Este documento presenta conceptos básicos de geometría como punto, recta, plano y espacio. Define un punto como una idea o abstracción adimensional, una recta como un conjunto unidimensional de puntos alineados, un plano como un conjunto bidimensional de puntos y el espacio como un conjunto tridimensional de puntos. Explica las relaciones entre estos conceptos y cómo determinan segmentos, rayos, ángulos y planos. También introduce algunos postulados geométricos como la existencia de puntos y planos y la intersección de rectas y
El documento clasifica los triángulos según la medida de sus lados y ángulos, y describe las rectas notables de los triángulos como las medianas, alturas y mediatrices. También cubre teoremas sobre las medianas, propiedades de los triángulos, postulados de congruencia y semejanza, y aplicaciones de los conceptos de triángulos.
1) El documento describe teoremas y conceptos relacionados con la proporcionalidad, la semejanza y la congruencia en geometría. 2) Incluye el Teorema de Pitágoras, Teorema de Thales, criterios de semejanza y congruencia de triángulos, y teoremas relacionados con la circunferencia. 3) También define conceptos como circunferencia, círculo, ángulos inscritos y sector circular.
Segmentos proporcionales Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSMaría Pizarro
El documento habla sobre triángulos semejantes y el teorema de Tales. Explica que dos triángulos son semejantes si sus ángulos respectivos son congruentes y sus lados son proporcionales. También cubre que si una línea paralela es trazada a uno de los lados de un triángulo, se crean dos triángulos semejantes.
Este documento describe los tipos de triángulos y sus propiedades. Los triángulos se clasifican según sus lados en escaleno, isósceles y equilátero, y según sus ángulos en rectángulo, acutángulo y obtusángulo. También explica los conceptos de semejanza, congruencia, homotecia y escalas para la representación de triángulos.
El documento explica los conceptos de proporcionalidad geométrica y semejanza, incluyendo definiciones de segmentos, rectas, proporcionalidad de segmentos, el teorema de Tales, criterios de semejanza, semejanza de triángulos y polígonos, y aplicaciones como división de segmentos y cálculo de alturas usando semejanza.
Este documento trata sobre la congruencia y semejanza de figuras planas. Explica que dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, es decir, son idénticas. Presenta los criterios de congruencia para triángulos, como que dos triángulos son congruentes si sus lados y ángulos correspondientes son congruentes. También cubre la semejanza, donde dos figuras tienen la misma forma pero diferentes tamaños, y los criterios para determinar si dos triángulos son semejantes.
Este documento describe los criterios para determinar si dos triángulos son semejantes. Explica que dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales. También cubre los criterios específicos para determinar si dos triángulos rectángulos son semejantes.
El documento clasifica los triángulos según la medida de sus lados y ángulos, describe las rectas notables de los triángulos como las medianas, mediatrices y alturas, y presenta teoremas sobre las propiedades de los triángulos y la congruencia y semejanza entre triángulos. Incluye ejemplos y ejercicios para aplicar los conceptos.
El documento clasifica los triángulos según la medida de sus lados y ángulos, y describe las rectas notables de los triángulos como las medianas, alturas y mediatrices. También cubre teoremas sobre las medianas, propiedades de los triángulos, postulados de congruencia y semejanza, y aplicaciones de los conceptos de triángulos.
1) El documento describe teoremas y conceptos relacionados con la proporcionalidad, la semejanza y la congruencia en geometría. 2) Incluye el Teorema de Pitágoras, Teorema de Thales, criterios de semejanza y congruencia de triángulos, y teoremas relacionados con la circunferencia. 3) También define conceptos como circunferencia, círculo, ángulos inscritos y sector circular.
Segmentos proporcionales Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSMaría Pizarro
El documento habla sobre triángulos semejantes y el teorema de Tales. Explica que dos triángulos son semejantes si sus ángulos respectivos son congruentes y sus lados son proporcionales. También cubre que si una línea paralela es trazada a uno de los lados de un triángulo, se crean dos triángulos semejantes.
Este documento describe los tipos de triángulos y sus propiedades. Los triángulos se clasifican según sus lados en escaleno, isósceles y equilátero, y según sus ángulos en rectángulo, acutángulo y obtusángulo. También explica los conceptos de semejanza, congruencia, homotecia y escalas para la representación de triángulos.
El documento explica los conceptos de proporcionalidad geométrica y semejanza, incluyendo definiciones de segmentos, rectas, proporcionalidad de segmentos, el teorema de Tales, criterios de semejanza, semejanza de triángulos y polígonos, y aplicaciones como división de segmentos y cálculo de alturas usando semejanza.
Este documento trata sobre la congruencia y semejanza de figuras planas. Explica que dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, es decir, son idénticas. Presenta los criterios de congruencia para triángulos, como que dos triángulos son congruentes si sus lados y ángulos correspondientes son congruentes. También cubre la semejanza, donde dos figuras tienen la misma forma pero diferentes tamaños, y los criterios para determinar si dos triángulos son semejantes.
Este documento describe los criterios para determinar si dos triángulos son semejantes. Explica que dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales. También cubre los criterios específicos para determinar si dos triángulos rectángulos son semejantes.
El documento clasifica los triángulos según la medida de sus lados y ángulos, describe las rectas notables de los triángulos como las medianas, mediatrices y alturas, y presenta teoremas sobre las propiedades de los triángulos y la congruencia y semejanza entre triángulos. Incluye ejemplos y ejercicios para aplicar los conceptos.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre relaciones trigonométricas, incluyendo criterios de semejanza y congruencia de triángulos, y teoremas para resolver triángulos rectángulos y oblicuángulos. Explica tres criterios para determinar si un triángulo es semejante a otro (criterio LLL, LAL y AA), y define la congruencia de figuras geométricas. También describe postulados y teoremas como la ley del seno y del coseno para resolver triángulos.
Los triángulos semejantes son aquellos cuyos lados correspondientes son proporcionales y cuyos ángulos correspondientes son iguales. Existen varios criterios para determinar si dos triángulos son semejantes, como que tengan dos ángulos iguales, dos lados proporcionales con el ángulo comprendido entre ellos igual, o tres lados proporcionales. Para triángulos rectángulos, se pueden usar criterios como tener igual uno de sus ángulos agudos o proporcionales los dos catetos. El documento
Este documento define y clasifica los triángulos. Explica que un triángulo tiene tres vértices y tres lados. Clasifica los triángulos por la longitud de sus lados (escaleno, isósceles, equilátero) y por la medida de sus ángulos (agudo, obtuso, rectángulo, equiángulo). También describe los criterios para determinar si dos triángulos son congruentes, como el postulado de lado-lado-lado.
Los triángulos son semejantes si cumplen uno de tres criterios: 1) tienen ángulos iguales, 2) tienen un ángulo igual y lados proporcionales opuestos a ese ángulo, 3) tienen lados proporcionales. La semejanza es una relación de equivalencia entre triángulos que implica ángulos iguales y lados proporcionales.
Este documento presenta los conceptos de proporcionalidad geométrica y semejanza de triángulos. Explica que dos segmentos son proporcionales si su razón es constante y que el Teorema de Tales establece que si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. También describe los tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes y cómo la semejanza de triángulos se puede aplicar para resolver problemas de la vida real.
Este documento describe los criterios para determinar si dos triángulos son congruentes. Explica que dos triángulos son congruentes si sus ángulos y lados correspondientes son iguales. Presenta cuatro criterios de congruencia de triángulos basados en la igualdad de lados y ángulos. También incluye ejemplos para ilustrar cómo aplicar los criterios de congruencia.
El documento define la congruencia de figuras planas y específicamente de triángulos. Explica que dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño. Luego detalla tres criterios para determinar si dos triángulos son congruentes: 1) lado-lado-lado, 2) lado-ángulo-lado, y 3) ángulo-lado-ángulo.
Este documento trata sobre las congruencias y semejanzas de figuras planas. Explica que dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, mientras que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero pueden tener diferentes tamaños. Luego, detalla los criterios de congruencia y semejanza para triángulos, incluyendo ejemplos, y provee aplicaciones prácticas de estos conceptos geométricos.
Dos polígonos son semejantes si tienen ángulos correspondientes congruentes y lados correspondientes proporcionales. La semejanza de polígonos es una relación transitiva e idéntica que implica que polígonos semejantes tienen la misma forma. Si dos polígonos son semejantes, pueden descomponerse en triángulos semejantes e igualmente dispuestos en igual número. Las razones de perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes están relacionadas con la razón de semejanza.
Los triángulos semejantes son figuras geométricas que se asemejan porque tienen ángulos correspondientes congruentes y lados correspondientes proporcionales. Existen tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes: 1) que sus tres lados sean proporcionales, 2) que dos lados y el ángulo entre ellos sean iguales, 3) que sus tres ángulos sean congruentes.
Congruencia De TriáNgulos Postulados Y TeoremasCarmen Batiz
Este documento presenta tres postulados y un teorema sobre la congruencia de triángulos. El Postulado LLL establece que si los lados de dos triángulos son congruentes, entonces los triángulos son congruentes. El Postulado LAL requiere que dos lados y el ángulo incluido sean congruentes. El Postulado ALA requiere que dos ángulos y el lado incluido sean congruentes. Finalmente, el Teorema AAL establece que si dos ángulos y un lado no incluido son congruentes,
Este documento define las figuras congruentes y semejantes. Las figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, es decir, si se superponen exactamente. Los triángulos son congruentes si sus ángulos y lados correspondientes son iguales. Las figuras son semejantes si tienen la misma forma pero tamaños diferentes, es decir, si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados proporcionales.
El documento habla sobre los triángulos. Explica qué es un triángulo y cómo se clasifican según sus lados y ángulos. Luego describe varias propiedades de los triángulos como la suma de sus ángulos internos, la congruencia y semejanza entre triángulos basada en sus lados y ángulos, y el Teorema de Tales sobre la proporcionalidad de segmentos cortados por paralelas. Finalmente menciona cómo aplicar la semejanza de triángulos para calcular distancias inaccesibles.
Este documento presenta información sobre segmentos, proporcionales, congruentes y el teorema de Thales. Define un segmento como una porción de línea entre dos puntos y explica cómo calcular la suma y división de segmentos. Explica que dos segmentos son proporcionales cuando las razones de sus medidas son iguales y que son congruentes cuando tienen la misma longitud. Finalmente, resume el teorema de Thales, el cual establece que los segmentos formados en una recta son proporcionales a los segmentos correspondientes en otra recta cuando son cortadas por par
Dos triángulos son semejantes si cumplen cualquiera de los siguientes criterios: (1) todos sus lados son proporcionales, (2) tienen los tres ángulos iguales, o (3) un ángulo igual y los dos lados que se inician en dicho vértice son proporcionales. Los triángulos semejantes comparten una relación de semejanza o similitud entre sus lados y ángulos.
Este documento define la congruencia de triángulos y explica sus criterios. Dos triángulos son congruentes si sus lados y ángulos correspondientes son iguales. Existen cuatro criterios de congruencia: dos lados y el ángulo entre ellos (LAL), dos ángulos y el lado entre ellos (ALA), dos lados y el ángulo opuesto al mayor (LLA), y tres lados iguales (LLL).
El documento describe tres tipos de figuras geométricas: 1) Figuras congruentes que tienen la misma forma y tamaño, 2) Figuras equivalentes que tienen la misma área pero no necesariamente la misma forma, y 3) Figuras semejantes que tienen la misma forma pero pueden tener diferentes tamaños, siempre y cuando sus ángulos y lados correspondientes sean proporcionales.
Este documento trata sobre la congruencia de triángulos en geometría. Define la congruencia como cuando dos triángulos tienen la misma forma y tamaño. Explica que dos triángulos son congruentes si cumplen con alguna de las siguientes condiciones: tres lados iguales (LLL), dos lados y el ángulo entre ellos iguales (LAL), dos ángulos y el lado entre ellos iguales (ALA), o un lado y dos ángulos iguales (AAL). Además, presenta ejemplos para identificar si pares de triángulos son congru
Este documento describe diferentes tipos de cuadriláteros como trapecios, paralelogramos, rectángulos y cuadrados. También cubre polígonos más generales, incluidas fórmulas para el número de ángulos y la suma total de medidas de ángulos. Además, presenta fórmulas para calcular el área de triángulos, trapecios y polígonos regulares. Finalmente, compara perímetros y áreas entre polígonos semejantes.
Este documento presenta 20 tareas de construcción geométrica que involucran el uso de regla, compás y transportador. Las tareas incluyen construir ángulos congruentes, perpendiculares, paralelas, triángulos equiláteros, hexágonos regulares, cuadrados, circunferencias y dividir segmentos en partes iguales. También incluye enlaces a sitios web con información sobre el uso de estas herramientas.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre relaciones trigonométricas, incluyendo criterios de semejanza y congruencia de triángulos, y teoremas para resolver triángulos rectángulos y oblicuángulos. Explica tres criterios para determinar si un triángulo es semejante a otro (criterio LLL, LAL y AA), y define la congruencia de figuras geométricas. También describe postulados y teoremas como la ley del seno y del coseno para resolver triángulos.
Los triángulos semejantes son aquellos cuyos lados correspondientes son proporcionales y cuyos ángulos correspondientes son iguales. Existen varios criterios para determinar si dos triángulos son semejantes, como que tengan dos ángulos iguales, dos lados proporcionales con el ángulo comprendido entre ellos igual, o tres lados proporcionales. Para triángulos rectángulos, se pueden usar criterios como tener igual uno de sus ángulos agudos o proporcionales los dos catetos. El documento
Este documento define y clasifica los triángulos. Explica que un triángulo tiene tres vértices y tres lados. Clasifica los triángulos por la longitud de sus lados (escaleno, isósceles, equilátero) y por la medida de sus ángulos (agudo, obtuso, rectángulo, equiángulo). También describe los criterios para determinar si dos triángulos son congruentes, como el postulado de lado-lado-lado.
Los triángulos son semejantes si cumplen uno de tres criterios: 1) tienen ángulos iguales, 2) tienen un ángulo igual y lados proporcionales opuestos a ese ángulo, 3) tienen lados proporcionales. La semejanza es una relación de equivalencia entre triángulos que implica ángulos iguales y lados proporcionales.
Este documento presenta los conceptos de proporcionalidad geométrica y semejanza de triángulos. Explica que dos segmentos son proporcionales si su razón es constante y que el Teorema de Tales establece que si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. También describe los tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes y cómo la semejanza de triángulos se puede aplicar para resolver problemas de la vida real.
Este documento describe los criterios para determinar si dos triángulos son congruentes. Explica que dos triángulos son congruentes si sus ángulos y lados correspondientes son iguales. Presenta cuatro criterios de congruencia de triángulos basados en la igualdad de lados y ángulos. También incluye ejemplos para ilustrar cómo aplicar los criterios de congruencia.
El documento define la congruencia de figuras planas y específicamente de triángulos. Explica que dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño. Luego detalla tres criterios para determinar si dos triángulos son congruentes: 1) lado-lado-lado, 2) lado-ángulo-lado, y 3) ángulo-lado-ángulo.
Este documento trata sobre las congruencias y semejanzas de figuras planas. Explica que dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, mientras que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero pueden tener diferentes tamaños. Luego, detalla los criterios de congruencia y semejanza para triángulos, incluyendo ejemplos, y provee aplicaciones prácticas de estos conceptos geométricos.
Dos polígonos son semejantes si tienen ángulos correspondientes congruentes y lados correspondientes proporcionales. La semejanza de polígonos es una relación transitiva e idéntica que implica que polígonos semejantes tienen la misma forma. Si dos polígonos son semejantes, pueden descomponerse en triángulos semejantes e igualmente dispuestos en igual número. Las razones de perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes están relacionadas con la razón de semejanza.
Los triángulos semejantes son figuras geométricas que se asemejan porque tienen ángulos correspondientes congruentes y lados correspondientes proporcionales. Existen tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes: 1) que sus tres lados sean proporcionales, 2) que dos lados y el ángulo entre ellos sean iguales, 3) que sus tres ángulos sean congruentes.
Congruencia De TriáNgulos Postulados Y TeoremasCarmen Batiz
Este documento presenta tres postulados y un teorema sobre la congruencia de triángulos. El Postulado LLL establece que si los lados de dos triángulos son congruentes, entonces los triángulos son congruentes. El Postulado LAL requiere que dos lados y el ángulo incluido sean congruentes. El Postulado ALA requiere que dos ángulos y el lado incluido sean congruentes. Finalmente, el Teorema AAL establece que si dos ángulos y un lado no incluido son congruentes,
Este documento define las figuras congruentes y semejantes. Las figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, es decir, si se superponen exactamente. Los triángulos son congruentes si sus ángulos y lados correspondientes son iguales. Las figuras son semejantes si tienen la misma forma pero tamaños diferentes, es decir, si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados proporcionales.
El documento habla sobre los triángulos. Explica qué es un triángulo y cómo se clasifican según sus lados y ángulos. Luego describe varias propiedades de los triángulos como la suma de sus ángulos internos, la congruencia y semejanza entre triángulos basada en sus lados y ángulos, y el Teorema de Tales sobre la proporcionalidad de segmentos cortados por paralelas. Finalmente menciona cómo aplicar la semejanza de triángulos para calcular distancias inaccesibles.
Este documento presenta información sobre segmentos, proporcionales, congruentes y el teorema de Thales. Define un segmento como una porción de línea entre dos puntos y explica cómo calcular la suma y división de segmentos. Explica que dos segmentos son proporcionales cuando las razones de sus medidas son iguales y que son congruentes cuando tienen la misma longitud. Finalmente, resume el teorema de Thales, el cual establece que los segmentos formados en una recta son proporcionales a los segmentos correspondientes en otra recta cuando son cortadas por par
Dos triángulos son semejantes si cumplen cualquiera de los siguientes criterios: (1) todos sus lados son proporcionales, (2) tienen los tres ángulos iguales, o (3) un ángulo igual y los dos lados que se inician en dicho vértice son proporcionales. Los triángulos semejantes comparten una relación de semejanza o similitud entre sus lados y ángulos.
Este documento define la congruencia de triángulos y explica sus criterios. Dos triángulos son congruentes si sus lados y ángulos correspondientes son iguales. Existen cuatro criterios de congruencia: dos lados y el ángulo entre ellos (LAL), dos ángulos y el lado entre ellos (ALA), dos lados y el ángulo opuesto al mayor (LLA), y tres lados iguales (LLL).
El documento describe tres tipos de figuras geométricas: 1) Figuras congruentes que tienen la misma forma y tamaño, 2) Figuras equivalentes que tienen la misma área pero no necesariamente la misma forma, y 3) Figuras semejantes que tienen la misma forma pero pueden tener diferentes tamaños, siempre y cuando sus ángulos y lados correspondientes sean proporcionales.
Este documento trata sobre la congruencia de triángulos en geometría. Define la congruencia como cuando dos triángulos tienen la misma forma y tamaño. Explica que dos triángulos son congruentes si cumplen con alguna de las siguientes condiciones: tres lados iguales (LLL), dos lados y el ángulo entre ellos iguales (LAL), dos ángulos y el lado entre ellos iguales (ALA), o un lado y dos ángulos iguales (AAL). Además, presenta ejemplos para identificar si pares de triángulos son congru
Este documento describe diferentes tipos de cuadriláteros como trapecios, paralelogramos, rectángulos y cuadrados. También cubre polígonos más generales, incluidas fórmulas para el número de ángulos y la suma total de medidas de ángulos. Además, presenta fórmulas para calcular el área de triángulos, trapecios y polígonos regulares. Finalmente, compara perímetros y áreas entre polígonos semejantes.
Este documento presenta 20 tareas de construcción geométrica que involucran el uso de regla, compás y transportador. Las tareas incluyen construir ángulos congruentes, perpendiculares, paralelas, triángulos equiláteros, hexágonos regulares, cuadrados, circunferencias y dividir segmentos en partes iguales. También incluye enlaces a sitios web con información sobre el uso de estas herramientas.
Este documento presenta información sobre los cuadriláteros. Define cuadriláteros como polígonos de cuatro lados y clasifica los cuadriláteros en paralelógramos, trapecios y trapezoides según si tienen lados paralelos o no. Luego describe las propiedades y características de los paralelógramos específicos como el cuadrado, rectángulo, rombo y romboide. Incluye ejemplos y ejercicios para aplicar las propiedades de cada figura.
Este documento describe los conceptos básicos de la geometría, incluyendo puntos, líneas y planos, así como definiciones, relaciones y figuras geométricas derivadas de estos conceptos indefinidos. Explica los procesos de razonamiento deductivo e inductivo, y cómo se usan las generalizaciones, definiciones, postulados y teoremas para probar otras generalizaciones como verdaderas o falsas. Finalmente, discute los tipos de proposiciones como si-entonces, recíproca, inversa y contrarrecíproca y
El documento trata sobre conceptos básicos de ángulos. Define un ángulo como la figura formada por dos semirectas que parten de un mismo punto llamado vértice. Explica diferentes tipos de ángulos como complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice. Incluye ejemplos de problemas para calcular ángulos dados y relaciones entre rectas y una transversal.
Este documento describe diferentes figuras tridimensionales, incluyendo poliedros (cuerpos geométricos limitados por superficies planas), poliedros regulares (que tienen caras, aristas y ángulos iguales), prisma (que tienen dos caras paralelas y caras laterales paralelogramos), pirámides (que tienen una sola cara por base y caras laterales triangulares), y cuerpos de revolución como cilindros (obtenidos al girar un rectángulo), conos (obtenidos al girar un triángulo rectá
Este documento contiene 31 ejercicios de geometría y trigonometría relacionados con el cálculo de áreas, volúmenes, dimensiones y cantidades de diversas figuras geométricas como cubos, prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. Los ejercicios incluyen cálculos para habitaciones, piscinas, almacenes, cúpulas, recipientes y más, requiriendo el uso de fórmulas matemáticas de volumen, superficie, secciones cónicas y esferas.
El documento presenta una serie de 30 problemas de ángulos que involucran cálculos trigonométricos, paralelas, perpendiculares y bisectrices. Los problemas piden determinar valores desconocidos de ángulos u otras medidas geométricas dadas las condiciones planteadas en cada uno.
Este documento presenta una guía para un taller sobre geometría y trigonometría. Incluye definiciones de varios tipos de poliedros regulares e irregulares, así como fórmulas para calcular el área y volumen de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. También proporciona bibliografía recomendada para el curso.
El documento presenta una guía sobre triángulos creada por la profesora Yolvi Adriana Córdoba Buitrago. La guía contiene actividades y ejercicios sobre las propiedades y características de los triángulos.
Este documento presenta varios problemas que involucran la semejanza de triángulos. Explica que dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. A continuación, enlista 15 ejercicios que piden calcular alturas de objetos como árboles, edificios y postes usando la propiedad de triángulos semejantes.
Este documento contiene un examen de geometría y trigonometría dividido en 4 secciones. La primera sección pide clasificar figuras geométricas como regulares, irregulares, cóncavas o convexas. La segunda sección pregunta sobre el número de diagonales que se pueden trazar en polígonos específicos. La tercera sección pide construir polígonos regulares y determinar sus diagonales, suma de ángulos interiores y medida de ángulo central. La cuarta sección presenta ejercicios para calcular ángulos en paral
Este documento presenta el taller número 8 del curso de geometría y trigonometría del primer semestre de 2012 elaborado por las maestras Yoana Acevedo Rico y Meredy Siza Moreno para el Departamento de Ciencias Básicas.
Este documento presenta 25 problemas de geometría y trigonometría que involucran el uso de ángulos de elevación, depresión y razonamiento geométrico. Los problemas piden calcular distancias, ángulos, alturas y otras medidas usando información sobre ángulos y distancias dadas. La profesora Yolvi Córdoba presenta estos problemas a sus estudiantes como actividad para practicar conceptos trigonométricos.
Este documento presenta un examen de geometría y trigonometría con 16 preguntas sobre razones trigonométricas y aplicaciones. Las preguntas incluyen calcular valores trigonométricos dados otros valores, resolver triángulos rectángulos con datos numéricos, y calcular alturas y distancias usando ángulos y razones trigonométricas.
Este documento presenta información sobre la circunferencia, el círculo y los diferentes tipos de ángulos relacionados con ellos. Explica que una circunferencia es el conjunto de puntos cuya distancia a un punto central es la misma, y que los puntos dentro de la circunferencia forman un círculo. Luego define ángulos centrales, inscritos, semi-inscritos, interiores y exteriores, y sus relaciones con arcos y radios. Finalmente, incluye ejercicios para calcular medidas de ángulos, arcos
El documento define las razones trigonométricas como relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo. Explica que el seno es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, el coseno es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, y la tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente. También introduce las razones cosecante, secante y cotangente.
Este documento presenta información sobre polígonos, cuadriláteros y la circunferencia y el círculo. Define elementos geométricos como polígonos, segmentos, ángulos y figuras convexas y cóncavas. Explica las propiedades de cuadriláteros como paralelogramos, rombos, rectángulos y trapecios. También cubre la suma de ángulos interiores y exteriores de polígonos y cuadriláteros.
Problemas de aplicacion de razones trigonométricasDai Daz
El documento presenta una serie de problemas matemáticos relacionados con el cálculo de ángulos y distancias en situaciones que involucran escaleras. Los problemas 1 al 6 se enfocan en determinar la distancia del pie de una escalera a la pared y el ángulo que forma con el suelo, mientras que los problemas 7 y 8 calculan la medida de un ángulo específico. Finalmente, se presentan ejercicios adicionales de aplicación que involucran el uso de razones trigonométricas.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, segmentos, semirrectas, planos y ángulos. Explica que un punto no tiene dimensión y describe una posición, mientras que una recta es un conjunto infinito de puntos colineales. También define conceptos como segmento, semirrecta, plano y clasifica ángulos como rectos, agudos u obtusos.
posición de la recta en el espacio, tipos de rectas, cómo se representa gráficamente una recta, su distancia de dos puntos a dos planos de proyección, conociendo: cota, alejamiento, apartamiento, dirección, elevación, coordenadas cartesianas.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría. Define puntos, rectas, planos, segmentos, rayos y ángulos. Explica que un punto no tiene dimensión, una recta se extiende al infinito, un plano se extiende en toda dirección y un ángulo está limitado por dos rayos con un punto en común. Además, clasifica los ángulos en agudos, obtusos, rectos y llanos.
Este documento describe elementos geométricos fundamentales como puntos, líneas, planos, ángulos y sus propiedades. Explica cómo construir perpendiculares, paralelas, bisectrices de ángulos y segmentos. Ofrece ejemplos de aplicaciones como división de segmentos y trazado de figuras geométricas.
El documento describe los conceptos básicos de la geometría como el punto, la recta, el plano y sus propiedades. Explica que un punto no tiene tamaño y se representa con una letra mayúscula. Una recta está formada por puntos infinitos en una misma dirección. Un plano es una superficie infinita formada por puntos. También define conceptos como segmento, rayo, colineal y coplanario.
El documento describe conceptos básicos de geometría en el plano y el espacio, incluyendo puntos, rectas, planos y sus propiedades. Explica que la geometría analítica del espacio fue desarrollada en el siglo XVIII por figuras como Clairut, Euler y Lagrange, y que Monge fue considerado el padre de la geometría analítica tridimensional.
Este documento presenta la programación para el tercer período académico del curso de Geometría y Trigonometría en 2018. Contiene los objetivos generales del curso, el contenido dividido en tres unidades, y el cronograma de clases con los temas a tratar en cada fecha. El cronograma incluye 18 clases programadas del 18 de septiembre al 8 de octubre, abarcando temas como conceptos básicos, geometría plana, trigonometría, funciones trigonométricas y geometría analítica.
Este documento proporciona información sobre varios conceptos básicos de geometría como puntos, líneas, segmentos, polígonos y herramientas geométricas. Explica definiciones como líneas paralelas, perpendiculares, bisectriz y mediatriz. También describe el uso de instrumentos como transportador, regla y compás para medir y trazar figuras geométricas.
Este documento resume los conceptos básicos de geometría necesarios para el curso de 1o de ESO. Explica los elementos básicos como puntos, rectas y planos, las posiciones relativas de dos rectas, los tipos de ángulos y sus medidas. Cubre conceptos como semirrectas, segmentos, bisectrices, ángulos adyacentes y complementarios, y menciona las unidades de medida de ángulos en grados, minutos y segundos y en radianes.
Plano y recta en el espacio geometria analiticaelvyss
Este documento trata sobre geometría en el espacio y define conceptos básicos como punto, recta, plano y sus propiedades. Explica que la geometría en el espacio estudia las medidas y propiedades de figuras tridimensionales. Además, describe las características de rectas y planos, y cómo se relacionan entre sí, como que dos rectas son paralelas si están contenidas en un mismo plano.
Las rectas paralelas son líneas que mantienen una distancia constante entre sí y nunca se cruzan, incluso si se prolongan hasta el infinito. Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son perpendiculares entre sí. Para trazar una recta paralela a otra dada, se alinea una regla con la recta original y se desliza la otra regla manteniendo contacto para crear la nueva recta paralela.
El documento trata sobre geometría analítica y secciones cónicas. Explica que la geometría analítica representa figuras geométricas mediante coordenadas cartesianas y ecuaciones algebraicas. Luego describe las cuatro secciones cónicas principales (elipse, parábola, hipérbola y circunferencia) que se obtienen al cortar un cono con un plano. También define conceptos como segmentos, rectas, puntos medios y sistemas de coordenadas.
El documento describe las características fundamentales de las rectas en geometría euclidiana y analítica. Define una recta como una sucesión continua e indefinida de puntos que se extiende en una sola dimensión. Explica que las rectas pueden expresarse mediante ecuaciones cartesiana que relacionan sus pendientes, puntos y vectores directores. Finalmente, introduce conceptos como distancias entre puntos, rectas y sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría para estudiantes de cuarto grado. Explica términos como punto, recta, plano, segmento, semirrecta, ángulo y figuras planas como círculo, polígono y triángulo. También clasifica ángulos, polígonos y triángulos. El objetivo es identificar estos conceptos fundamentales de geometría.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, planos, segmentos, rayos y ángulos. Explica términos como puntos colineales, puntos coplanarios, clasificación de ángulos y relaciones entre ángulos. También incluye ejemplos y ejercicios para practicar el reconocimiento y cálculo de ángulos.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría incluyendo definiciones de puntos, líneas, planos, ángulos y sus clasificaciones. También explica teoremas sobre rectas paralelas y transversales y cómo resolver problemas relacionados con segmentos, rayos, puntos colineales y coplanarios.
El documento presenta información sobre geometría para el grado sexto. Incluye conceptos como puntos, líneas, planos, ángulos y sus propiedades. También incluye ejercicios prácticos para identificar y nombrar estas figuras geométricas.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría euclidiana, incluyendo puntos, rectas, segmentos de recta, ángulos y triángulos. Explica el método deductivo utilizado en geometría y define términos como bisectriz, mediatriz, altura y otros elementos geométricos. También incluye postulados sobre puntos, rectas, ángulos y medidas de segmentos, así como teoremas sobre ángulos opuestos por el vértice y complementos de ángulos congruentes.
Este documento presenta definiciones y postulados básicos de la geometría euclidiana. Define puntos, líneas, planos, segmentos y rayos. Explica que un punto indica una ubicación sin tamaño, una línea es un camino recto infinito que contiene puntos, y un plano es una superficie plana infinita que contiene líneas. También describe cuatro postulados fundamentales: a través de dos puntos hay una línea única, dos líneas se cortan en un punto, dos planos se cortan en una lí
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Este documento presenta un método generalizado para calcular potencias de integrales mediante la regla de la potencia. Explica cómo construir el método y proporciona un ejemplo para ilustrar su aplicación.
El documento resume diferentes métodos para calcular el área bajo una curva, el área entre curvas, y el volumen generado al girar curvas alrededor de los ejes X e Y utilizando discos o aros. Explica cómo calcular estas cantidades utilizando las funciones superior, inferior, derecha e izquierda, y la diferencia entre ellas. También cubre el cálculo del volumen utilizando arandelas.
Este documento presenta información sobre un taller de cálculo integral impartido por Yolvi Adriana Córdoba Buitrago en el Departamento de Ciencias Básicas de las Unidades Tecnológicas de Santander.
Este documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como el concepto de integral, notación de antiderivadas, teoremas para encontrar y determinar antiderivadas y ejercicios de práctica.
Este documento presenta métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la regla de Cramer para sistemas de tamaño nxn, y proporciona ejercicios de práctica de un libro de texto junto con instrucciones para que se resuelvan a mano y se verifiquen usando tecnología.
Este documento describe los conceptos fundamentales de los determinantes de matrices, incluyendo su definición, propiedades clave y cómo calcularlos. Explica que los determinantes proporcionan información sobre la singularidad de una matriz y su relación con la solución de sistemas de ecuaciones lineales. También cubre los conceptos de menores, cofactores y desarrollo de determinantes por filas o columnas.
El documento presenta información sobre un taller de cálculo integral dictado por la profesora Yolvi Adriana Córdoba Buitrago en el Departamento de Ciencias Básicas de las Unidades Tecnológicas de Santander. El taller cubrirá el teorema fundamental del cálculo.
Este documento trata sobre el cálculo integral. Explica la definición de la integral definida como la suma de Riemann, y sus propiedades como la linealidad y comparación. También cubre la interpretación geométrica de la integral como la diferencia de áreas bajo la curva, y casos especiales como funciones simétricas donde la integral puede ser 0.
1. El documento presenta fórmulas para calcular derivadas de funciones definidas de manera simple y compuesta.
2. Se proporcionan ejemplos de cálculo de derivadas de funciones compuestas por sumas, restas, potencias, productos, cocientes, funciones trigonométricas y logarítmicas.
3. Los ejercicios guían al lector en aplicar los teoremas de derivación a diversos tipos de funciones.
Este documento trata sobre la derivada de una función y sus aplicaciones. Presenta la definición de derivada como el límite de la pendiente de una curva y explica cómo se puede usar la derivada para determinar puntos críticos, extremos y puntos de inflexión de una función. También incluye reglas para derivar funciones algebraicas, exponenciales y logarítmicas.
El documento describe cómo aproximar el área mediante sumas infinitas de rectángulos. Explica que cuanto más pequeños sean los rectángulos, más aproximado estará el cálculo del área total. También menciona generalizar el proceso y realizar una actividad para entregar.
Este documento presenta información sobre álgebra lineal impartida por la profesora Yolvi Adriana Cordoba Buitrago. Incluye ejercicios de álgebra matricial como encontrar submatrices, multiplicar matrices, operaciones matriciales y resolver ecuaciones matriciales, además de ejemplos y aplicaciones de las matrices.
Este documento presenta una guía de estudio sobre matrices para una asignatura de álgebra superior. Incluye tres actividades de aprendizaje con ejercicios para practicar operaciones matriciales, sistemas de ecuaciones y problemas aplicados a situaciones reales. El objetivo es que los estudiantes adquieran competencias en el modelado de problemas mediante el uso de matrices.
Cultivar el deseo interno de aprender y descubrir fomenta una motivación intrínseca que conduce a un aprendizaje más motivante y divertido. La motivación intrínseca proviene del interés y disfrute de la actividad en sí misma en lugar de recompensas externas.
Este documento proporciona instrucciones para un proyecto final sobre el uso de tecnología para optimizar los procedimientos del álgebra lineal. Los estudiantes deben crear un tutorial o sitio web interactivo explicando cómo usar software matemático u otras herramientas tecnológicas para trabajar cuatro temas del álgebra lineal. El proyecto debe entregarse antes del 10 de noviembre y será calificado según siete criterios como la explicación teórica y práctica del uso de la tecnología para optimizar los procedimientos
La razón de cambio promedio mide el cambio en la posición durante un intervalo de tiempo, mientras que la razón de cambio instantánea mide el cambio en la posición en un instante de tiempo. La derivada representa la razón de cambio instantánea y puede usarse para calcular la velocidad instantánea.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre álgebra lineal que abordan conceptos como espacios vectoriales, subespacios, combinaciones lineales, generadores e independencia lineal. Los ejercicios piden determinar si ciertos conjuntos son espacios vectoriales o subespacios, identificar si vectores pertenecen a generadores dados, y determinar si conjuntos de vectores son linealmente dependientes o independientes.
1) El documento presenta 8 ejercicios para hallar la ecuación de planos que cumplen ciertas condiciones como contener puntos específicos o ser paralelos/perpendiculares a otros planos u objetos geométricos. 2) También presenta 6 ejercicios para hallar las ecuaciones de rectas que cumplen condiciones como contener puntos, ser paralelas o perpendiculares a otros planos u objetos. 3) El objetivo es practicar el concepto de planos y rectas en geometría analítica.
1. DEPARTAMENTODECIENCIAS BÁSICAS
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
1
1.CONCEPTOS BÁSICOS: PUNTO, RECTA,
PLANO Y ESPACIO
1.1. PUNTO: Un punto es una idea o abstracción. El punto es adimensional
(cerodimensiones).Unpuntonopuede definirse contérminosmássencillos,porejemplo,unpuntoeslahuella
dejada por la marca de un lápiz.
1.2. RECTA: Una recta esuna ideao abstracción.La recta es unidimensional
(una dimensión). Se puede describir como una longitud ilimitada, sin
grosor ni extremos. Se puede pensar en una recta como la línea más
delgada que se puede trazar. Su magnitud se da en unidades lineales.
1.3. PLANO: Una plano es una idea o abstracción. Un plano tiene longitud y
anchura pero no espesor, es decir, el plano es bidimensional (dos
dimensiones). Puede representarse por medio de una pizarra o el lado
de una caja. Su magnitud se da en unidades cuadradas.
1.4. ESPACIO: El espacio es una idea o abstracción. El espacio es
tridimensional (tres dimensiones) y su magnitud se da en unidades
cúbicas. Se describe como el conjunto de todos los puntos.
Ilustración:
EJERCICIO No 1:
Punto,línea,planoyespaciosontérminosindefinidos.Indique cuál de estostérminosse ilustracon:
a. La cubiertade unescritorio
b. Una pantallacinematográfica
c. El filode unaregla
d. Un hiloentensión
e. La puntade un alfiler
f. Una alcancía
Punto
Circunferencia,
L=2πr
Círculo,
Área: πr2
Esfera,
V=4/3πr3
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2.RELACIÓN ENTRE PUNTO, RECTA, PLANO Y ESPACIO.
2.1. Los puntos siempre se nombran con letras mayúsculas, así:
2.2. Dados dospuntoscualesquieraesposibletrazarunarecta que pase por ellos. En ocasiones se nombre con una
letra minúscula y una flecha encima o con los puntos que se encuentran en ella.
A
B
C
A, B y c son colineales. A, D y C son no
colineales. A, B, C y D están en el mismo
plano; son puntos coplanares. Los puntos
que como conjunto no están en el mismo
plano son no coplanares
A
B
C
D
Los puntos colineales son puntos que están
en la misma recta.
Los puntos coplanares son puntos que se
encuentran en un mismo plano.
Modelo físico Descripción Definición
Las rectas 𝑙⃡y 𝑚⃡ se intersecan en el punto A
Las rectas intersecantes son dos rectas con
un punto en común.
𝑚⃡
𝑙⃡
A
Las rectas 𝑙⃡ y 𝑚⃡ no tienen un punto en
común. 𝑙⃡es paralela a 𝑚⃡ , y se denota 𝑙⃡ ∥
𝑚⃡
Las rectas paralelas son rectas que están
en el mismo plano y no se intersecan.
Las rectas 𝑝⃡, 𝑞⃡ y 𝑟⃡ tiene un punto en
común. Son rectas concurrentes.
Las rectas concurrentes son 3 o más rectas
coplanares que tiene un punto en común.
𝑝⃡
𝑞⃡
𝑟⃡
𝑙⃡
𝑙⃡
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3
2.3. Dados 3 o más puntos en un mismo plano (coplanares) pueden o no ser colineales.
2.4. Dos rectas coplanares si se intersecan lo hacen en un punto.
2.5. Tres puntos cualesquiera determinan un plano, tiene que ser no colineales.
2.6. Cuatro puntos cualesquiera uno de ellos no coplanar forman un espacio.
EJERCICIO No 2:
i. Menciónense grupos de tres puntos colineales de la figura siguiente:
A
B
CD
E
F G
𝑙⃡D
𝑙⃡
D
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ii. Aunque no se hayan dibujado, hay una recta que pasa por cada par de puntos. Cítense dos de estas rectas en la
figura, diferentes de 𝐴𝐹⃡ 𝑦 𝐺𝐶⃡ .
iii. ¿Es posible dibujar cuatro rectas que se intersequen en un punto? ¿Es posible dibujar cuatro rectas que se
intersequen en 2, 3, 4, 5, 6 o más puntos, hágase un dibujo que ilustre cada caso?
iv. ¿Cuántas rectas pueden determinar seis puntos si hay una recta que pasa por cada par de puntos?
Resuelva los siguientes puntos de acuerdo con la figura de la
derecha:
v. Enumérense tres pares de rectas intersecantes.
vi. Enumérense tres rectas concurrentes.
vii. Dibújense cuatro rectas concurrentes.
3.LÍNEA RECTA, SEGMENTO, RAYO Y ÁNGULO.
3.1. RECTA: Una línearecta se puede entendercomounconjuntode puntos
alineados en una única dirección. Se denotará de la siguiente manera 𝑎⃡.
3.2. SEGMENTO: Un segmento 𝐴𝐵̅̅̅̅,esel conjuntode lospuntos que están entre A y B
incluidos estos.
3.3. RAYO: Un rayo 𝐴𝐵 es un subconjunto de una línea recta que comienza en
el puntoA y que se extiende enformailimitadaenladireccióndel punto B.
3.4. ÁNGULO: Es la figura formada por dos rayos no colineales que tienen el mismo
extremo.Losrayos son los lados del ángulo mientras que el punto de intersección
de los rayos es el vértice. El símbolo para el ángulo es ∠.
𝑎⃡
A
B
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EJERCICIO No3
B. Determínese para la siguiente figura todos los segmentos, rayos, y rectas que hay.
4.RELACIÓN ENTRE LAS RECTAS
4.1. Dadas dos rectas coplanares, éstas pueden ser intersecantes si se cortan o PARALELAS si no se cortan.
La recta 𝑠⃡es paralela a la recta 𝑡⃡y se escribe 𝑠⃡∥ 𝑡⃡.
La recta 𝑚⃡ no es paralela a la recta 𝑠⃡y se escribe 𝑚⃡ ∦ 𝑠⃡.
𝑚⃡
𝑠⃡ 𝑡⃡
A
B C
D E
F
GH O
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6
4.2. Si dos rectas coplanares se intersecan formando un ángulo de 90 grados, éstas rectas se llaman
PERPENDICULARES.
5.RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARES:
6.POSTULADOS GEOMÉTRICOS
𝑝⃡
𝑞⃡
𝑟⃡
𝑞⃡ es perpendicular a 𝑝⃡y se
escribe 𝑞⃡ ⊥ 𝑝⃡.
𝑟⃡no es perpendicular a 𝑞⃡ y se
escribe 𝑟⃡∤ 𝑞⃡
Modelo físico Descripción Definición
𝑙⃡es perpendicular a 𝑚⃡ y se escribe 𝑙⃡⊥ 𝑚⃡
Dos rectas son perpendiculares si al
intersecarse forman ángulos rectos.
La recta 𝑙⃡es perpendicular a las rectas
𝑚⃡ , 𝑛⃡ y 𝑝⃡, etc. Por tanto, la recta 𝑙⃡ es
perpendicular al plano A.
Una recta es perpendicular a un plano si es
perpendicular a cada una de las rectas del
plano que intersecan a la recta.
La recta 𝑚⃡ del plano Bes perpendicular al
plano A; por tanto, el plano B es
perpendicular al plano A.
Dos planos son perpendiculares si en uno
de ellos hay una recta que es perpendicular
al otro.
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7
𝛼
Un postuladoesuna generalizaciónbásica aceptada sin demostración. Pueden compararse con las reglas de un juego.
En el “juego de la geometría” se aceptan como verdad y se usan como ayuda en la demostración de los teoremas.
1. Postulado de la existencia de los puntos:
El espacio existe y contiene por lo menos cuatro puntos no coplanares.
Un plano contiene por lo menos tres puntos no colineales.
Una recta contiene por lo menos dos puntos.
2. Postulado del punto y la recta:
Para afirmarque una líneaes recta, se requiere una y sólo una, línea que contenga dos puntos
cualesquiera.
3. Postulado del punto y el plano:
Tres puntos no colineales están contenidos en uno y sólo un plano.
Nota: Los planos se nombrarán con las letras del alfabeto griego.
4. Postulado de la intersección de planos:
Si dos planos se intersecan, se intersecan exactamente en una recta.
5. Postulado de los dos puntos, la recta y el plano:
Si dos puntos están en un plano entonces la recta que los contiene está en el plano.
6. Postulado de la separación de planos: Sea 𝛼 un plano y 𝑙⃡una recta en 𝛼. Los puntos
del plano que no estén en 𝑙⃡forman 2 semi-planos de manera que:
a. Cada semiplano es un conjunto convexo.
b. Si P está en un semi-plano y Q está en el otro, entonces PQ interseca a 𝑙⃡.
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8
7. Postulado de la separación del espacio:
Sea 𝛼 un plano en el espacio. Los puntos del espacio que no estén sobre 𝛼 forman 2 semi-
espacios de manera que:
a. Cada semi-espacio es un conjunto convexo.
b. Si un punto A está en un semi-espacio y B está en el otro, entonces 𝐴𝐵̅̅̅̅ interseca a 𝛼.
NOTA: Un polígono es convexo si todas sus diagonales están en el interior del polígono.
8. POSTULADO DE LAS PERPENDICULARES:
Dados unpuntoy una recta enun plano, hay exactamente una recta que pasa por el punto
y es perpendicular a la recta dada.
Dado un plano en el espacio y un punto que no está en ese plano, hay exactamente una
recta que pasa por el punto y es perpendicular al plano dado.
EJERCICIOS No 4:
En losejerciciosi al viii complétenselosenunciadosconlaspalabras: punto,recta,planoy espacio.Dígase que postulado
sugiere la proposición completa.
i. Si los dos puntos están en un plano, entonces ________________ que los contiene está en el plano.
ii. Un ________________ contiene por lo menos tres puntos no colineales.
iii. Dos puntos están contenidos en a lo sumo ________________
iv. Si dos planos se intersecan, se intersecan exactamente en ________________
v. Hay exactamente ________________ que pasa por un punto dado y es perpendicular a un plano dado.
vi. Un plano separa ________________ en dos semi-espacios.
vii. En un plano, hay exactamente ________________ que pasa por un punto dado y es perpendicular a una recta
dada.
viii. Una recta separa ________________ en dos semiplanos.
En losejerciciosix al xii formúleseunpostulado que permite llegar a la conclusión de que la proposición es verdadera.
ix. Dos planos distintos α y β, no pueden contener dos rectas distintas de 𝑙⃡y 𝑚⃡ .
x. Tres puntos no colineales A, B y C, no pueden estar en dos planos distintos de α y β.
xi. El espacio puede contener más, pero no menos de cuatro puntos no colineales y no coplanares.
xii. Si dos puntosJ y K estánendiferentessemi-planos determinados por una recta 𝑙⃡, el segmento 𝐽𝐾̅̅̅ interseca a 𝑙⃡.
¿Cuántos planos pueden determinarse con cuatro puntos entre los cuales no hay tres que sean colineales?
6.ALGUNOS AXIOMAS, DEFINICIONES Y TEOREMAS
AXIOMA 1 (A1):
a. Toda recta es un conjunto de puntos
𝛼
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9
b. Todo plano es un conjunto de puntos
AXIOMA 2 (A2):
a. Existen por los menos dos puntos
b. En todo plano hay por lo menos un punto
AXIOMA 3 (A3):
Si A y B son puntos, entonces existe una y solo una recta que contiene a A y B.
AXIOMA 4 (A4):
Si 𝑚⃡ es una recta, entonces existe un punto Q tal que Q no está en 𝑚⃡ .
AXIOMA 5 (A5)(Axioma de las paralelas):
Si 𝑚⃡ 1 esuna recta y Q un puntoexterior a 𝑚⃡ 1, entoncesexiste unaysolauna recta que contiene a Q y es paralela a 𝑚⃡ 1.
DEFINICIÓN 1: Si un punto Q o está en una recta 𝑚⃡ , se dice que un punto Q es un punto exterior a la recta 𝑚⃡
DEFINICIÓN 2: Se dice que dos rectas 𝑚⃡ 1 y 𝑚⃡ 2 son paralelas si se denota que:
I. Están en un mismo plano
II. No se intersecan.
TEOREMA 1: Existen al menos dos rectas diferentes.
TEOREMA 2: Todo punto se encuentra al menos sobre dos rectas
I. Corolario: ninguna recta es vacía.
TEOREMA 3: Toda recta contiene por lo menos dos puntos.
I. Toda recta queda determinada por dos cualquiera de sus puntos que sean distintos.
TEOREMA 4: Existen por lo menos cuatro puntos distintos.
TEOREMA 5: Existen por lo menos seis rectas distintas
Hasta ahora se han buscado objetos de nuestro mundo que sugieren conceptos geométricos. Se han elegido los
conceptos básicos –punto, recta, y plano- y se les ha llamado términos indefinidos. A partir de estos términos se
obtuvieron definiciones para describir otras figuras geométricas como segmentos, rayos y ángulos, y se han definido
relaciones como paralelismo y perpendicularidad.
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Ahoraes el momentode darel siguiente paso.Se requiere unmétodoparacomprobarque algunasgeneralizacionesson
verdaderasparatodoslos casos.El métodoque se emplearáse llama razonamientodeductivo.Este procesorequiere la
aceptaciónde unascuantas generalizacionesbásicassincomprobarlasllamados axiomas y postulados. Todas las demás
generalizaciones que pueden probarse como verdaderas con la ayuda de definiciones, postulados y la lógica del
razonamiento deductivo, se llaman teoremas y corolarios.
Razonamiento deductivo:
Paso 1: Empiécese con las condiciones dadas.
Paso 2: Úsese lalógica,definiciones,postulados o teoremas previamente probados para justificar una serie de
proposiciones o pasos que den el resultado deseado.
Paso 3: Afírmese el resultado (la conclusión)
ACTIVIDAD PRACTICA
1. Escribe la definición de cada término yrepreséntelo grafica ysimbólicamente.
Punto
Recta
Plano
Espacio
Puntos colineales
Puntos coplanares
Rectas intersecantes
Rectas paralelas
Rectas concurrentes
Segmento
Rayo
Angulo
Triángulo
Cuadrilátero
Círculo
Segmentos congruentes
Ángulos congruentes
Angulo agudo
Angulo recto
Angulo obtuso
Bisectrizde un ángulo
Punto medio de un segmento
Bisectrizde un segmento
Rectas perpendiculares
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Recta perpendicular a un plano
Planos perpendiculares
Bisectrizperpendicular
Distancia de un punto a una recta
Polígono
Diagonal de u n polígono
Polígono convexo
Triángulo equilátero
Triángulo isósceles
Polígono regular
Para la próximaclase traercompas,transportador,reglay escuadras.
Hojasblancas.