Taller elaborado por los alumnos : Michelle Torres Aaron Valdivia Damaris Montalvo Josue Durand 5C

1. Montalvo Tordocillo, Dámaris
Durand Vite , Josue
Torres Gamarra, Michelle
Valdivia Lima , Aaron
EQUIPO :
5C
Mg. Valentin Contreras

3. 12
9
O Q
P
X
H H
X
13
5
O
P
Q
𝐶2
= 𝐴2
+ 𝐵2
132
= 𝐴2
+ 52
𝑋2 = 169 − 25 = 144
𝑋 = 144 = 12
𝐶2 = 𝐴2 + 𝐵2
𝑋2 = 122 + 92
𝑋2 = 144 + 81 = 225
𝑋 = 225 = 15
Aplicamos Pitágoras
Aplicamos Pitágoras
1
2
Bloque II
Respuesta : El valor de x es 15 Respuesta : El valor de x es 12

4. O
Q
P
XH H
X
O
P
𝐶2
= 𝐴2
+ 𝐵2
252
= 242
+ 𝑋2
𝑋2
= 625 − 576 = 49
𝑋 = 49 = 7
𝐶2 = 𝐴2 + 𝐵2
172 = 82 + 𝑋2
𝑋2 = 289 − 64 = 225
𝑋 = 225 = 15
17
8
25
24
Aplicamos PitágorasAplicamos Pitágoras
4
5 Bloque II
Respuesta : El valor de x es 15 Respuesta : El valor de x es 7

5. 𝐶2
= 𝐴2
+ 𝐵2
𝑋2
= 92
+ 122
𝑋2
= 51 + 144 = 225
𝑋 = 225 = 15
𝐶2
= 𝐴2
+ 𝐵2
𝑋2 = 62 + 82
𝑋2 = 36 + 64 = 100
𝑋 = 100 = 10
H
6
X
8
O
B
A
37
53
Hallamos el Área
𝐴 =
𝑏. ℎ
2
𝐴 =
𝑏. 6
2
𝐴 = 𝑏. 6 = 48
b=8
H
8 X
15
Q
P
A
12
9
B
Hallamos el Área 1 Hallamos el Área 2
𝐶2
= 𝐴2
+ 𝐵2
𝑋2
= 82
+ 152
𝑋2
= 64 + 225 = 289
𝑋 = 289 = 17
5
6
Bloque II
Respuesta : El valor de x es 17Respuesta : El valor de x es 10

6. 7
Bloque II
H A
P
Q
X
8B
6
𝐶2
= 𝐴2
+ 𝐵2
𝑦2
= 62
+ 82
𝑦2
= 36 + 64 = 100
y= 100 = 10
Por Pitágoras
𝐶2
= 𝐴2
+ 𝐵2
6762
= 𝑋2
+ 102
𝑋2
= 676 − 100 = 576
𝑋 = 576 = 24
Por Pitágoras
Respuesta : El valor de x es24

7. B
A
Q
y
37°
6
En el triángulo QAB :
y = 6 csc 37°
y = 6 (5/3)
y = 10 cm
P
z30°
Por teorema de las tres perpendiculares,
en el triángulo PAB se da que A=90°
z = 6 csc 30°
z = 6 (2)
z = 12 cm
Finalmente, en el triángulo PQB:
P
BQ
12
10
X= 144 − 100
X= 44
X= 2 11 cmx
8
Bloque II
Respuesta : El valor de x es X=2 11
A B

8. P
H
15
Q
A
B
X
60
30
12
53
37
9
𝐾 3=12
𝐾 =
12
3
𝐾=4 3
60°
30
K
2K
𝐾 3
2𝐾 =2(4 3)
X=8 3
9
Por Pitágoras
ANALIZAMOS EL
TRIÁNGULO NOTABLE
Bloque II
Respuesta : El valor de x es X=8 3

9. Tomamos el triángulo PQB
Respuesta:
10
53
45
45
45
P
Q B
K 𝟐
K
K
Aplicamos triángulos
notables
K 𝟐 = 8
K= 8 . 𝟐
𝟐 . 𝟐
K= 8 𝟐
2
8
K= 8 𝟐
2
K= 8 𝟐
2
Tomamos el triángulo PQA
37
53
P
Q A
5K
4K
3K
Aplicamos triángulos
notables
4K= 8 𝟐
2
X
K= 8 𝟐
2
K= 8 𝟐
8
K= 𝟐
5K = 5 𝟐
X= 5 𝟐
X= 5 𝟐
Piden 5k puesto que la “x” se
encuentra en ese lugar
Bloque II

10. Tomamos el triángulo QAB
Respuesta:
11
45
45
Q
A B
K 𝟐
4
Aplicamos triángulos
notables
K 𝟐
K= 4 𝟐
Tomamos el triángulo PQB
37
53
P
Q B
4
Aplicamos Pitágoras
𝒙 𝟐
= 𝟒 𝟐
+(4 𝟐)
𝟐
X
x = 2 𝟏𝟐
4
4
4
K=
4K=
4 𝟐
4 𝟐
𝒙 𝟐
= 𝟏𝟔 + (16x2)
𝒙 𝟐
= 𝟏𝟔 + 𝟑𝟐
x = 𝟒𝟐
x = 2 𝟏𝟐
Bloque II

11. Tomamos el triángulo ABE
Respuesta:
12
B E
4
Por dato
(triángulo
equilátero)
Tomamos el triángulo ABM
30
60
B
M A
K
Aplicamos Pitágoras
𝒙 𝟐
= 𝟐 𝟐
+(2 𝟑)
𝟐
X
x = 4
4
2
2
4
K 𝟑
𝒙 𝟐
= 𝟒+ (4x3)
𝒙 𝟐
= 𝟒 + 𝟏𝟐
x = 𝟏𝟔
x = 4
2
4
A
4
60
60 60
2K
4
2K = 4
K = 2
K 𝟑 = 2 𝟑
Tomamos el triángulo PBM
30
60
P
B M
2 𝟑
2
Bloque II

12. Respuesta:
Bloque 2
13
x = 10
Aplicamos Pitágoras
𝒙 𝟐
= 𝟖 𝟐
+𝟔 𝟐
x = 10
𝒙 𝟐
= 𝟔𝟒+ 36
𝒙 𝟐
= 𝟏𝟎𝟎
x = 𝟏𝟎𝟎
14
Tomamos el triángulo ABF
Aplicamos triángulos
notables
53
37
P
Q A
5K
4K
3K
X
X = 15
4K = 12
K = 3
5K = 5(3)
Respuesta:
x = 15

13. Tomamos el cuadrado AEFQ
Respuesta:
15
A E
6
Por dato
(triángulo
equilátero)
Aplicamos Pitágoras
𝒙 𝟐
= 𝟔 𝟐
+6 𝟐
X
x = 2 𝟔
6
𝒙 𝟐
= 𝟑𝟔+ 36
𝒙 𝟐
= 𝟕𝟐
x = 𝟕𝟐
B
6
60
60 60
Tomamos el triángulo BEF
B
E F
6
6
A
E F
Q
6
6
6
6
Tomamos el triángulo ABE
x = 2 𝟔
Bloque II

14. Tomamos el triángulo AFE
Respuesta:
16
A B
5
Por dato es un
triángulo
equilátero
Aplicamos Pitágoras
𝒙 𝟐
= 𝟓 𝟐
+5 𝟐
X
x =5 𝟐
5
𝒙 𝟐
= 𝟐𝟓 + 25
𝒙 𝟐
= 𝟓𝟎
x = 𝟓𝟎
F
5
60
60 60
Tomamos el triángulo EBF
E
B F
5
5
5
5
5
5
x =5 𝟐
Bloque II

15. Respuesta:
Bloque II
17
Aplicamos Pitágoras
𝒙 𝟐
= 𝟓 𝟐
+12 𝟐
X
x = 13
𝒙 𝟐
= 𝟐𝟓 + 144
𝒙 𝟐
= 𝟏𝟔𝟗
x = 𝟏𝟔𝟗
x = 13
Tomamos el triángulo ABM
B
MA
12
12- 7 = 5
M

16. Respuesta:
Bloque II
18
Tomamos el triángulo AOB
A
O B
9
Aplicamos Pitágoras
𝒙 𝟐
= 𝟏𝟐 𝟐
+9 𝟐
X
x = 15
12
𝒙 𝟐
= 𝟏𝟒𝟒+ 81
𝒙 𝟐
= 22𝟓
x = 𝟐𝟐𝟓
x = 15
9

17. A
B
O
17
15
x
H
17
2
= x + 15
2 2
289 - 225 = x
2
64 = x
8 = x
Por Pitágoras tenemos que:
RESPUESTA : El valor de x es 8
19
Bloque II
Ya que la proyección de 𝐴𝐵 sobre
el plano H forman un ángulo recto
en unión a cualquier otro punto del
plano.

18. A
B
O
12
13
x
H
13
2
= x + 12
2 2
169 - 144 = x
2
25 = x
5 = x
Por Pitágoras tenemos que:
RESPUESTA : El valor de X ES 5
20
Bloque II
Es perpendicular la proyección de 𝐴𝐵
sobre
el plano H forman un ángulo recto
en unión a cualquier otro punto del
plano.

19. A
BO
12
X
H
=12 2k
= k 3x
60
o
=6 k
= 6 3x
Por triángulos notables notamos que:
Entonces:
RESPUESTA : El valor de K es 6 3
21
Bloque II
Perpendicular porque la proyección
de 𝐴𝐵 sobre
el plano H forman un ángulo recto
en unión a cualquier otro punto del
plano.

20. A
BO
16
X
H
=16 4k
= 5kx
53
o
=4 k
= 20x
Por triángulos notables notamos que:
Entonces:
RESPUESTA : El valor de X es 20
22
Bloque II
Se sabe que es perpendicular porque la
proyección de 𝐴𝐵 sobre
el plano H forman un ángulo recto
en unión a cualquier otro punto del
plano.

21. A
BO 8
X
H
=8 4k
= 5kx
37
o
=2 k
= 10x
Por triángulos notables notamos que:
Entonces:
53
o
23
Bloque II
Perpendicular porque la proyección
de 𝐴𝐵 sobre
el plano H forman un ángulo recto
en unión a cualquier otro punto del
plano.
RESPUESTA : El valor de X ES 10

22. H
A
B
Q
15
=
=
k
12
15 5m
=3 m
=
2kx
Por triángulos notables notamos que:
Entonces:
60o
53o
E
m
X
k 3
12 13
3
=k 4 3
Por lo tanto:
=
2(4 3)x =
8 3x =
24
Bloque II
RESPUESTA : El valor de X ES 8 3
Es 90° porque dice que AE es
perpendicular al plano. Al realizar
algunos trazos formamos un
triángulo notable.

23. H
A
B
Q
9
=
k
12
=
2kx
Por Pitágoras tenemos que:
Entonces:
60o
O
15 X
k 3
12 13
3
=k 4 3
Por lo tanto:
=
2(4 3)x =
8 3x =
15
2
= m + 9
2 2
225 - 81 = m
2
144 = m
12 = m
m
25
Bloque II
8 3
RESPUESTA : El valor de X ES 8 3

24. H
A
B
E
9
3k =
5kx
Por triángulos notables tenemos que:
Entonces:
45o
D
X
12 6
Por lo tanto:
=
20 6x =
12 12 =
m
2m
m
37o
=
12 12 2
2
m=6 ∗ 2 6
m=12 6
k = 4 6
26
Bloque II
RESPUESTA : El valor de X es 20 6

25. 3k =
5kx
Por triángulos notables tenemos que:
Entonces:
=
k = 4
H
Q
12
X37
o
12
20x =
27
Bloque II
53°
RESPUESTA : El valor de X es 20

26. 28
Analizamos el triángulo
B
E
A
37 °
53°
X
12
12= 4k
3= k
ENTONCES: remplazamos
X = 5k
5 k = 5 (3)
x=15
RESPUESTA : El valor de X es 15
Bloque II

27. 29 APLICAMOS EL TEOREMA
DE TALES
𝑿
𝟗
𝟖
𝟏𝟐
=
=12X 72
X 6=
RESPUESTA : El valor de X es 6
Bloque II

28. 30
APLICAMOS EL TEOREMA
DE TALES
𝟏𝟔
𝟏𝟖
𝑿
𝟗
=
144 = 18X
8 = X
RESPUESTA : El valor de X es 8
Bloque II

29. 31
APLICAMOS EL TEOREMA
DE TALES
(𝒙−𝟒)
𝟒
𝟓
(𝒙 + 𝟒)
=
(x-4) (x+4) = 20
X -4x +4x -16 = 20
x = 36
x = 6
2
2
RESPUESTA : El valor de X es 6
Bloque II

30. 32
APLICAMOS EL TEOREMA
DE TALES
(𝒙+𝟑)
𝟖
𝟗
(𝒙 − 𝟑)
=
(x+3) (x-3) = 72
X -3x +3x -9 = 72
x = 81
x = 9
2
2
RESPUESTA : El valor de X es 9
Bloque II

31. Respuesta:
33
Se sabe que la recta m esta en la cara superior
del cubo y la recta l en la cara lateral . La recta
l la trasladamos a la otra arista . Así podemos
darnos cuenta que el ángulo que forma es 90°
HALLAMOS EL ANGÚLO
FIGURA 1
FIGURA CON
TRASLADO
90°
Bloque II

32. 34
Trasladamos la recta L a la otra arista. Nos
damos cuenta de que las caras de un cubo
forman un ángulo 90°
HALLAMOS EL ANGÚLO
Respuesta:
90°
FIGURA 1
FIGURA CON
TRASLADO
Bloque II

33. 35
FIGURA CON
TRASLADO
FIGURA 1
Trasladamos la recta m a la otra arista. Nos
damos cuenta de el Angulo que se forma es
de 45 °
HALLAMOS EL ANGÚLO
Respuesta:
45°
45°
Bloque II

34. 36
Trasladamos la m a su lado opuesto de la cara y
nos damos cuenta que se cruza con la L . El
Angulo que forma es 90°
HALLAMOS EL ANGÚLO
FIGURA 1
FIGURA CON
TRASLADO
Respuesta:
90°
Bloque II

36. A
60
30
12
B
F
E
60
30
K
2K
𝐾 3
𝐾 3=12
𝐾 =
12
3
𝐾=4 3
2𝐾 =2(4 3)
X=8 3
A
53
37
12
B
F
E
30
5𝐾 = 30
K=6
3𝐾 = 𝑋
3(6)=X
18=X
Bloque III
1
2
Respuesta : El valor de x es 18
Respuesta : El valor de X es 8√3
x Por ángulo notable
Entonces remplazamos para
hallar X
x
Por ángulo notable
53
37
3K
5K
4K

37. Extraemos el triángulo EFH y
obtenemos lo siguiente:
E
H
F
9
18
Nos encontramos con un
triángulo notable de 60°y
30°:
9
18
9 3
30°
60°
F H
E
3
Bloque II

38. Bloque II

39. Bloque II

40. Bloque II

41. Bloque II
07

42. Nos piden:
𝐴𝐵 −𝑀𝑄
2
= x Tenemos que:
𝐴𝐵 −𝑀𝐸
2
= 24
𝑀𝑄 =
2𝑥
𝐴𝐵
Despejamos 𝑀𝑄 entonces
nos queda que:
𝐴𝐵 * 𝑀𝐸 = 48
Por triángulos notables
tenemos que:
H
B
A E
Q
53°
3k
4k5k
M
5k =
2𝑥
𝐴𝐵
k =
2𝑥
5𝐴𝐵
Entonces:
𝑀𝐸 = 3 *
2𝑥
5𝐴𝐵
𝑀𝐸 =
6𝑥
5𝐴𝐵
𝐴𝐵 ∗
6𝑥
5𝐴𝐵
= 48
Finalmente:
6𝑥
5
= 48
𝑥 = 40 𝑚2
8
Bloque II
Respuesta : El área es 40 m2

43. Por triángulos notables tenemos que:
𝑥 = 25
H
P R
B
A
x
1219
24
7
𝑥2 = 72 + 242
𝑥2 = 19 + 576
x = 625
9
Bloque II
Respuesta : La medida del diedro AB es
X = 25

44. Por propiedad sabes que:
Por lo tanto:
Q
H A
B
C
80°
70°
Dos caras de un ángulo triedro miden 70° y 80°.
¿Entre qué valores se encuentra la medida de la
tercera cara (x) ? 0 < 𝑥 + 70 + 80 < 360
0 < 𝑥 < 210
Además:
80 -70 < 𝑥 < 80 + 70
10 < 𝑥 < 150
10 150 210
𝑥
Bloque II
PARTE II - 1
Respuesta : La medida de la tercera
cara se encuentra entre < 10 ;150 >

45. Por propiedad sabes que:
Por lo tanto:
Q
H A
B
C
120°
150°
Dos caras de un ángulo triedro miden 120° y
150°. ¿Entre qué valores se encuentra la
medida de la tercera cara (x) ?
0 < 𝑥 + 120 + 150 < 360
0 < 𝑥 < 90
Además:
150 – 120 < 𝑥 < 150 + 120
30 < 𝑥 < 270
30 90 270
𝑥
PARTE II - 2
Bloque II
Respuesta : La medida de la tercera
cara se encuentra entre < 30;270 >

46. PARTE II 3 FIGURA CON LOS VALORES
37°
45°
1𝑂 = 𝐾 2
10 2 = k
2
POR PITÁGORAS
RESPUESTA : El valor de K es 5 2
Bloque II
10

47. PARTE II 4 FIGURA CON LOS VALORES
Bloque II
37°
10
POR PITÁGORAS
10 = 5k
2 = k
Entonces a 37 ° se le opone 3K .
El valor de x es : 3 k
X es 6
x
RESPUESTA : El valor de X es 6

48. PARTE II 5
Bloque II
FIGURA CON LOS VALORES
10
30°
POR PITÁGORAS
10 = 2k
5= k
Entonces a 30 ° se le opone K .
El valor de x es : k
X es 5
x
RESPUESTA : El valor de X es 5

49. PARTE II 6
Bloque II
FIGURA CON LOS DATOS
DEL PROBLEMA
45°
X
POR SUMA DE ÁNGULOS
45 + 90 + 90 +X = 360
225 + X = 360
X = 135
RESPUESTA : EL ANGÚLO QUE DETERMINA AE Y AF ES
135°
P
Q