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1. Plataforma Educativa UNIDEG Material de estudio
Materia: Cálculo I
Módulo 2
1
LIMITES
¿Qué es el límite de una función?
Hablar del concepto de límite de una función cuando x tiende a un punto significa pensar en el
valor al cual se acercará la función cuando el argumento de la misma se aproxima a dicho
punto.
Concepto de límite de una función
Si f es una función, decimos que A es el límite de f cuando x tiende a “a” si el valor de f(x) se
aproxima a A cuando x se aproxima más y más al valor “a”. En símbolos matemáticos esto se
escribe
Ž‹
7
˦{˲{ ˓
Para aclarar el concepto de límite utilizaremos la función f(x) definida de la siguiente manera si x
˦{˲{ {Ŷ˲ - ŷ J˩ ˲ ŵ
Donde: No está definida si x = 1
La gráfica de esta función se muestra en la figura 1 observa como esta gráfica tiene un “agujero”
que indica que la función no está definida en x = 1.
Si tomamos valores de x muy cercanos a 1 (ver tablas 1 y 2) vemos que el valor de la función se
aproxima a 3, sin embargo f (1) no existe.
No importa si x tiende a 1 por la izquierda (x < 1) o si x tiende a 1 por la derecha (x > 1), la
función se acerca al valor 3.

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Módulo 2
2
Figura 1
Por esa razón decimos que el límite de f (x) = 2x +1 cuando x tiende a 1 es 3, o sea
Ž‹
7#
˦{˲{ Ŷ˲ - ŵ Ŷ{ŵ{ - ŵ ŷ
Tabla 1
Tabla 2

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3
Otro ejemplo de cálculo de límite es el siguiente: ¿Cuál es el límite de f (x) = x – 2 cuando x
tiende a cero?, o sea
Ž‹
7"
{˲ . Ŷ{
En la figura 2, se observa que cuando x se acerca a cero (por la derecha) el valor de la función se
acerca a menos dos. Lo mismo ocurre cuando x se acerca a cero por la izquierda, en este caso f
(x) sí está definida. Podemos decir que
Ž‹
7"
{˲ . Ŷ{ .Ŷ
Figura 2

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Materia: Cálculo I
Módulo 2
4
CALCULO DE LÍMITES
TEOREMAS SOBRE LÍMITES
Ejemplo 1: Del teorema I de límites.
Ž‹
7'
Ż Ż
Ejemplo 2: De los teoremas I, II y III de límites.

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5
Ejemplo 3:
Ž‹
7
˲ .ź
Ejemplo 4:
˕IˬI˯ˬ˥ Ž‹
7%
{˲$
- Ż˲ . Ź{
Solución:
Es importante que no olvides que el límite del ejemplo anterior se evaluó mediante la aplicación
directa de los teoremas de límites. Observa que para la función f (x) del ejemplo anterior el
Ž‹
7%
˦{˲{
Es igual a 25, al igual que f (3) es 25, pero recuerda, en general el Ž‹ 7 ˦{˲{ y f (a) no
siempre son iguales.
Ejemplo 5: Determine el siguiente límite
Ž‹
7$
˲% - Ŷ˲ - ŷ
˲$ - Ź

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Solución:
Ejemplo 6: Determine el siguiente límite
Ž‹
7&
˲ . Ŷ
˲ . Ÿ
Solución:
Como en el ejemplo, no se puede aplicar el teorema V de límites al cociente
$
&
, debido a que
Ž‹
7&
{˲ . Ÿ{ Ŵ

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Para simplificar el cociente se racionaliza el numerador multiplicando tanto el numerador como
el denominador por ˲ + 2.
Puesto que se está evaluando el límite conforme x tiende a 4, se consideran sólo los valores de x
cercanos a 4 sin tomar este valor. En consecuencia, se pueden dividir el numerador y el
denominador entre x – 4. Por tanto:
La solución se expresa como sigue:

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Continuación del ejemplo 6
Ejemplo 7: Determine el siguiente límite
Ž‹
7'
˲Ŷ
. ŶŹ
˲ . Ź
No puede aplicarse el teorema V de límites al cociente
$'
'
, debido a que el límite
Ž‹ 7'{˲ . Ź{ Ŵ Sin embargo, al factorizar el numerador se obtiene:
Si x ≠ 5, entonces el numerador y el denominador pueden dividirse entre x – 5 para obtener x + 5.
Recuerda que cuando se calcula el límite de una función conforme x se aproxima a 5 se
consideran valores de x cercanos a 5, pero sin tomar este valor. Por tanto, es posible dividir el
numerador y el denominador entre x – 5. La solución se expresa en la siguiente forma:

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Módulo 2
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Continuación del ejemplo 7
Fuente: Aparicio, F,M. (2004). Antología de Matemáticas I, México: UNIDEG