������ una función, entonces ������; ������ ∈ ������ ↔ ������ ������ = ������ denota la dependencia entre ������ e ������. Además, ������ es la variable independiente. ������ es la variable dependiente. Ejemplo. Dada la función ������ = 1; 1 , 2; 4 , 3; 9 , (4; 16) Se obtiene que: ������ 1 = 1 = 12 ������ 2 = 4 = 22 ������ ������ = ������ 2 ������ ∈ 1; 2; 3; 4 ������ 3 = 9 = 32 o ������ = ������ 2 ������ ∈ 1; 2; 3; 4 ������ 4 = 16 = 42 Prof.: Christiam Huertas
  • 12. Funciones reales Diremos que la función ������: ������ ⟶ ������ es una función real de variable real, si ������ y ������ son subconjuntos de los reales. Es decir: ������ ⊂ ℝ ∧ ������ ⊂ ℝ. Ejemplo: ������ ������ ������: −1; 3 ⟶ 1; 10 ������ ⟼ ������ 2 + 1 ������ ������ Como ������ = −1; 3 ⊂ ℝ y ������ = 1; 10 ⊂ ℝ, entonces ������ ������ = ������ 2 + 1 es una función real de variable real. Observaciones: 1. Dom ������ = ������ En el ejemplo, Dom ������ = −1; 3 2. Ran ������ ⊆ ������ Prof.: Christiam Huertas
  • 13. Cálculo del dominio y rango Sea ������: ������ ⟶ ������ una función tal que ������ ⊂ ℝ y ������ ⊂ ℝ. Dominio de ������: Rango de ������: Esta formado por todos los Esta formado por todos los valores reales de ������ ∈ ������ , que valores reales de ������ ∈ ������ (conjunto garantizan la existencia de de imágenes) y se calcula a ������ = ������ ������ . partir de su dominio. Ejemplo: Halle el dominio y rango de la función ������ ������ = ������ − 2 + 1 ������ ������ existe en ℝ si y solo si: Se tiene la función ������ = ������ − 2 + 1 ������ − 2 ≥ 0 Como ������ ≥ 2 (Dominio) → ������ ≥ 2 → ������ − 2 ≥ 0 → ������ ∈ 2; +∞ → ������ − 2 ≥ 0 → Dom ������ = 2; +∞ → ������ − 2 + 1 ≥ 1 ������ ∴ Ran ������ = 1; +∞ Prof.: Christiam Huertas
  • 14. Cálculo del dominio y rango APLICACIÓN Halle el rango de la función ������(������) = −������ 2 + 2������, si se sabe que su dominio es igual al conjunto de los números reales. Se sugiere completar el cuadrado: ������(������) = −������ 2 + 2������ = − ������ 2 − 2������ +1 − 1 = −(������ − 1)2 +1 (������ − 1)2 Como Dom ������ = ℝ, entonces, ������ ∈ ℝ → (������ − 1) ∈ ℝ → (������ − 1)2 ≥ 0 → −(������ − 1)2 ≤ 0 → −(������ − 1)2 + 1 ≤ 1 ������ ������ ∴ Ran ������ = −∞; 1 Prof.: Christiam Huertas