Números con signos

1. M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
S
Tema 4. Números con signo, patrones y fórmulas: sucesiones de
números y expresiones generales
Los números vistos hasta ahora son todos positivos. Existen
números negativos y con ello se expresan, entre otras cosas,
pérdidas o deudas, temperaturas bajo cero y profundidades.
¿En qué otras situaciones pueden
usarse los números negativos?
Al representar los números en la recta numérica, los positivos se
colocan a la derecha del cero y los negativos a la izquierda. El
número cero no tiene signo. En la siguiente recta numérica se
representa al –2.
63

2. −3<5 − 4 < −1
Al comparar dos números, el que está más a
6
la izquierda en la recta numérica es menor. 1< − 2 < −1.6
3
Por ejemplo: si se ordenan de menor a mayor los números:
9.4, -8, 3.2, -1, 0 y -15, quedarían: -15, -8, -1, 0, 3.2, 9.4.
Los números simétricos son aquéllos que están a la misma
distancia del cero (origen), por ejemplo: 2 y –2 son simétricos.
La suma de los números simétricos es cero, por ejemplo: si una
persona camina dos cuadras y se regresa dos cuadras llega al
mismo lugar de donde salió: 2 + (- 2) = 0.
Al sumar dos números con signo se presentan tres casos:
Caso I. Los sumandos son positivos:
La suma es como se conoce.
2 4 8 2
Ejemplos: 67 + 22 = 89, 3.85 + 8.1 = 11.95, + = =
6 12 12 3
Caso II. Los sumandos son negativos:
Se representa a los números como segmentos de recta con una
dirección, los negativos hacia la izquierda y los positivos a la
derecha. Al sumar dos números negativos ambos segmentos
estarán hacia la izquierda, así que se obtiene un número
negativo. La suma de dos números negativos es un número
negativo.
− 67 − 22 = −89
(−2) + (− 1) = −3
− 3.85 − 8.1 = −11.95
2 4 8 2
− − =− =−
6 12 12 3
64

3. Caso III. Los sumandos son de diferente signo:
En este caso los segmentos tienen diferentes direcciones. Al
obtener la distancia del número al origen (0), el valor es igual a
la distancia mayor menos la distancia menor. El signo del
resultado es igual al del segmento más largo.
− 2 + 3 =1
33 − 22 = 11 − 7.25 + 2.01 = −5.24,
,
1 3 19
− + = M
8 5 40 A
T
E
M
Uso de la calculadora Á
T
I
C
A
S
Ejemplos:
Operaciones a realizar:
-3 3
56 + (-19) 56 19
345 – (-46) 345 46
Guardar en memoria 12 12
578 + 12 578
6.8 5.9 7.3
6.8 + 5.9 + 7.3
6.8 5.9 7.3
Guardar en memoria -25 25
24.9 + (-25) – (-25) 24.9
65

4. Una expresión aritmética es una combinación de números y
operaciones aritméticas. Para que las operaciones combinadas
no se presten a confusión, se ha establecido una:
Jerarquía de operaciones
1° Realizar las potencias y radicales de izquierda a derecha.
2° Efectuar las multiplicaciones y divisiones de izquierda a
derecha.
3° Realizar las adiciones (sumas) y sustracciones (restas) de
izquierda a derecha.
16
Ejemplo: 5 + 32 × 8 − =
2
16 16
5 + 32 × 8 − = 5 + 9× 8 − Se desarrolló la potencia 3 2 .
2 2
16 4
5 + 32 × 8 − = 5 + 9× 8 − Se calculó la raíz cuadrada 16 .
2 2
16
5 + 32 × 8 − = 5 + 72 − 2 = 75 Se realizó primero la multiplicación.
2
El uso de los paréntesis sirve para simplificar y aclarar las
expresiones aritméticas. Se deben realizar primero las
operaciones dentro de los paréntesis internos, luego las de los
externos teniendo en cuenta la jerarquía de operaciones.
25
Ejemplos: a) (3 + 5) × (72 − 8 ) + =
64
Se realizaron las
(3 + 5) × (7 − 8) + 25 = 8 × (49 − 8) + 25
2
operaciones dentro de los
64 64
paréntesis.
25 Se calculó la raíz cuadrada
= 8 × 41+
8 64 .
Se calcularon las demás
= 8 × 41+ 3.125 = 331.125 operaciones.
66

5. b) (3 + 5) × 6 + 8 2 − (6 × 5) + 7 3 =
Se realizaron las
(3 + 5) × 6 + 8 2
− (6 × 5) + 73
operaciones dentro de los
= 8 × 6 + 82 − 30 + 73
paréntesis.
= 8 × 6 + 64 − 30 + 343 Se calcularon las potencias.
Se hicieron las demás
= 48 + 64 − 30 + 343 = 425
operaciones.
c) (22 − (54 − 28) − (64 − 19)) =
M
(22 − (54 − 28) − (64 − 19)) = Se realizaron las
A
operaciones dentro de los
(22 − (26) − (45)) paréntesis internos.
T
E
Se efectuaron las demás
= 22 − 26 − 45 = −49 M
operaciones. Á
T
Fórmulas: sucesiones de números y expresiones generales I
C
Si se tiene la sucesión aritmética 5, 13, 21, 29…; ¿cuál número
A
será el siguiente? Entre cada número la diferencia es de 8, S
como 29 + 8 = 37, entonces sigue el número 37.
Ejemplos:
a) ¿Cuáles son los siguientes dos números de la sucesión:
-45, -30, -15, ___…? Al número siguiente se le va sumando 15,
-15 + 15 = 0 y 0 + 15 = 15, entonces siguen los números 0 y 15.
b) ¿Cuál es la suma de los cubos de los primeros cuatro números
naturales: 13 + 23 + 33 + 43? Se tiene que sumar 13 + 23 + 33 + 43 = 1
+ 8 + 27 + 64 = 100.
Existen sucesiones finitas e infinitas y también sucesiones no
numéricas, por ejemplo:
a) Se quieren pintar en una pared los cuadritos que se tienen en
las diagonales de otros cuadrados más grandes, como e n la
figura siguiente:
67

6. ¿Cuántos cuadritos tendrá el cuadro número seis? 36 cuadritos.
¿Cuántos cuadritos habrá en la diagonal? Seis cuadritos.
¿Cuántos cuadritos habrá en la diagonal del cuadro número
100? 100 cuadritos.
Al hablar de un número en general, se nombra como una letra,
por ejemplo: n. En el caso anterior, el cuadro en la posición n
tendrá en la diagonal n cuadritos.
b) En el supermercado Luisa encontró empaques de una cierta
marca de galletas de 2, 6, 10, 14 galletas respectivamente y se
preguntó: ¿Qué cantidad de galletas tendría el empaque
número 5? Para llegar a la respuesta llenó la siguiente tabla:
Empaque 1 2 3 4 …
Cantidad de
2 6 10 14 …
galletas
Relación 0 × 4 + 2 = 2 1× 4 + 2 = 6 2 × 4 + 2 = 10 3 × 4 + 2 = 14 …
La cantidad de galletas del empaque número cinco es
4 × 4 + 2 = 18 .
¿Qué cantidad tendría el empaque número 10? 9 × 4 + 2 = 38
¿Qué cantidad tendría el empaque número 100? 99 × 4 + 2 = 398
¿Qué cantidad tendría el empaque número n? Observando las
relaciones en la tabla, se puede saber que para un número de
empaque se multiplica por cuatro el número anterior y se le
suma 2, el número anterior a n es n – 1, la relación es (n − 1) × 4 + 2 .
c) Una sucesión sigue la regla 5n, es decir, la posición número n
es igual a 5 × n. ¿Cuáles son los primeros siete términos?
68

7. Posición 1 2 3 4 5 6 7 …
Regla 5×1 5×2 5×3 5×4 5×5 5×6 5×7 …
Sucesión 5 10 15 20 25 30 35 …
Es común usar letras (literales) para representar números
desconocidos o valores que varían, por ejemplo: el perímetro
de un cuadrado es p = l + l + l + l, es decir p = 4 × l, que
generalmente se representa por: p = 4 l. De acuerdo con lo
M
anterior, se tiene que: s + s + s + s + s, esto se denota 5s y m× n× o A
por mno. Por ejemplo: T
a) ¿Cuál expresión indica “la suma de dos números E
M
consecutivos”? Al tomar a “x” como un número, su consecutivo
Á
se denotará como “x + 1”, entonces su suma es “x + (x +1)”. T
I
b) ¿Cuál expresión indica “la suma de los cuadrados de dos C
A
números”? El cuadrado de un número se escribe como “x2”, el
S
cuadrado de otro cualesquiera será “y2”, entonces su suma es
“x2 + y2”.
c) ¿Cuál expresión indica “el triple de un número”? El triple
significa tres veces el número, es decir, “3n”.
69