Desigualdades e Inecuaciones

1
Centro Preuniversitario de la UNS S- 11 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2014-III
ÁLGEBRA
“INECUACIONES”
INECUACIONES
1.- NÚMEROS REALES
Sea R el conjunto de números reales,
provisto de dos operaciones: la adición (+),
la multiplicación (.) y una relación de orden
(< : menor que) constituye el SISTEMA DE
LOS NUMEROS REALES
 Axiomas de la adición y multiplicación:
 CLAUSURA O CERRADURA
 ba  , es un número real.
 ba. ; es un número real.
 CONMUTATIVO
 abba 
 abba .. 
 ASOCIATIVO
     cbacba 
    cbacba .... 
 ELEMENTO NEUTRO
 aoa 
 aa 1
 ELEMENTO OPUESTO O INVERSO
   oaa 
 11
 
aa
 DISTRIBUTIVA
   cabacba ... 
   cbcacba ... 
 Relación de Orden: Es la comparación de
números mediante el uso de los signos:






"";
"";
mayorque
menorque
estrictasSimples






"";
"";
igualquemayor
igualquemenor
snoestrictaDobles
 Axiomas de Orden:
Ley de la tricotomía: Ra se cumple
una y solamente una de las siguientes
relaciones:
Ley Aditiva:
Ley Multiplicativa:
Ley Transitiva:
Semana Nº 11
Tablilla
Babilónica
0 abba
0aó0aó0 a
RccbcabaSi  ;:
RccbcabaSi  ;..:
bacbbaSi :

Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda Álgebra.
2
DEFINICION DE INTERVALO.
i ) Intervalo abierto :
x
a b
Si x a b a x b   ,
En dicho intervalo no están incluido los
extremos a y b.
ii) Intervalo cerrado:
x
a b
Si x a b a x b   [ , ]
En dicho intervalo si se incluyen los
extremos a y b
iii) Intervalo Semiabierto por la izquierda
:
x
a b
Si x a b a x b   , ]
En dicho intervalo sólo se incluye el
extremo b
iv) Intervalo Semiabierto por la derecha :
x
a b
Si x a b a x b   [ ,
En dicho intervalo sólo se incluye el
extremo a.
v) Intervalos Infinitos :
a)   a x,  a a
b) [ ,a x a   a
c)     ,a x a a
d)    , ]a x a a
e)      , x R o
INECUACIÓN DE 1º.
Se llama inecuación de 1º a toda inecuación
que admite alguna de las siguientes formas:
ax + b < 0; ax + b > 0 ;
ax + b  0; ax + b  0
Donde: x es la incógnita  a, b  R / a  0
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN:
Consideramos a la inecuación:
ax + b < 0;  ax < - b
a). Si: a > 0  x < -
a
b
, es decir, su conjunto
solución es:
x  <-, -
a
b
>
b). Si: a < 0  x > -
a
b
, es decir, su conjunto
solución es:
x  < -
a
b
,>
INECUACIONES DE 2º.
Es aquella que admite ser reducida a
cualquiera de las siguientes formas:
ax2 + bx < 0; ax2 + bx + c  0 ;
ax2 + bx < 0; ax2 + bx + c  0 ;
Donde: x = incógnita  {a, b, c}  R a  0
PROPIEDADES:
*  x  R, ax2 + bx + c > 0 
a > 0  b2 – 4ac > 0
El trinomio es siempre positivo para
cualquier valor de su incógnita.
*  x  R, ax2 + bx + c < 0 
a < 0  b2 – 4ac < 0
El trinomio es siempre negativo para
cualquier valor de su incógnita.
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.
Viene a ser desigualdades relativas, las cuales
frecuentemente se presentan en las siguientes
formas.
i). x < a  a > 0  -a < x < a
ii). x > a  x > a  x < -a
iii). x > y  (x+y) (x-y) > 0
iv). x < y  (x+y) (x-y) < 0

3
INECUACIONES CON RADICALES.
Viene a ser desigualdades relativas en las que
se presentan radicales y dentro de ellos las
variables. Entre ellas se pueden reconocer a
las siguientes formas:
i). nn
yxyxyx 22
00 
iii).  yxn2
Caso A: x  0  y  0  x > y2n
Caso B: x  0  y < 0
iii). Para inecuaciones con radicales con
índices impares con cualquier signo de
relación no existe ninguna restricción.
INECUACIONES EXPONENCIALES.
Son aquellas desigualdades relativas, en las
que las incógnitas se presenta de exponente.
Propiedades.
i). Siendo: a > 1: ax < ay  x < y
ax > ay  x > y
ii), Siendo: 0 < a < 1:
ax < ay  x > y
ax > ay  x < y
PROBLEMAS PROPUESTOS
NIVEL I
1. El conjunto solución de la inecuación
2 5 3 11x   es:
A. 1;2 B. 2;2 C. 2;1]
D. 1;1 E. 1; 2 
2
20 100 0x x   es:
A. R B. { 10} C. 10;  
D. : 10  E. { 10} ¡
2 3 9
0
4 64
x x   Es:
A. R B.  C.
3
;
8
  
D.
3
:
8
  E.
3
8
 
 
 
4. En la inecuación
5 4 3 2
3 5 15 4 12 0x x x x x      el
intervalo que no está incluido en el conjunto
solución es:
A. 3; 2  B. 1; 1 C. 2;  
D. 2; 1  E. 1; 0
5. Si  B;
C
A
es conjunto solución del
sistema
13 5 3 8 2 7
1
2 5 3
3 1 1
1
5 2 7
x x x
x x x
  
  

    

El valor de
23A
B C


es:
A. 1 B. 1/2 C. 2
D. -1 E. -1/2
6. La solución del sistema
( 1)( 2) ( 4)( 2)x x x x    
( 3)( 1) ( 4)( 3)x x x x     Es:
A. 5; 6 B. 5; 6 C. 3; 6
D. 3; 6 E. 3; 6
2
( 3) ( 2)( 4) 0x x x    Es:
A. 4; 2 3;U      
B. ; 4 2; 3U      
C. ; 4 2; {3}U        
D. 4; 2 3;U       
E.  ; 2 2; 3U         

4
3
(2 1)(3 2) (2 5) 0x x x    Es:
A.
1 2 5
; ;
2 3 2
U  
B.
1 2 1
; ; 2
2 3 2
U  
C.
1 5
;
2 2

D.
1 1
; 2 ;
2 2
U   
E.
2 2
; ;
3 3
U    
9. Si M es el conjunto solución de la
inecuación
2 2 2 2
( 7)( 25)( 16)( 1) 0x x x x    
Entonces el intervalo que no está incluido en
M es:
A. 4; 3    B. 3; 4  C. 4; 7   
D.
9
;
2
    E. 7; 4 
10. Resolver:
2 9 3 2 5 4
2 7 3
( 3) ( 6) ( 4 5) ( 3)
( 1) ( 3) ( 3)
x x x x x
x x x
    
  
 0
Indicar su intervalo solución:
a) x  <- ; -6] U <-3; 1> U <1, 3>
b) x  <- ; -3] U <1, 3>
c) x  <- ; -2] U <-1; 1> U <2, +>
d) x   e) x  R
11. Un número de plumas contenidas en
una caja es tal, que su duplo
disminuido en 86, es mayor que 200.
De la caja se sacan 17 plumas y
quedan menos que la diferencia
entre 200 y la mitad de las plumas
que había al inicio. ¿Cuántas eran
éstas?
a) 144 b) 132 c) 17 d) 180 e) 135
12. Hallar el menor “M”, Rx ;
Mxx  413 2
a) -8 b) 9 c) -9 d) 8 e) -6
13. Hallar un número entero y positivo,
sabiendo que su mitad, disminuida en
su tercera parte, es mayor que 7/6,
y que su cuarta parte, disminuida en
la quinta parte de dicho número, es
menor que 9/20.
a) 8 b) 6 c) 10 d) 5 e) 7
14. Un comerciante disponía de una
cantidad de dinero para comprar un
cierto número de objetivos iguales
entre sí. Pensaba comprarlos al
precio de s/50 cada uno y le faltaban
más de s/ 48 y después pensó
comprarlos de s/ 40 y le sobraban
más de s/ 152; y por último los
compró al precio de s/ 30 cada uno y
le sobraron menos de s/ 372. ¿Cuál
fue el número de objetos
comprados?
a) 12 b) 21 c) 10 d) 15 e) 17
15. Hallar un número entero y positivo
que sumado con 11, resulte mayor que
el triple de él disminuido en 7; y que
sumado con 5 resulte menor que el
doble de él disminuido en 2.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

5
NIVEL II
3º SUMATIVO 2010-II
1. Al resolver :   ,
4
3
62
2
36 

 x
x
x
se
obtiene como conjunto solución:
a) R b)  c) [-7, >
d) [7, > e)  7;7
3º SUMATIVO 2010-III
2. Si 2/1;1x entonces
1x
x pertenece al
intervalo.
a) 1;2/1 b) 2/3;2/1 c) 2/1;1
d) 0;1 e) 1;0
3º SUMATIVO 2011-II
3. Al resolver la inecuación: 1528 2
 xx
a. <-, -5/4>  <3/2, >
b. <-5/4,3/2 >
c. <-, -4/5>  <2/3, >
d. <-4/5,2/3 >
e. <-, -3/2>  <5/4, >
3º SUMATIVO 2012-I
4. El conjunto solución de la inecuación:
:,028232
2
esxx 
a) 9;4 b) 9;5 c) 6;3
d) 6;5 e) 3;2
5. ¿Cuántos números enteros positivos
satisfacen la inecuación:
7
4
18
5
2
135
273


xx
?
a) 5 b) 7 c) 3 d) infinitos
e) no existen soluciones enteras.
6. El conjunto solución de:
es
x
x
x
x
,
16
365
16 4
2
4
4




?
a. <-, -3>  <-2,2>  <3, >
b.    3,22;3 
c. <-3, -2>  <2,3>
d. <-3, 3>
e. <2, 3>
7. Si  3/1;  mmA y


 

2
2
;
2
1 mm
B determine todos
los posibles valores de Zm tal que
BA  .
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 y 5 e) 6 y 8
8. ¿Cuál es el mayor valor entero que
satisface la inecuación?
6
3
12
2
1
3
1 

 x
x
x
a) 2 b) 1 c) -1 d) 0 e) 3
9. Hallar el menor número natural que
no satisface a la siguiente
inecuación:
  
2
7
2
422
5
2 32
xxxx
x 


a) 12 b) 7 c) 6 d) 10 e) 8
10. ¿Cuántos números impares
satisfacen a la siguiente inecuación?:
349202
 xx
a) 2 b) 1 c) 0 d) 4 e) 3
11. Al resolver el sistema:
3x2
– 12x – 15  0
-x2
+ 4x – 3  0

6
el conjunto solución es : [a, b] 
[c, d]. Calcular el valor de: E = 2a +
b – 3c + d
a) –5 b) –3 c) 0 d) 1 e) 8
12. Resolver la inecuación:
x(x - 8) + 8 > 4(1 - x)
a) R b) <0, > c) <-, 0>
d) R – {2} e) R – {4}
13. Resolver la inecuación:
x2
– 3x  2x
a) <-, 0]  [5, > d) <-, 2]  [5, >
b) <-, 0>  [5, > e) <-, 0]  <2, >
c) <-, 0]  <5, >
14. Al resolver el sistema :
x2
+ 8x + 15 < 0
x2
– 2x – 24 < 0
el conjunto solución es <a, b>.
Hallar el valor de “2b - a”.
a) –4 b) –2 c) 5 d) 7 e) 8
15. Después de resolver la inecuación:
5,2
3
13
4
1
2
1
2 




 xxx
indicar la suma de los valores
enteros que admite x.
a) -2 b) -1 c) 0 d) 2 e) 3
16. Resolver:
2
2
2
2
2
2
)3(
2
)1(
a
xb
b
xa




siendo: 0 < a < b.
a) <-,5] b) <-,5> c) [5, >
d) <5, > e) <,-5>
17. Determine el conjunto solución de:
2
1
;
4
1
2
31




 a
a
xx
a
x
a) <-,1/5] b) <-,1/2> c) <-,1/3>
d) <-;2> e) <-,-2/3>
18. Si M es el conjunto solución de la
inecuación: 73352  xxx ,
entonces el conjunto solución M es:
a) <0,5> b) <8,14> c) <-,1>
d) <5,8> e) <14,52>
19. En R definimos la operación a * b =
2
ba 
, según esto hallar C.S. de:
(x - 1) * 2  (4 * x) * 1/2  (1+ 2x) * 5
a) [11/5,2] b) [11/5,3] c) [11/4,2]
d) [-11/5,2] e) N.A.
20. Resuelva la inecuación polinomial
    01123
5
 xxx , dar como
solución la suma de los valores
enteros positivos.
a) 1 b) 4 c) 10 d) 2 e) 3
21. Resuelva la inecuación polinomial:
     03121
54
 xxx , dar
como respuesta el número de valores
enteros de su conjunto solución.
a) 1 b) 4 c) 10 d) 2 e) 3
22. Resuelva la inecuación polinomial:
     0111
723
 xxx
a) 2;1 b)  2;0 c)  1;1
d)  1;1 e)  2;5

7
23. Resuelva la siguiente inecuación
polinomial:
     0342332
42
 xxx
a) 2/3; b)  2/3
c) 3/2; d) ;1 e) 
24. Dada la inecuación polinomial
       0625325
32233
 xxxxx
Se obtuvo  cbaCS  ; . Determine
el valor de “a+b+c”
a) 11 b) 5 c) 6 d) 1 e) 16
25. Resolver: x3
+ x2
 9x + 9
a) [-3,-1]  [3,> b) <,3>  <4,  >
c) <-,3> d) R e) [1,3]  <5,>
26. Dad la inecuación polinomial:
        0910...342312
10432
 xxxx
indique la longitud de su conjunto
solución:
a) 52/103 b) 1/2 c) 2 d) 52/105 e) 16
27. Dada la inecuación
      065322
524232
 xxxxxx
se obtuvo como  cbaCS  , .
Determine el valor de “a+b-c”.
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3
28. Dada la expresión:
xx
xx
M



5
31
,
determine su valor sabiendo que:
2;4 x
a) 3/5 b) 5/2 c) 2/5 d) 1 e) 2
29. Resuelva la siguiente ecuación:
12223  xxx Dé como
respuesta la suma de valores
absolutos de sus soluciones
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3
30. Resuelva en R la inecuación:
01212 22
 xxxx
a)  b) -1 c) 0 d) 1 e) 3
31. Halle la suma de las raíces reales de
la ecuación 04232
 xx
a) -3 b) 3 c) -1 d) 1 e) 0
32. Dada la ecuación:
6
2
1
7
2
1
2
2
 xx , halle la suma
de soluciones:
a) -2 b) -3/4 c) -1 d) 3/4 e) 3
33. Hallar el valor de “a” para el cual el
sistema:







ax
xxx
xx
642
034
2
2
Se verifica para un único valor
entero de “x”
a) -2 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
34. Resolver el sistema con x, y ,z
enteros:









2
122
432
6234
y
zy
zyx
zyx

8
Señale: 




z
xy
a) -2/3 b) 1 c) 2 d) 3/2 e) 4
35. Si la solución de la inecuación:
x5
+ 8x4
+ 12x3
– x2
– 8x – 12 > 0
es <a,b>  <c,> el valor de a+b+c
a) -7 b) 7 c) -5 d) -8 e) 8
36. Si la solución de la inecuación:
x
x
x
x



 2
3
1
es: <a,b]  <c,> .
Hallar a + c:
a) 2 b) 3 c) 1 d) 3/2 e) 4
37. ¿Cuántos enteros positivos no
verifican la inecuación:
33
23
252
52
2
2
2
2





xx
xx
xx
xx
?
a) Ninguno b) 1 c) 2
d) 3 e) más de 3
38. Al resolver la inecuación:
621  xx , se obtiene como
conjunto solución al intervalo  ba; .
Entonces ba. es:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
39. Al resolver la inecuación:
2653
3 23
 xxxx se obtiene
por conjunto solución    ;; ba ,
entonces ba. es:
a) 2/3 b) 3/2 c) 2 d) 3 e) 5
40. La desigualdad:
   1;1
1
184 2



x
x
xx
; tiene
por solución el siguiente conjunto:
a) 2/3; b)  2/3
c)  ;2/3 d) ;1 e) 
41. Los valores de “x” superiores a 1/3,
que satisfacen la inecuación:
13
2
1
1


 xx
están dados por:
a)  63/1/  xRx
b)  83/1/  xRx
c)  33/1/  xRx
d)  3/1/  xRx
e)  3/1/  xRx
42. La intersección del conjunto solución
de: ;0
7
4022
2
23



xx
xxx
con el
intervalo  2;5 es:
a) 2;5 b)  2;0 c)  2;0
d)  ;0 e)  2;5
43. El producto de los valores enteros
de x que satisfacen la desigualdad:
5
74
2
5
23





x
x
x
x
; es:
a) 120 b) 100 c) 80 d) 24 e) 12

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