Este documento trata sobre medidas de posición y tendencia central en estadística, incluyendo la media aritmética, mediana, moda y cuantiles. Explica cómo calcular cada medida y provee ejemplos numéricos. La media aritmética es la suma de los valores dividida por el número total de observaciones. La mediana es el punto medio de los valores ordenados. La moda es el valor con mayor frecuencia. Los cuantiles dividen los datos ordenados en partes iguales para proveer más información sobre la distribución.

1. ESTADÍSTICA YESTADÍSTICA Y
PROBABILIDADESPROBABILIDADES
UNHEVAL- 2009UNHEVAL- 2009
Mg. VARGAS RONCAL, RosarioMg. VARGAS RONCAL, Rosario

2. CAPÍTULO III. MEDIDAS DECAPÍTULO III. MEDIDAS DE
POSICIÓN Y DE TENDENCIAPOSICIÓN Y DE TENDENCIA
CENTRALCENTRAL

3. 3.1 MEDIA ARITMÉTICA3.1 MEDIA ARITMÉTICA
• La media aritmética de una variable estadística es la
suma de todos sus posibles valores dividido por el
total de las observaciones.

4. MEDIA
ARITMÉTICA
Datos no
agrupados
Datos
Agrupados
Población
Muestra
Fórmulas para la mediaFórmulas para la media
N
x
N
i
i∑=
= 1
µ
N
nx i
K
i
i∑=
= 1
µ
n
x
x
n
i
i∑=
= 1
n
nx
x
i
k
i
i∑=
= 1
K: número de intervalos

5. EjemploEjemplo. Calcular la media aritmética de la siguiente. Calcular la media aritmética de la siguiente
distribución de frecuencia del número de meses dedistribución de frecuencia del número de meses de
duración de una muestra de 40 baterías para coche.duración de una muestra de 40 baterías para coche.
duración de las baterías (meses) Número de baterías
15 - 19 2
20 - 24 1
25 - 29 4
30 - 34 15
35 - 39 10
40 - 44 5
45 - 49 3

6. Li-1
Li
x ni
xi
ni
15 19 17 2 34
20 24 22 1 22
25 29 27 4 108
30 34 32 15 480
35 39 37 10 370
40 44 42 5 210
45 49 47 3 141
n =40 1365=∑ ii nx
125.34
40
13651
===
∑=
n
nx
x
i
k
i
i

7. 3.2 MEDIANA.3.2 MEDIANA.
Es el punto medio de los valores de una serieEs el punto medio de los valores de una serie
de datos después de haber sido ordenados dede datos después de haber sido ordenados de
acuerdo a su magnitud.acuerdo a su magnitud.
La mediana divide al total de los datos en dosLa mediana divide al total de los datos en dos
partes iguales (50% para cada lado).partes iguales (50% para cada lado).

8. Datos no agrupados Datos Agrupados
MEDIANA
Con datos ordenándos
Si n es impar
Si n es par
Con intervalo
Sin intervalo
)
2
1
2
( +
= nxMe
2
)1
2
()
2
( +
+
=
nn xx
Me
1−= je LM
j
j
j
je a
n
N
n
LM
1
1
2
−
−
−
+=
2
1 jj
e
LL
M
+
=
−
je yM =
Nj-1: frecuencia acumulada mediana; nj: frecuencia simple mediana
aj: amplitud de clase mediana ; lj-1: limite inferior del intervalo mediano
n: numero total de observaciones
1
2
−= jN
n
Si
jj N
n
NSi <<−
2
1
1
2
−= jN
n
Si
jj N
n
NSi <<−
2
1
Fórmulas de la mediana

9. Ejemplo.Ejemplo. Calcular la mediana de la siguiente Calcular la mediana de la siguiente
distribución de frecuencia del número de meses de distribución de frecuencia del número de meses de
duración de una muestra de 40 baterías para coche. duración de una muestra de 40 baterías para coche.
Duración de las baterías (meses) Número de
baterías
15 - 19 2
20 - 24 1
25 - 29 4
30 - 34 15
35 – 39 10
40 – 44 5
45 – 49 3

10. Ni
2
3
7
22
32
37
40
Li-1
- Li
ni
15 - 19 2
20 - 24 1
25 - 29 4
30 - 34 15
35 - 39 10
40 - 44 5
45 - 49 3
40
Nj-1
lj-1
ja
jn
jN
n
jleM
12
1
−−
+−= 47.33)4(
15
13
30)4(
15
7
2
40
30 =+=
−
+=
30 - 34 15 22
20
2
40
2
==
n
Nj
nj

11. 3.3 MODA3.3 MODA
La moda se define como aquel valor de la variable
al que corresponde máxima frecuencia (absoluta o
relativa).
La moda puede no existir, e incluso no ser única en
el caso de existir.

12. Datos no
agrupados
Datos Agrupados
MODA
Puede ser mono,
bi, tri modal
Mo= x (mayor
frecuencia)
nj-1: frecuencia pre modal ; nj+1: frecuencia simple post modal
nj: frecuencia simple modal ; aj: amplitud de clase modal
lj-1: limite inferior del intervalo modal ; n: numero de observaciones
j
jjjj
jj
jO a
nnnn
nn
lM
)()( 11
1
1
+−
−
−
−+−
−
+=
Fórmulas de la moda

13. Ejemplo. Observados los alquileres de un conjunto
de despachos se ha obtenido:
Alquileres en
ciento de soles
ni
[0,15) 17
[15,30) 130
[30,45) 180
[45,60) 30
[60,75) 10
[75,90) 5
Calcula la moda y la mediana.

14. Alquileres en
ciento de soles
ni
[0,15) 17
[15,30) 130
[30,45) 180
[45,60) 30
[60,75) 10
[75,90) 5
[30,45) 180 nj= 180
nj-1= 130
nj+1= 30
j
jjjj
jj
jO a
nnnn
nn
lM
)()( 11
1
1
+−
−
−
−+−
−
+= 75.33)15(
)30180()130180(
130180
30 =
−+−
−
+=
Lj-1

15. 3.4 CUANTILES: DECILES, CUARTILES
Y PERCENTILES
Son medidas de posición, basadas en la
ordenación de los datos.
Dividen al conjunto de datos ordenado en
partes iguales.
Según el número de partes, hablamos de:

16. 3.4.1 CUARTILES.Dividen al conjunto de datos en 4 partes
iguales, cada una de las cuales engloba un 25% de datos. Hay
por tanto 3 cuartiles, Q1, Q2, Q3
3.4.2 DECILES. Dividen al conjunto de datos en 10 partes
iguales, cada una de las cuales engloba un 10% de datos. Hay
por tanto 9 deciles, D1, ..., D9.
3.4.3 PERCENTILES.Dividen al conjunto de datos en 100
partes iguales, cada una de las cuales engloba un 1% de datos.
Hay por tanto 99 percentiles, P1, ..., P99.
La mediana, al dejar por debajo a un 50% de los datos,
coincide con el D5, Q2 y P50. La forma de cálculo es similar a
la de la mediana.
Una franja de interés es [P25- P75], que contiene al 50% de los
datos centrales.
Por debajo del P25 quedan el 25% de los datos más pequeños, y

17. Datos no
agrupados
Datos Agrupados
CUANTILES:
Cuartiles
Deciles
percentiles
Fórmulas de cuantiles
i
i
i
ikr a
n
N
k
rn
lC
1
1/
−
−
−
+=
Ni-1: frecuencia acumulada cuantílica
ni: frecuencia simple cuantílica
ai: amplitud de clase cuantílica
li-1: limite inferior del intervalo cuantílico
n: numero total de observaciones
r: número del cuantil

18. EjemploEjemplo.. 20 alumnos de la asignatura de Estadística presentan20 alumnos de la asignatura de Estadística presentan
las siguientes edades:18 18 21 19 20 19 19 18 18 22 19 21 21 19las siguientes edades:18 18 21 19 20 19 19 18 18 22 19 21 21 19
19 19 18 19 19 21, determine los cuartiles 1 y 3, y los percentiles19 19 18 19 19 21, determine los cuartiles 1 y 3, y los percentiles
25 , 75, 9025 , 75, 90
Ordenamos los datos
18, 18, 18, 18, 18 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20 21, 21, 21, 21, 22
Cuartil 1 (q1)
18, 18, 18, 18, 18 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20 21, 21, 21, 21, 22
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
q1=18+0.25 (19-18)=18.25
Cuartil 3 (q3)
q3=20+0.75 (21-20)=20.75
25.5)120(
4
1
)1( =+=+= n
k
r
Posición
5.25
75.15)120(
4
3
)1( =+=+= n
k
r
Posición
15.75
15 16