Este documento presenta un resumen del movimiento de un péndulo simple. Explica que Galileo fue el primero en describir el movimiento de un péndulo y realizó experimentos que demostraron que la masa del objeto que oscila no afecta el período de oscilación. Luego, define las características de un péndulo simple ideal y presenta las ecuaciones matemáticas que describen su movimiento oscilatorio armónico. Finalmente, explica que el período de oscilación de un péndulo depende solo de su longitud.

1. GU´ DE LABORATORIO PENDULO SIMPLE
IA ´
GRUPO CAVENDISH
Programa Lic. Matem´ticas y F´
a ısica
Facultad de Ciencias Humanas y de la Educaci´n
o
21 de noviembre de 2010

2. 2

3. Cap´
ıtulo 1
P´ndulo simple
e
Antecedentes hist´ricos
o
La primera descripci´n del movimiento de un
o
p´ndulo se debi´ a Galileo Galilei. Se dice que
e o
se produjo mientras observaba la regularidad del
movimiento de una l´mpara colgada del techo de la
a
catedral de Pisa, llegando a medir el tiempo que
demoraba en realizar una oscilaci´n con su pro-
o
pio pulso, arribando a la conclusi´n de que to-
o
das las l´mparas tardaban el mismo tiempo en
a
realizar una oscilaci´n completa. Con esta idea,
o
prepar´ una serie de experimentos para investigar
o
el movimiento al que llam´ pendular (movimien-
o
to de cosas que cuelgan de un hilo) Galileo con-
struy´ dos p´ndulos del mismo volumen, pero uno
o e
con una esfera de metal y otro con una de madera.
¡Incre´ıble, los dos tardan el mismo tiempo en os-
cilar¡
Resulta que Arist´teles estaba equivocado, efectivamente, con este ultimo experi-
o ´
mento Galileo obtuvo la clave para dominar las mediciones del tiempo,cuando uti-
lizaba un hilo largo, el p´ndulo tardaba mucho en ir y venir, y cuando lo acortaba,
e
la oscilaci´n se hac´ m´s r´pida.
o ıa a a
Interesante le resultaba a Galileo que, cuando la longitud de un p´ndulo se hace
e
el doble de largo que otro, no tarda el doble del tiempo en realizar una oscilaci´n
o
completa, sino 1.5 veces m´s lento, por lo que para hacerlo el doble de lento debe
a
cuadriplicarse la longitud. A estas conclusiones lleg´ Galileo experimentalmente, sin
o
apenas contar con la matem´tica necesaria para obtener estos resultados, lo cual se
a
hace hoy en d´ a trav´s del c´lculo diferencial.
ıa e a
3

4. 4 CAP´ ´
ITULO 1. PENDULO SIMPLE
Fundamento te´rico
o
El p´ndulo simple es un modelo que debe cumplir con las siguientes caracter´
e ısticas:
1- El hilo del que se cuelga la esfera es inextensible y sin masa.
2- La masa de la esfera se considera un cuerpo puntual.
3- No existen agentes que provoquen efectos disipativos. Se desprecian las fuerzas
de fricci´n.
o
Teniendo en cuenta estas condiciones, se puede obtener el modelo matem´tico que
a
permite describir el movimiento del p´ndulo simple.Si la part´ula se desplaza for-
e c
mando un angulo Θ con la vertical y luego se suelta, el p´ndulo queda solamente
´ e
bajo la acci´n de la fuerza del campo gravitatorio a la que se denota por mg. La
o
longitud l, representa el radio del arco de circunferencia que describe la esfera bajo
la acci´n de esta fuerza. Utilizando la segunda ley de Newton y teniendo en cuenta
o
el diagrama de cuerpo libre, se puede plantear que:
n
F = mg
El movimiento oscilatorio que se observa en un p´ndulo simple puede ser de tres
e
tipos:
1. Movimiento oscilatorio no amortiguado. Se produce cuando la fricci´n entre la
o
masa y el aire se puede considerar nula. A este movimiento se le llama tambi´n
e
movimiento arm´nico simple.
o
2. Movimiento oscilatorio amortiguado. Es todo tipo de movimiento oscilatorio
real, para el cual no se puede despreciar la fuerza de fricci´.
n
3. Movimiento oscilatorio forzado. Se produce cuando a un movimiento oscilatorio
subamortiguado se le suministra sistem´ticamente cierta energ´ por un agente
a ıa
externo para compensar la p´rdida por causas de la fricci´n. Un ejemplo
e o
de este tipo de movimiento lo constituye un ni˜ en un columpio, al que
o
sistem´ticamente hay que empujarlo para que no cese su movimiento.
a

5. 5
Como se desprende de su definici´n, el movimiento
o
arm´nico simple es un modelo, porque en la pr´cti-
o a
ca nunca es posible eliminar totalmente la fricci´n o
entre el cuerpo que oscila y el aire, pero este mo-
delo es muy util, porque permite estudiar las ca-
´
racter´ısticas generales de este tipo de movimiento.
Para obtener las ecuaciones del movimiento de un
cuerpo que oscila libremente sin fricci´n, se uti-
o
lizar´n como recursos, el movimiento circunferen-
a
cial uniforme de una part´ ıcula y algunos elementos
de trigonometr´ En un movimiento circunferen-
ıa.
cial uniforme, cada vez que la part´ ıcula completa
una vuelta, la proyecci´n (o la sombra del cuer-
o
po que gira) sobre una direcci´n, digamos el eje
o
X, realiza un movimiento arm´nico simple. Dicha
o
proyecci´ se detiene en los extremos y retorna a su
n
posici´n inicial describiendo un movimiento rec-
o
til´
ıneo oscilatorio. En el punto central (posici´n de
o
equilibrio) la part´ ıcula posee m´xima velocidad,
a
pero la fuerza es nula.
El mismo tiempo T que transcurre mientras se produce una vuelta completa del
cuerpo animado de movimiento circunferencial uniforme, demorar´ la proyecci´n en
a o
volver a tener los mismos valores de todos sus par´metros cinem´ticos (velocidad,
a a
posici´n y aceleraci´n), por lo tanto, el movimiento arm´nico simple de la proyecci´n
o o o o
y el movimiento circunferencial uniforme tienen el mismo per´ ıodo T.
Cuando la part´ ıcula que gira se encuentra en cualquier posici´n, su proyecci´n en el
o o
eje de las X queda definida como:
X = Acos(ωt + ϕo )
Donde A es la m´xima separaci´n desde el punto de equilibrio, que podr´ tener la
a o a
part´
ıcula animada de movimiento arm´nico simple, ω es la frecuencia angular, y
o
ϕo el angulo que formaba el radio de la circunferencia con el eje de las X cuando
´
comenz´ a observarse el movimiento. En el movimiento oscilatorio se le denomina
o
fase a todo el argumento del coseno y constante de fase a ϕo . De forma an´loga, se
a
pueden obtener las ecuaciones de la velocidad y de la aceleraci´n para un movimiento
o
arm´ico simple. De modo que puede escribirse, para la velocidad:
n
V = −ωAsen(ωt + ϕo )
Y para la aceleraci´n:
o
X = −ω 2 Acos(ωt + ϕo )
Si se hubiese encontrado la ecuaci´n de la posici´n a partir de la funci´n seno, los
o o o
resultados habr´ sido semejantes, puesto que entre el seno y el coseno solamente
ıan

6. 6 CAP´ ´
ITULO 1. PENDULO SIMPLE
existe una diferencia de fase de Π/2 radianes. Haciendo un an´lisis dinmico del
a ´
movimiento oscilatorio en el sistema masa resorte, se pueden obtener las ecuaciones
para el per´
ıodo de la masa oscilante. En efecto, un diagrama de cuerpo libre para la
masa que se est´ moviendo permite escribir:
a
ΣF = ma
Pero si se observa la figura del p´ndulo, se puede
e
deducir que, despreciando la fricci´n, las fuerzas
o
que mueven al cuerpo se pueden describir as´ı:
F = mg sen θ
Ecuaci´ que, teniendo en cuenta la segunda ley de
n
Newton, y eliminando la notaci´n vectorial, puede
o
escribirse como:
mg sen θ = ma
Como el modelo del p´ndulo simple presupone
e
que los ´ngulos de oscilaci´n son peque˜os, se
a o n
cumple la relaci´n sen θ ≈ θ y suponiendo
o
que el movimiento se produce en el eje de las
X:
d2 x
a=
dt2
La segunda ley de Newton toma la forma:
d2 x
gθ =
dt2
Del tri´ngulo que forma la el hilo del p´ndulo en una posici´ cualquiera y la vertical,
a e n
x
se obtiene la relaci´n sen θ = L ; lo que combinado con que la oscilaci´n es peque˜a,
o o n
permite escribir la segunda ley de Newton en la forma:
g d2 x
x= 2
L dt
g
Si se hace el cambio de variable L
= ω 2 , esta ecuaci´n queda definitivamente como:
o
d2 x
+ ω2x = 0
dt2
A lo que matem´ticamente se le conoce como una ecuaci´ diferencial de segundo
a o
orden, lineal y homog´nea, y cuya soluci´n es precisamente la ecuaci´n del
e o o
movimiento arm´nico simple:
o
X = A cos (ωt + ϕo )

7. 7
La verificaci´n de que esta funci´n es soluci´n de la ecuaci´n diferencial a la que
o o o o
condujo el problema f´ ısico del p´ndulo simple, puede lograrse con facilidad, derivando
e
dos veces dicha funci´n y sustituyendo el resultado en la propia ecuaci´n diferencial.
o o
El valor de ω que aqu´ se ha tomado como un simple cambio de variable,
ı
est´ relacionado con el per´
a ıodo de la oscilaci´n del p´ndulo y de cualquier movimiento
o e
oscilatorio, a trav´s de la conocida expresi´n obtenida del movimiento circunferencial
e o
uniforme:
2π
ω=
T
g
En donde, si se sustituye, a ω, por su valor, ω = L
, se obtiene, para el per´
ıodo del
p´ndulo la expresi´n:
e o
L
T = 2π 2
g
Que es la expresi´n del per´odo de las oscilaciones peque˜as que se producen en un
o o n
p´ndulo simple, cuando no se tienen en cuenta las fuerzas disipativas de la fricci´n,
e o
y ser´ la ecuaci´n que se utilizar´ para calcular la aceleraci´n de la gravedad en esta
a o a o
pr´ctica de laboratorio.
a
Objetivo general
Determinar experimentalmente el valor num´rico de la aceleraci´n del campo grav-
e o
itatorio (gravedad) en la Universidad de los Llanos.
Objetivos espec´
ıficos
1- Desarrollar habilidades para realizar mediciones de tiempo y londitud.
2- Desarrollar habilidades en la observaci´n, y comparaci´n de un mismo fen´meno
o o o
f´
ısico (la oscilaci´n de un p´ndulo) con diferentes caracter´
o e ısticas.
3- Desarrollar habilidades para describir, sintetizar y generalizar regularidades con
la ayuda de la teor´ de errores y del m´todo gr´fico de an´lisis de los resultados.
ıa e a a
Preguntas iniciales
1. ¿Qu´ es un p´ndulo simple¿ A cualquier p´ndulo puede llam´rsele simple¿
e e e a
˜
2. ¿Por quA c al p´ndulo simple tambi´n se le llama p´ndulo matem´tico¿
e e e a
3. ¿Qu´ elementos conforman al p´ndulo simple¿
e e

8. 8 CAP´ ´
ITULO 1. PENDULO SIMPLE
4. ¿Por qu´ el angulo de oscilaci´n de un p´ndulo simple debe ser peque˜o¿ ¿qu´ tan
e ´ o e n e
peque˜o debe ser dicho angulo¿
n ´
5. ¿Qu´ caracter´
e ısticas debe tener el hilo con el que se construye un p´ndulo simple¿
e
6. ¿Cu´les son las variables a considerar para medir el per´
a ıodo de un p´ndulo simple
e
y c´mo deben medirse¿
o
7. ¿Qu´ tipo de movimiento describe la masa de un p´ndulo simple¿
e e
8. ¿Cu´l es la ecuaci´n que determina las caracter´
a o ısticas de un movimiento arm´nico
o
˜
simple¿ ¿Bajo quA c condiciones se cumple esta ecuaci´n para el p´ndulo simple?
o e
‘
9. El estudiante debe saber representar gr´ficamente el desplazamiento contra el
a
tiempo para el movimiento del p´ndulo ayud´ndose de una hoja de c´lculo de Excel.
e a a
10. ¿Qu´ magnitud se debe medir en el desarrollo de esta pr´ctica para poder hallar
e a
la aceleraci´n de la gravedad¿
o
11. ¿Cu´les deben ser las medidas de seguridad y precauciones que deben tenerse
a
en cuenta para realizar este experimento¿
12. ¿Cu´les son los elementos que deben tenerse en cuenta para garantizar que el
a
experimento se realice bajo el modelo previsto¿
13. ¿Cu´les son los errores que se pueden cometer al realizar este experimento¿
a
Materiales
. Esfera de plomo.
. Hilo inextensible de diferentes longitudes.
. Soporte universal.
. Regla.
. Cron´metro.
o
. Transportador.
T´cnica operatoria: Antes de pasar a realizar el trabajo experimental, los estudi-
e
antes deben pasar por el computador, para que interactu´n con el simulador de esta
e

9. 9
pr´ctica. Cuando el computador le indique que est´n preparados para desarrollar la
a a
parte operatoria, podr´n pasar al laboratorio y realizar los siguientes pasos:
a
1. Realizar el montaje del P´ndulo Simple.
e
2. Poner a oscilar el p´ndulo con un angulo de aproximadamente 5 grados sexages-
e ´
imales. Para ello pueden utilizarse varios m´todos, el estudiante debe elegir uno y
e
justificar dicha elecci´n.
o
3. Colocar la cuerda inextensible a una longitud determinada y contar 60 oscila-
ciones. Repetir este proceso tres veces.
4. Ubicar la cuerda a una longitud diferente a la inicial, y contar 60 oscilaciones,
repetir este proceso tres veces.
5. Repetir el proceso anterior tres veces.
6. Se deben realizar no menos de tres series de mediciones de tiempo para 60 oscila-
ciones, a partir de las cuales se determinar´ el per´
a ıodo promedio del p´ndulo. Los
e
valores deben recogerse en una tabla.
√
7. Se utilizar´ la ecuaci´n ω = 2π l para la determinaci´n indirecta de g.
a o o
8. Se representar´ en un papel cuadriculado los valores obtenidos experimentalmente
a
de longitud vs periodo.
9. Se concluyen los resultados de observar la dependencia de la aceleraci´n de la
o
gravedad con la longitud del hilo.
9. Se analizan todas las fuentes de errores en el experimento, calculando el valor de
los errores relativos y absolutos para presentar el mejor valor de g que puede ser
reportado con este experimento y se confeccionar´ un informe con los resultados,
a
teniendo en cuenta la teor´ de errores que aparece en la primera parte de este man-
ıa
ual de laboratorios.
10. Terminada la parte experimental, los integrantes del grupo deben ingresar al
computador los datos obtenidos en el experimento, al hacerlo, el software le infor-
mar´ si los valores son aceptables o no.
a