Este documento presenta la resolución de dos problemas que involucran el uso de derivadas. El primer problema demuestra que una ecuación tiene exactamente dos soluciones reales aplicando los teoremas de Bolzano y Rolle. El segundo problema prueba una desigualdad entre funciones derivando una función auxiliar y analizando su crecimiento.

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PROBLEMA RESUELTO: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Aplicar el teorema de Bolzano para acotar raíces de una ecuación.
• Aplicar el Teorema de Rolle.
• Utilizar las derivadas para demostrar una desigualdad entre funciones.

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PROBLEMA RESUELTO: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
ENUNCIADO
Justifica:
a) La ecuación 𝑥2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 tiene exactamente dos soluciones reales.
b) Para todo número real x, se cumple 1 −
𝑥2
2
≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥

3. a) La ecuación 𝑥2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 tiene exactamente dos soluciones reales.
En primer lugar, si pasamos todo al miembro de la izquierda, la ecuación se transforma en:
𝑥2
− 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0
Por tanto definimos la función:
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
Tenemos que probar que la función f(x) se anula en exactamente dos puntos. Para ello aplicaremos el Teorema de
Bolzano.
Observemos que la función f es continua en el conjunto de los números reales.
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4. A continuación buscamos los valores para aplicar el Teorema de Bolzano.
𝑓 −𝜋 = 𝜋2 + 1 > 0
𝑓 0 = −1 < 0
Por tanto aplicando el Teorema de Bolzano en el intervalo −𝜋, 0 , se tiene que existe un valor 𝑐 ∈
−𝜋, 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑐 = 0
Si continuamos dando valores tenemos que:
𝑓 0 = −1 < 0
𝑓 𝜋 = 𝜋2
+ 1 > 0
Por tanto aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano en el intervalo 0, 𝜋 , se tiene que existe un valor 𝑑 ∈ 0, 𝜋
tal que 𝑓 𝑑 = 0
Ahora tenemos que probar que sólo existen dos valores que anulan a la función.
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5. Para ello utilizaremos el Teorema de Rolle.
Si derivamos la función, tenemos:
𝑓´ 𝑥 = 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2𝑥 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
Si igualamos a cero se tiene que:
𝑥 2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
𝑥 = 0
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2
Por tanto la única solución posible es x=0.
Para concluir el ejercicio, vamos a razonar por reducción al absurdo. Supongamos que existe un tercer valor p
distinto de c y d calculados anteriormente en el cual la función f se anulase.
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Esta ecuación no tiene solución
ya que −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1

6. Supongamos que c<d<p (por ejemplo, en otro caso se razona de forma similar)
Entonces tenemos que 𝑓 𝑐 = 𝑓(𝑑) y f es derivable, por lo que aplicando el Teorema de Rolle, se tiene que 𝑓´ 𝑥
se anula en algún punto de 𝑐, 𝑑 .
Por otro lado tenemos que 𝑓 𝑑 = 𝑓(𝑝) y f es derivable, por lo que, de nuevo aplicando el Teorema de Rolle,
tenemos que 𝑓´(𝑥) se anula en algún punto del intervalo (𝑑, 𝑝)
Esto nos indicaría que 𝑓´(𝑥) se anula en al menos dos puntos distintos, pero esto no es posible ya que hemos
comprobado anteriormente que 𝑓´(𝑥) sólo se anula en x=0.
Por tanto la función f(x) no puede anularse en más de dos puntos, o equivalentemente la ecuación 𝑥2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 no puede tener más de dos soluciones reales.
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c d p

7. b) Prueba que para todo número real se cumple 1 −
𝑥2
2
≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥
Expresamos la desigualdad de la siguiente forma:
0 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 +
𝑥2
2
Definimos la función
ℎ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 +
𝑥2
2
Ahora el problema se reduce a demostrar que ℎ(𝑥) ≥ 0.
La función h(x) es una función derivable, y su derivada viene determinada por:
ℎ´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥
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8. Si volvemos a derivar obtenemos:
ℎ´´ 𝑥 = −cosx + 1
Observamos que como −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1, entonces:
ℎ´´ 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ
Esto nos indica que la función ℎ´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥 es creciente en ℝ.
Como ℎ´ 0 = 0, se tiene que ℎ´(𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ 0, ∞
Por lo tanto h(x) es creciente en [0, ∞), y h(0)=0, por lo tanto tenemos que:
ℎ 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ 0, ∞
Para concluir el ejercicio bastará con:
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9. ℎ −𝑥 = ℎ 𝑥
Es decir la función h(x) es simétrica par.
Por lo tanto tenemos que
ℎ 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ
De esta forma se prueba que:
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 +
𝑥2
2
≥ 0∀𝑥 ∈ ℝ
Y en consecuencia
1 −
𝑥2
2
≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∀𝑥 ∈ ℝ
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