Material preparación (PSU) pre universitario pedro de valdivia.

1. Triángulos Notables
1
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 17
UNIDAD: GEOMETRÍA
PERÍMETROS Y ÁREAS
TEOREMA DE PITÁGORAS
En todo triángulo rectángulo, la suma de
las áreas de los cuadrados construidos
sobre sus catetos, es igual al área del
cuadrado construido sobre su hipotenusa.
Ternas pitagóricas
EJEMPLOS
2a
1. La suma de todos los trazos de la figura 1, es
A) 46
B) 49
C) 54
D) 61
E) 64
2. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 2, se sabe que AB = 10 y CB = 5.
Entonces, ¿cuál es el área del triángulo?
A) 25
B) 25 3
C)
25 3
2
D)
25 5
2
E) 50 3
a2
b2
c2
a2 + b2 = c2
a b c
3 4 5
5 12 13
8 15 17
60º
a 3
a
a a 2
a
A
fig. 2
B
C
17
4k
3k
8 fig. 1
C u r s o : Matemática
Material N° 17

2. 3. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 3, se tiene que AD = BD = 3. Entonces,
2
AC + BC es
A) 6
B) 9
C) 6 2
D) 12 2
E) 6 + 6 2
A D B
4. En las figura 4, se tiene que AC = 12, BC = 13 y BD = 3. Entonces, la medida de AD
es
A) 4
B) 17
C) 5
D) 34
E) 6
5. La longitud de AB , en la figura 5, es
A) 26 cm
B) 10 cm
C) 6 cm
D) 4 cm
E) 6 cm
1 cm
6. En la figura 6, ABCD es un cuadrado, AC es diagonal y mide 10 2 cm. Si E, F, G y H
son punto medios, ¿cuál es la suma de los lados del cuadrado EFGH?
A) 10 2 cm
B) 20 2 cm
C) 40 2 cm
D) 40 cm
E) 50 cm
D H C
E G
A F B
fig. 6
C
fig. 3
A B
D
C
fig. 4
B
A
E
C
1 cm
1 cm
1 cm
fig. 5
D

3. Perímetro de un polígono, es la suma de las longitudes de todos sus lados. El perímetro se
denotará por p.
Área es la medida que le corresponde a toda la región poligonal. El área se denotará por A.
Nombre Figura Perímetro Área
d
Cuadrado 4a
3
EJEMPLOS
a
b b
a
a h a
a
b b
c
d b
1. Si el área de un cuadrado es 144 cm2, entonces su perímetro mide
A) 12 cm
B) 36 cm
C) 48 cm
D) 81 cm
E) 288 cm

     
 
2. Si el perímetro del rectángulo ABCD de la figura 1, es 8a + 8b y BC = 2a + 3b,
entonces DC es
A) a + 2b
B) 2a + b
C) 4a + 6b
D) 4a + 2b
E) 6a + 5b
a2
d2
2
Rectángulo 2a + 2b a  b
Rombo 4a
h · a
1 2 d d
2
Romboide 2a + 2b a · h1 = b · h2
Trapecio a + b + c + d
a c
h
2
D C
A B
fig. 1
a
h
a
a
h1
h2
a
a
a
a
a
d1
d2

4. 3. Si en el rombo ABCD de la figura 2, AB = 10 cm y DE = 7 cm, su área es
4
A) 140 cm2
B) 70 cm2
C) 40 cm2
D) 35 cm2
E) ninguno de los valores anteriores.
D C
4. ¿Cuál es el área de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 8 cm?
A) 20 cm2
B) 24 cm2
C) 40 cm2
D) 48 cm2
E) 60 cm2
5. En la figura 3, ABCD es un trapecio rectángulo. Si DC = 10 cm, AD = 12 cm y
AB = 15 cm, entonces el perímetro y el área son, respectivamente,
A) 37 cm y 120 cm2
B) 50 cm y 150 cm2
C) 50 cm y 180 cm2
D) 90 cm y 300 cm2
E) 150 cm y 600 cm2
6. ABCD es un rombo de lado 16 cm. Si se ha dividido en rombos congruentes como
muestra la figura 4, entonces el perímetro de la región achurada es
A) 22 cm
B) 36 cm
C) 64 cm
D) 80 cm
E) 88 cm
7. En el trapecio isósceles ABCD de la figura 5, DC // AB , AD = 5 y AB = 10. Si el área
del triángulo ABD es 20, ¿cuál es el perímetro del trapecio?
A) 14
B) 20
C) 21
D) 24
E) 28
fig. 2
B
A E
fig. 3
D C
A B
fig. 4
D C
A B
D C
A B
fig. 5

5. Nombre Figura Perímetro Área
  
C
Triángulo a + b + c a ha b hb c hc
5
EJEMPLO
b a
1. ¿Cuánto mide la altura CD del triángulo ABC de la figura 1?
A) 2,4
B) 4,8
C) 10
D) 3 2
E) 4 3
 
C
8 6 fig. 1
2. Los triángulos ABC y DBE de la figura 2 son equiláteros. Si el perímetro del ABC es 12,
entonces el área del DBE es
A) 6
B) 9 3
C) 4 3
D) 2 3
E) 3
2 2 2
Triángulo
Equilátero 3a
a2 3
4
Triángulo
ab c · h
Rectángulo a + b + c =
c 2 2
A B
c
ha
hc
hb
a a
a
b
c
a
hc
A D B
C
E
A D B
fig. 2

6. Nombre Figura Perímetro Área
6
Circunferencia y
Círculo
EJEMPLOS
  
  
1. En la figura 1, los arcos BA, OA y OB son semicircunferencias. Si OA = OB , entonces
¿cuál es el área de la región achurada?
A) 20 cm2
B) 40 cm2
C) 50 cm2
D) (10 + 10) cm2
E) (10 + 20) cm2
A B
2. La figura 2, muestra un cuadrado de lado 4 y una circunferencia inscrita en él. ¿Cuál es
el área y el perímetro de la región achurada?
Área Perímetro
A) 4 –  4 + 2
B) 16 – 4 16 – 4
C) 16 + 4 16 + 4
D) 16 + 4 16 – 4
E) 16 – 4 16 + 4
3. En la figura 3, se tiene dos circunferencias concéntricas de centro O. Si OB = 6 cm y
AB = 4 cm, entonces el área de la región achurada es
A) 2 cm2
B) 8 cm2
C) 16 cm2
D) 32 cm2
E) 64 cm2
D = 2r
D Diámetro
r2
Sector circular
Arco AB + 2r
Arco AB =
2 r
360º
r2
360º
O
r
O
A
B

fig. 2
fig. 3
A B
O
10 cm
fig. 1
O

7. 7
FIGURAS EQUIVALENTES
Son aquellas que tienen igual área.
En todo triángulo:
 Cada transversal de gravedad
lo divide en dos triángulos
equivalentes.
 Las tres transversales lo dividen
en seis triángulos equivalentes.
EJEMPLOS
C
D D es el punto medio de BC
D, E, F puntos medios
A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6
C
1. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 1, CD es transversal de
gravedad. Si AB = 10 cm y AC = 6 cm, ¿cuánto mide el área del triángulo DBC?
A) 12 cm2
B) 15 cm2
C) 20 cm2
D) 24 cm2
E) 48 cm2
fig. 1
2. En el triángulo equilátero ABC de la figura 2, DE , EF y FD son medianas. Si
AC = 20 cm, ¿cuánto mide el área del trapecio ABEF?
A) 150 3 cm2
B) 100 3 cm2
C) 75 3 cm2
D) 25 3 cm2
E) 150
3
4
cm2
C
3. En la figura 3, D y E son puntos medios y el área del triángulo AED es 16 cm2. ¿Cuál es
el área del trapecio EBCD?
A) 16 cm2
B) 24 cm2
C) 32 cm2
D) 48 cm2
E) 64 cm2
A1
A2
A B
A1 = A2
fig. 2
A D
E
B
F
A D
E
B
F G
A1 A2
A3
A4
A5
A6
fig. 3
A
D
C
E B
A
C
D B

8. 4. En el triángulo ABC de la figura 4, AD  DB , AE y BF son transversales de gravedad.
Si el área del triángulo ADG es 9 cm2, ¿cuál es el área del triángulo ABC?
8
A) 18 cm2
B) 27 cm2
C) 36 cm2
D) 45 cm2
E) 54 cm2
C
F G E
5. En la figura 5, ABCD es un rectángulo y M es un punto cualquiera de DC . Entonces,
¿cuál es el área de la región achurada?
1
A) ab
8
1
B) ab
4
1
C) ab
2
3
D) ab
4
E) ab
D M C
A B
fig. 5
6. Se muestran cuatro cuadrados de lado a. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras achuradas
tienen igual área?
I) II) III) IV)
A) Sólo I y II
B) Sólo II y III
C) Sólo III y IV
D) Sólo I, II y III
E) I, II, III y IV
RESPUESTAS
DMTRMA17
a
b
B
fig. 4
A D
Ejemplos
Págs. 1 2 3 4 5 6 7
1 y 2 D C C A D B
3 y 4 C B B B B E D
5 B E
6 C E C
7 y 8 A C D E C E
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