Este video tutorial resuelve un problema de cálculo de áreas delimitadas por una parábola y sus tangentes. Primero se encuentran los puntos de intersección con el eje x y se calculan las ecuaciones de las tangentes. Luego se grafica la región y se calculan las integrales para hallar el área total, la cual resulta ser 16/3 unidades cuadradas.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: CÁLCULO DE ÁREAS
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Representar gráficamente el recinto que delimitan varias curvas.
• Calcular el área de dicho recinto.

2. ENUNCIADO
a) Dibuje el recinto plano limitado por la parábola de ecuación 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2 y las tangentes a
la curva en los puntos de intersección con el eje de abscisas.
b) Halla el área del recinto anterior.
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a) Dibuje el recinto plano limitado por la parábola de ecuación 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2 y las tangentes a la curva en los
puntos de intersección con el eje de abscisas.
En primer lugar vamos a calcular los puntos de intersección con el eje de abscisas.
Para ello debemos resolver el sistema de ecuaciones:
𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2
𝑦 = 0
La solución de este sistema viene dada por:
𝑥 = 0 𝑥 = 4
Por tanto los puntos de intersección de la gráfica con el eje de abscisas son:
(0,0) (4,0)

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Calculamos a continuación las ecuaciones de la recta tangente a la gráfica en ambos puntos.
Recordemos que la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto 𝑥 = 𝑎 viene determinada por:
𝑦 − 𝑓 𝑎 = 𝑓´(𝑎)(𝑥 − 𝑎)
Como 𝑓 𝑥 = 4𝑥 − 𝑥2
, entonces
𝑓´ 𝑥 = 4 − 2𝑥
La recta tangente en (0,0) viene determinada por:
𝑦 − 𝑓 0 = 𝑓´ 0 𝑥 − 0 𝑦 − 0 = 4 𝑥 − 0
O equivalentemente:
𝑦 = 4𝑥

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La ecuación de la recta tangente en el punto (4,0) viene dada por:
𝑦 − 𝑓 4 = 𝑓´ 4 𝑥 − 4 𝑦 − 0 = −4 𝑥 − 4
Es decir viene dada por:
𝑦 = −4𝑥 + 16
A continuación vamos a realizar la representación gráfica de la curva y de las dos rectas obtenidas.
Para representar gráficamente la curva, observamos en primer lugar que se trata de una parábola, por tanto
debemos calcular el vértice (podemos usar la fórmula , si se conoce, del vértice, o recordar que es el único
extremo de la función, por tanto basta con calcular la derivada e igualarla a cero).
Tenemos que
𝑓´ 𝑥 = 4 − 2𝑥
Por tanto al igualar a cero tenemos:

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4 − 2𝑥 = 0 𝑥 = 2
Por tanto el vértice se tiene en x=2, y viene dado por el punto (2,f(2))=(2,4)
A continuación para representarla basta con dar valores .
𝑦 = −4𝑥 + 16
𝑦 = 4𝑥

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b) Halla el área del recinto anterior.
Para calcular el área del recinto anterior tenemos que hallar el punto de corte de las dos rectas y para ello
debemos resolver el sistema:
𝑦 = 4𝑥
𝑦 = −4𝑥 + 16
Este sistema tiene como 𝑥 = 2, es decir el punto 2,8
Por lo tanto el área de la región anterior viene dada por:
𝐴 =
0
2
4𝑥 − (4𝑥 − 𝑥2
) 𝑑𝑥 +
2
4
−4𝑥 + 16 − 4𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥

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Vamos a realizar estas integrales por separado:
1. 0
2
4𝑥 − (4𝑥 − 𝑥2) 𝑑𝑥 = 0
2
𝑥2 𝑑𝑥 =
1
3
𝑥3 2
0
=
1
3
23 − 03 =
8
3
2. 2
4
−4𝑥 + 16 − 4𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 2
4
𝑥2 − 8𝑥 + 16 𝑑𝑥 =
1
3
𝑥3 −
8
2
𝑥2 + 16𝑥
4
2
=
1
3
· 43 −4 · 42 + 16 · 4 −
1
3
· 23 −4 · 22 + 16 · 2 =
8
3
Por lo tanto el área de la región viene determinada por:
𝐴 =
8
3
+
8
3
=
16
3
𝑢2
FIN