Tema de la asignatura de matemáticas

1. Tema: Factorización de un
polinomio.
Jessenia María Menjivar Orellana
Primer Año de Bachillerato
Asignatura: Matemáticas.
5/8/2020

2. En matemáticas y algebra computacional, la factorización de polinomios o factorización
polinómica se refiere a factorizar un polinomio con coeficientes en un campo dado o en
los números enteros en factores irreducibles con coeficientes en el mismo dominio. La
factorización o descomposición factorial es el proceso de presentar una expresión matemática o
un número en forma de multiplicación. Recordemos que los factores son los elementos de la
multiplicación y el resultado se conoce como producto.
Factorización polinómica es una de las herramientas fundamentales de los sistemas de álgebra
computacional. Ejemplo La historia de la factorización polinómica comienza con Hermann
Schubert quien en 1793 describió el primer algoritmo de factorización de polinomios, y Leopold
Kronecker, quien redescubrió el algoritmo de Schubert en 1882 y la amplió a polinomios
multivariados y con coeficientes en una extensión algebraica. Pero la mayor parte de los
conocimientos sobre este tema no es mayor que alrededor del año 1965 y los primeros sistemas
de álgebra computacional. En una entrevista sobre el tema, Erich Kaltofen escribió en 1982.

3. • Tipos de factorización
En líneas generales, podemos hablar de dos tipos de factorización: la factorización de
números enteros y la factorización de expresiones algebraicas.
Factorización en números primos
Todo número entero se puede descomponer en sus factores primos. Un número primo es
aquel que es divisible únicamente entre 1 y el mismo. Por ejemplo, el 2 solo se puede
dividir entre 1 y 2.
Podemos descomponer un número dado X como la multiplicación de sus factores primos.
Por ejemplo, el número 525 es igual a la multiplicación de 52.3.7.

4. Factorizar una expresión algebraica
Descomponer como el producto de expresiones algebraicas de menor grado. estas
expresiones algebraicas a factorizar que contiene una o dos más variables, generalmente.
Su importancia radica en la posibilidad de usar en la descomposición de una expresión
racional en fracciones parciales, en la solución de ecuaciones polinomias, etc. Es un tema
que se estudia en el álgebra clásica.

5. Cuando hablamos de factorizar, podemos seguir las siguientes recomendaciones:
1.Observar si hay un factor común, esto es, si hay un factor que se repita en los diferentes
términos.
2.Ordenar la expresión: a veces al arreglar la expresión nos percatamos de las
posibilidades de factorización.
3.Averiguar si la expresión es factorizable: en ocasiones estamos en presencia de
expresiones que no pueden ser descompuestas en factores.
4.Verificar si los factores hallados son a su vez factorizables.
¿Como factorizar?

6. Pasos para hallar el factor común de un polinomio:
Vamos a explicar paso a paso cómo encontrar el factor común para los términos en el
siguiente polinomio:
Paso 1 Conseguimos el mayor factor común de 24 y 16. Los factores de 24 son 1, 2, 3,
4, 6, 8, 12 y 24; los factores del 16 son 1, 2, 4, 8 y 16. El mayor factor común es el 8.
Paso 2Conseguimos los factores comunes de las variables, en este caso las variables
comunes con la mayor potencia común. La variables comunes son x y y. La mayor
potencia común de x es x6 y la mayor potencia común de y es y3.
Paso 3Escribimos el factor común del polinomio como como el producto de los pasos
1 y 2 anteriores:

7. Factorización de polinomios
Vamos a factorizar el siguiente polinomio:
Paso 1 Determinamos el factor común del polinomio:
Paso 2 Reescribimos cada término del polinomio como un producto equivalente del factor
común y el segundo factor:
Nota: 8x6y3(3x2)- 8x6y3(2y4z3) no es la forma factorizada porque aún no están separados los
factores.
Paso 3Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor común:
Paso 4
Revisamos los pasos realizados:

8. Ejercicio 1
1 x³ + x²
Para factorizar: x³ + x²
Notemos que x² es factor común de x³ y x² tal que:
x³ + x² = x² (x + 1) ; Entonces tenemos x² (x + 1)
Sabemos que las raíces, es el valor que toma x tal que la ecuación es igual a cero, entonces,
dado x² (x + 1), existen 2 casos:
caso 1: cuando x² = 0 puesto que 0(x+1)=0
caso 2: cuando x=-1 puesto que x² ((-1)+ 1) = x²(0) = 0
Las raíces son: x=0 y x =−1

9. Ejercicio 2
2 2x4 + 4x²
Para factorizar: 2x4 + 4x²
Notemos que 2x² es factor común de 2x4 y 4x² tal que:
2x4 + 4x² = 2x² (x² + 2)
En este caso solo existe la raiz x = 0; ya que para el polinomio x² + 2 no existe valor para x
tal que x² + 2=0;
Con razonamiento matemático podemos demostrar lo anterior x²≥0 entonces x²+2≥2
La raíz es: x=0

10. Ejercicio 3
3 x² − 4
Para factorizar: x² − 4
Notemos que x² − 4 se puede expresar como una diferencia de cuadrados:
Nota: (a² - b²)=(a+b)(a-b)
Entonces: x² − 4 =(x² −(2)²)= (x + 2) · (x − 2)
dado (x + 2) · (x − 2), existen 2 casos:
caso 1: cuando x + 2 = 0 puesto que (0) · (x − 2)=0 entonces x+2=0 cuando x=-2
caso 2: cuando x − 2=0 puesto que (x + 2) · (0)=0 entonces x-2=0 cuando x= 2
Las raíces son: x=2 y x =−2

11. Ejercicio 4
4 x4 − 16
Para factorizar: x4 − 16
Notemos que x4 − 16 se puede expresar como una diferencia de cuadrados:
x4 − 16 = (x² + 4) · (x² − 4)
Volvemos a encontrarnos con una diferencia de cuadrados
(x² + 4) · (x² − 4)= (x² + 4)· (x + 2) (x − 2)
Las raíces son x = −2 y x = 2