Este documento describe la relación entre la sucesión de Fibonacci y el número áureo. La sucesión de Fibonacci surge de un problema sobre el crecimiento de la población de conejos propuesto por Leonardo de Pisa. El número áureo es una constante matemática asociada con la proporción áurea que se encuentra en la naturaleza y en el arte. La relación entre ambos es que si se dividen números consecutivos de Fibonacci, el cociente se acerca al valor del número áureo a medida que los números son mayores.

1. Escuela secundaria técnica 118
Alumna: Carla Arias Silva
Profesor: Luis Miguel Villarreal Matías
Grado y grupo: 3°A
Materia: Matemáticas
Relación entre Número de Fibonacci y
Número Áureo
O3/10/2012

2. Introducción
En este trabajo revisaremos la relación entre dos
grandes series relacionadas con los números “mágicos”
como se les mencionaba anteriormente.
Y buscaremos una relación entre ellos.

3. Relación entre Número de Fibonacci y
Número Áureo
Leonardo da Pisa, conocido también como Fibonacci, fue un matemático ilustre
de su tiempo y uno de los primeros europeos en abogar por el uso del sistema de
numeración arábiga. Después de viajar durante años, en 1202 publicó Liber
Abaci, libro en que recopilaba los conocimientos que había acumulado durante
sus viajes.
En éste aparecía el siguiente problema:
El problema de los conejos
Suponiendo que una pareja de conejos cría otra
pareja cada mes, y que los conejos son fértiles a
partir del segundo mes, ¿cuántos conejos se
pueden tener al cabo de un año?
La solución que dio Fibonacci fue que cada mes
habría las mismas parejas de conejos que ya había
el mes anterior (se suponía que no había muerto
ninguno) más un número nuevo de parejas igual al
número de parejas fértiles, que son las que ya había
2 meses antes. Si escribimos una serie con el número
de parejas que hay cada mes, obtenemos:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...
Esta secuencia recibe el nombre de sucesión de Fibonacci, y cada número es un
número de Fibonacci, que resulta de sumar los dos números anteriores.
Sucesión natural
Los números de Fibonacci aparecen a menudo en la naturaleza. Por ejemplo, se
sabe que de los huevos que pone la abeja reina en una colmena, si están
fecundados nacen abejas obreras o reinas, mientras que de los no fecundados
nacen zánganos. Así pues, las reinas tienen dos progenitores, mientras que los
zánganos tienen sólo uno. El número de individuos en cada generación de
ancestros de un zángano sigue la sucesión de Fibonacci. También siguen la
sucesión de Fibonacci las ramificaciones de algunas especies de hierba, flores,
arbustos o árboles, así como la disposición de los piñones en la piña, o de las

4. florecitas que forman las flores compuestas como las margaritas. Y en el cuerpo
humano, los huesos que forman el dedo índice de la mano están en la misma
proporción que los números 2, 3, 5 y 8.
El Número Áureo
Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que
posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad,
no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas.
Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la
naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las hojas de algunos
árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos
de los girasoles, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la
proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo
largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras
de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido
cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí
dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí
dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:
El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ.

5. Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros
dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo
resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor.
Cálculo del valor del número áureo
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:
Multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:
Igualamos a cero:
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
que es el valor del número áureo, equivalente a la relación .
Relación entre número áureo y número de
Fibonacci
Ahora recordaremos dos grandes aspectos ya mencionados a lo largo del tema
el número áureo y el número de fibonacci recordando sus aspectos más
importantes empezaromos con la sucesión de Fibonacci y posteriormente con el
número áureo.
La sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

6. Recordando que tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación,
matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas,
como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el
tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.
Los números de Fibonacci tienen propiedades matemáticas interesantes, y
muchas operaciones aritméticas entre ellos vuelven a dar números de Fibonacci.
Una de ellas, apuntada por el astrónomo Johannes Kepler es la siguiente: si vamos
dividiendo entre ellos números de Fibonacci consecutivos cada vez mayores, su
cociente se acerca al valor 1.618033... Esta constante se denomina número de
oro, número áureo o divina proporción, y como ya mencionado hace unos
momentos históricamente se le han atribuido propiedades estéticas y he ahí onde
encontramos su relación.

7. Conclusión
En estos momentos ya ha quedado claro su relación
como ya antes revisado se puede ver que todo se
forma a partir de una constancia que ahí se explica.