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ESTADÍSTICA YESTADÍSTICA Y
PROBABILIDADESPROBABILIDADES
UNHEVAL- 2009UNHEVAL- 2009
Mg. VARGAS RONCAL, RosarioMg. VARGAS RONCAL, Rosario
CAPÍTULO III. MEDIDAS DECAPÍTULO III. MEDIDAS DE
POSICIÓN Y DE TENDENCIAPOSICIÓN Y DE TENDENCIA
CENTRALCENTRAL
3.1 MEDIA ARITMÉTICA3.1 MEDIA ARITMÉTICA
• La media aritmética de una variable estadística es la
suma de todos sus posibles valores dividido por el
total de las observaciones.
MEDIA
ARITMÉTICA
Datos no
agrupados
Datos
Agrupados
Población
Muestra
Fórmulas para la mediaFórmulas para la media
N
x
N
i
i∑=
= 1
µ
N
nx i
K
i
i∑=
= 1
µ
n
x
x
n
i
i∑=
= 1
n
nx
x
i
k
i
i∑=
= 1
K: número de intervalos
EjemploEjemplo. Calcular la media aritmética de la siguiente. Calcular la media aritmética de la siguiente
distribución de frecuencia del número de meses dedistribución de frecuencia del número de meses de
duración de una muestra de 40 baterías para coche.duración de una muestra de 40 baterías para coche.
duración de las baterías (meses) Número de baterías
15 - 19 2
20 - 24 1
25 - 29 4
30 - 34 15
35 - 39 10
40 - 44 5
45 - 49 3
Li-1
Li
x ni
xi
ni
15 19 17 2 34
20 24 22 1 22
25 29 27 4 108
30 34 32 15 480
35 39 37 10 370
40 44 42 5 210
45 49 47 3 141
  n =40 1365=∑ ii nx
125.34
40
13651
===
∑=
n
nx
x
i
k
i
i
3.2 MEDIANA.3.2 MEDIANA.
Es el punto medio de los valores de una serieEs el punto medio de los valores de una serie
de datos después de haber sido ordenados dede datos después de haber sido ordenados de
acuerdo a su magnitud.acuerdo a su magnitud.
La mediana divide al total de los datos en dosLa mediana divide al total de los datos en dos
partes iguales (50% para cada lado).partes iguales (50% para cada lado).
Datos no agrupados Datos Agrupados
MEDIANA
Con datos ordenándos
Si n es impar
Si n es par
Con intervalo
Sin intervalo
)
2
1
2
( +
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2
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2
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2
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1−= je LM
j
j
j
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N
n
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1
1
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−
−
−
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2
1 jj
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LL
M
+
=
−
je yM =
Nj-1: frecuencia acumulada mediana; nj: frecuencia simple mediana
aj: amplitud de clase mediana          ; lj-1: limite inferior del intervalo mediano
n: numero total de observaciones
1
2
−= jN
n
Si
jj N
n
NSi <<−
2
1
1
2
−= jN
n
Si
jj N
n
NSi <<−
2
1
Fórmulas de la mediana
Ejemplo.Ejemplo. Calcular la mediana de la siguiente  Calcular la mediana de la siguiente 
distribución de frecuencia del número de meses de distribución de frecuencia del número de meses de 
duración de una muestra de 40 baterías para coche. duración de una muestra de 40 baterías para coche. 
Duración de las baterías (meses) Número de
baterías
15 - 19 2
20 - 24 1
25 - 29 4
30 - 34 15
35 – 39 10
40 – 44 5
45 – 49 3
Ni
2
3
7
22
32
37
40
 
Li-1
- Li
ni
15 - 19 2
20 - 24 1
25 - 29 4
30 - 34 15
35 - 39 10
40 - 44 5
45 - 49 3
40
Nj-1
lj-1
ja
jn
jN
n
jleM
12
1
−−
+−= 47.33)4(
15
13
30)4(
15
7
2
40
30 =+=
−
+=
30 - 34 15 22
20
2
40
2
==
n
Nj
nj
3.3 MODA3.3 MODA
La moda se define como aquel valor de la variable
al que corresponde máxima frecuencia (absoluta o
relativa).
La moda puede no existir, e incluso no ser única en
el caso de existir.
Datos no
agrupados
Datos Agrupados
MODA
Puede ser mono,
bi, tri modal
Mo= x (mayor
frecuencia)
nj-1: frecuencia pre modal ; nj+1: frecuencia simple post modal
nj: frecuencia simple modal ; aj: amplitud de clase modal
lj-1: limite inferior del intervalo modal ; n: numero de observaciones
j
jjjj
jj
jO a
nnnn
nn
lM
)()( 11
1
1
+−
−
−
−+−
−
+=
Fórmulas de la moda
Ejemplo. Observados los alquileres de un conjunto
de despachos se ha obtenido:
Alquileres en
ciento de soles
ni
[0,15) 17
[15,30) 130
[30,45) 180
[45,60) 30
[60,75) 10
[75,90) 5
Calcula la moda y la mediana.
Alquileres en
ciento de soles
ni
[0,15) 17
[15,30) 130
[30,45) 180
[45,60) 30
[60,75) 10
[75,90) 5
[30,45) 180 nj= 180
nj-1= 130
nj+1= 30
j
jjjj
jj
jO a
nnnn
nn
lM
)()( 11
1
1
+−
−
−
−+−
−
+= 75.33)15(
)30180()130180(
130180
30 =
−+−
−
+=
Lj-1
3.4 CUANTILES: DECILES, CUARTILES
Y PERCENTILES
Son medidas de posición, basadas en la
ordenación de los datos.
Dividen al conjunto de datos ordenado en
partes iguales.
Según el número de partes, hablamos de:
3.4.1 CUARTILES.Dividen al conjunto de datos en 4 partes
iguales, cada una de las cuales engloba un 25% de datos. Hay
por tanto 3 cuartiles, Q1, Q2, Q3
3.4.2 DECILES. Dividen al conjunto de datos en 10 partes
iguales, cada una de las cuales engloba un 10% de datos. Hay
por tanto 9 deciles, D1, ..., D9.
3.4.3 PERCENTILES.Dividen al conjunto de datos en 100
partes iguales, cada una de las cuales engloba un 1% de datos.
Hay por tanto 99 percentiles, P1, ..., P99.
La mediana, al dejar por debajo a un 50% de los datos,
coincide con el D5, Q2 y P50. La forma de cálculo es similar a
la de la mediana.
Una franja de interés es [P25- P75], que contiene al 50% de los
datos centrales.
Por debajo del P25 quedan el 25% de los datos más pequeños, y
Datos no
agrupados
Datos Agrupados
CUANTILES:
Cuartiles
Deciles
percentiles
Fórmulas de cuantiles
i
i
i
ikr a
n
N
k
rn
lC
1
1/
−
−
−
+=
Ni-1: frecuencia acumulada cuantílica
ni: frecuencia simple cuantílica
ai: amplitud de clase cuantílica
li-1: limite inferior del intervalo cuantílico
n: numero total de observaciones
r: número del cuantil
EjemploEjemplo.. 20 alumnos de la asignatura de Estadística presentan20 alumnos de la asignatura de Estadística presentan
las siguientes edades:18 18 21 19 20 19 19 18 18 22 19 21 21 19las siguientes edades:18 18 21 19 20 19 19 18 18 22 19 21 21 19
19 19 18 19 19 21, determine los cuartiles 1 y 3, y los percentiles19 19 18 19 19 21, determine los cuartiles 1 y 3, y los percentiles
25 , 75, 9025 , 75, 90
Ordenamos los datos
18, 18, 18, 18, 18 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20 21, 21, 21, 21, 22
Cuartil 1 (q1)
18, 18, 18, 18, 18 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20 21, 21, 21, 21, 22
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
q1=18+0.25 (19-18)=18.25
Cuartil 3 (q3)
q3=20+0.75 (21-20)=20.75
25.5)120(
4
1
)1( =+=+= n
k
r
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Media, mediana y moda en estadística

  • 1. ESTADÍSTICA YESTADÍSTICA Y PROBABILIDADESPROBABILIDADES UNHEVAL- 2009UNHEVAL- 2009 Mg. VARGAS RONCAL, RosarioMg. VARGAS RONCAL, Rosario
  • 2. CAPÍTULO III. MEDIDAS DECAPÍTULO III. MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIAPOSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRALCENTRAL
  • 3. 3.1 MEDIA ARITMÉTICA3.1 MEDIA ARITMÉTICA • La media aritmética de una variable estadística es la suma de todos sus posibles valores dividido por el total de las observaciones.
  • 4. MEDIA ARITMÉTICA Datos no agrupados Datos Agrupados Población Muestra Fórmulas para la mediaFórmulas para la media N x N i i∑= = 1 µ N nx i K i i∑= = 1 µ n x x n i i∑= = 1 n nx x i k i i∑= = 1 K: número de intervalos
  • 5. EjemploEjemplo. Calcular la media aritmética de la siguiente. Calcular la media aritmética de la siguiente distribución de frecuencia del número de meses dedistribución de frecuencia del número de meses de duración de una muestra de 40 baterías para coche.duración de una muestra de 40 baterías para coche. duración de las baterías (meses) Número de baterías 15 - 19 2 20 - 24 1 25 - 29 4 30 - 34 15 35 - 39 10 40 - 44 5 45 - 49 3
  • 6. Li-1 Li x ni xi ni 15 19 17 2 34 20 24 22 1 22 25 29 27 4 108 30 34 32 15 480 35 39 37 10 370 40 44 42 5 210 45 49 47 3 141   n =40 1365=∑ ii nx 125.34 40 13651 === ∑= n nx x i k i i
  • 7. 3.2 MEDIANA.3.2 MEDIANA. Es el punto medio de los valores de una serieEs el punto medio de los valores de una serie de datos después de haber sido ordenados dede datos después de haber sido ordenados de acuerdo a su magnitud.acuerdo a su magnitud. La mediana divide al total de los datos en dosLa mediana divide al total de los datos en dos partes iguales (50% para cada lado).partes iguales (50% para cada lado).
  • 8. Datos no agrupados Datos Agrupados MEDIANA Con datos ordenándos Si n es impar Si n es par Con intervalo Sin intervalo ) 2 1 2 ( + = nxMe 2 )1 2 () 2 ( + + = nn xx Me 1−= je LM j j j je a n N n LM 1 1 2 − − − += 2 1 jj e LL M + = − je yM = Nj-1: frecuencia acumulada mediana; nj: frecuencia simple mediana aj: amplitud de clase mediana          ; lj-1: limite inferior del intervalo mediano n: numero total de observaciones 1 2 −= jN n Si jj N n NSi <<− 2 1 1 2 −= jN n Si jj N n NSi <<− 2 1 Fórmulas de la mediana
  • 10. Ni 2 3 7 22 32 37 40   Li-1 - Li ni 15 - 19 2 20 - 24 1 25 - 29 4 30 - 34 15 35 - 39 10 40 - 44 5 45 - 49 3 40 Nj-1 lj-1 ja jn jN n jleM 12 1 −− +−= 47.33)4( 15 13 30)4( 15 7 2 40 30 =+= − += 30 - 34 15 22 20 2 40 2 == n Nj nj
  • 11. 3.3 MODA3.3 MODA La moda se define como aquel valor de la variable al que corresponde máxima frecuencia (absoluta o relativa). La moda puede no existir, e incluso no ser única en el caso de existir.
  • 12. Datos no agrupados Datos Agrupados MODA Puede ser mono, bi, tri modal Mo= x (mayor frecuencia) nj-1: frecuencia pre modal ; nj+1: frecuencia simple post modal nj: frecuencia simple modal ; aj: amplitud de clase modal lj-1: limite inferior del intervalo modal ; n: numero de observaciones j jjjj jj jO a nnnn nn lM )()( 11 1 1 +− − − −+− − += Fórmulas de la moda
  • 13. Ejemplo. Observados los alquileres de un conjunto de despachos se ha obtenido: Alquileres en ciento de soles ni [0,15) 17 [15,30) 130 [30,45) 180 [45,60) 30 [60,75) 10 [75,90) 5 Calcula la moda y la mediana.
  • 14. Alquileres en ciento de soles ni [0,15) 17 [15,30) 130 [30,45) 180 [45,60) 30 [60,75) 10 [75,90) 5 [30,45) 180 nj= 180 nj-1= 130 nj+1= 30 j jjjj jj jO a nnnn nn lM )()( 11 1 1 +− − − −+− − += 75.33)15( )30180()130180( 130180 30 = −+− − += Lj-1
  • 15. 3.4 CUANTILES: DECILES, CUARTILES Y PERCENTILES Son medidas de posición, basadas en la ordenación de los datos. Dividen al conjunto de datos ordenado en partes iguales. Según el número de partes, hablamos de:
  • 16. 3.4.1 CUARTILES.Dividen al conjunto de datos en 4 partes iguales, cada una de las cuales engloba un 25% de datos. Hay por tanto 3 cuartiles, Q1, Q2, Q3 3.4.2 DECILES. Dividen al conjunto de datos en 10 partes iguales, cada una de las cuales engloba un 10% de datos. Hay por tanto 9 deciles, D1, ..., D9. 3.4.3 PERCENTILES.Dividen al conjunto de datos en 100 partes iguales, cada una de las cuales engloba un 1% de datos. Hay por tanto 99 percentiles, P1, ..., P99. La mediana, al dejar por debajo a un 50% de los datos, coincide con el D5, Q2 y P50. La forma de cálculo es similar a la de la mediana. Una franja de interés es [P25- P75], que contiene al 50% de los datos centrales. Por debajo del P25 quedan el 25% de los datos más pequeños, y
  • 17. Datos no agrupados Datos Agrupados CUANTILES: Cuartiles Deciles percentiles Fórmulas de cuantiles i i i ikr a n N k rn lC 1 1/ − − − += Ni-1: frecuencia acumulada cuantílica ni: frecuencia simple cuantílica ai: amplitud de clase cuantílica li-1: limite inferior del intervalo cuantílico n: numero total de observaciones r: número del cuantil
  • 18. EjemploEjemplo.. 20 alumnos de la asignatura de Estadística presentan20 alumnos de la asignatura de Estadística presentan las siguientes edades:18 18 21 19 20 19 19 18 18 22 19 21 21 19las siguientes edades:18 18 21 19 20 19 19 18 18 22 19 21 21 19 19 19 18 19 19 21, determine los cuartiles 1 y 3, y los percentiles19 19 18 19 19 21, determine los cuartiles 1 y 3, y los percentiles 25 , 75, 9025 , 75, 90 Ordenamos los datos 18, 18, 18, 18, 18 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20 21, 21, 21, 21, 22 Cuartil 1 (q1) 18, 18, 18, 18, 18 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20 21, 21, 21, 21, 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 q1=18+0.25 (19-18)=18.25 Cuartil 3 (q3) q3=20+0.75 (21-20)=20.75 25.5)120( 4 1 )1( =+=+= n k r Posición 5.25 75.15)120( 4 3 )1( =+=+= n k r Posición 15.75 15 16