1. ACTIVIDADES DE REFUERZO
7 Los vectores en el plano
1. Efectua las siguientes operaciones:
´
a) (5, Ϫ3) ϩ (Ϫ3, Ϫ1) d) (1, 2) ϩ (Ϫ2) (3, 4) ϩ (Ϫ3) (5, Ϫ6)
b) (Ϫ2, 4) ϩ (Ϫ1) [(2, Ϫ1) ϩ (Ϫ1) (Ϫ3, Ϫ4)] e) 3[2(Ϫ2, 3) ϩ (Ϫ2) (3, Ϫ4)] ϩ (Ϫ1, Ϫ2)
΂ ΃
1 1 1
c) (Ϫ2) (3, Ϫ3) ϩ 3 (Ϫ3, 3) ϩ (1, 0) f) (Ϫ1, 3) ϩ (Ϫ2) ,Ϫ
2 3 2
2. Dados los vectores de la figura, decide cuales de las siguientes
´
g
afirmaciones son verdaderas y cuales falsas.
´ f
k
a ϭm m ϭ Ϫk b ϭ Ϫh a b h
b ϭe f ϭ Ϫg g ϭd p
c d n
c ϭ Ϫn c ϭ Ϫp n ϭp
m
e
3. Dado el rombo de vertices ABCD, completa las siguientes igualdades:
´ A
Ejemplo: AB ϩ BC ϭ (Ϫ2, Ϫ4) ϩ (2, Ϫ4) ϭ (0, Ϫ8) ϭ AC
AB ϩ BO OC ϩ CD
CA ϩ AB BC ϩ CD B O D
OD ϩ DC CD ϩ AB
OB ϩ OD CD ϩ DA ϩ AB
C
4. Calcula el producto escalar de los siguientes vectores:
a) u ϭ (3, 4), v ϭ (2, 5) b) u ϭ (Ϫ2, 4), v ϭ (2, Ϫ1) c) u ϭ (Ϫ3, Ϫ4), v ϭ (2, 0)
5. Dados los vectores de la figura, calcula el valor de las siguientes operaciones: Y
a) u · v ϩ u · w
b) u · (v ϩ w) Ϫ w · (u Ϫ v) w
v
c) u · (2v ϩ 3w) Ϫ w · (3u Ϫ 2v) 1
u
1 X
6. Calcula el modulo de los siguientes vectores:
´
a) u ϭ (3, 4) b) v ϭ (Ϫ6, 8) c) w ϭ (Ϫ24, Ϫ32)
7. Consideramos los vectores u ϭ (2, Ϫ2) y v ϭ 2i Ϫ j . Dibujalos y calcula el ´ngulo que forman.
´ a
8. Calcula un vector unitario y que tenga la misma direccion que el vector u ϭ (16, Ϫ30).
´
9. Calcula un vector unitario y que sea ortogonal al vector u ϭ (15, Ϫ8).
10. Dadas las rectas r y s y el segmento AB de la figura, traza otro segmento CD r A
de la misma longitud que AB y paralelo a ´l y tal que el punto C pertenezca a
e
B
la recta s y el punto D a la r.
s
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´ Actividades de refuerzo

2. SOLUCIONES
1. a) (2, Ϫ4) d) (Ϫ20, 12) 6. a) W uW ϭ ͙3 ϩ 4 ϭ ͙25 ϭ 5
2 2
b) W vW ϭ ͙(Ϫ6) ϩ 8 ϭ ͙100 ϭ 10
2 2
b) (Ϫ7, 1) e) (Ϫ31, 40)
c) W wW ϭ ͙(Ϫ24) ϩ (Ϫ32) ϭ ͙1 600 ϭ 40
2 2
΂ ΃
7 5
c) (Ϫ14, 15) f) Ϫ ,
6 2
u ·v
2. a ϭ m falsa, ya que no tienen el mismo sentido.
7. Y cos (u, v ) ϭ
r
Wu W · Wv W
1
b ϭ e verdadera. 1
c ϭ Ϫn verdadera. v X
u
m ϭ Ϫk falsa, ya que no tienen el mismo modulo.
´
f ϭ Ϫg verdadera.
c ϭ Ϫp falsa, ya que no tienen el mismo sentido.
4ϩ2 6 3
b ϭ Ϫh verdadera. cos (r v ) ϭ
u, ϭ ϭ
͙ 4 ϩ 4 ͙4 ϩ 1 ͙40 ͙10
g ϭ d verdadera.
n ϭ p falsa, ya que no tienen el mismo sentido. (u, v ) ϭ 18,43... Ϸ 18Њ26Ј6Љ
r
8. Para obtener un vector en la direccion de u y que
´
3. AB ϩ BO ϭ (Ϫ2, Ϫ4) ϩ (2, 0) ϭ (0, Ϫ4) ϭ AO sea unitario, basta dividir u por su modulo:
´
OC ϩ CD ϭ (0, Ϫ4) ϩ (2, 4) ϭ (2, 0) ϭ OD Ϫ30
CA ϩ AB ϭ (0, 8) ϩ (Ϫ2, Ϫ4) ϭ (Ϫ2, 4) ϭ CB
yϭ
u
Wu W
ϭ ΂͙16 2
16
ϩ (Ϫ30)2
,
͙16 ϩ (Ϫ30)
2 2
ϭ ΃
BC ϩ CD ϭ (2, Ϫ4) ϩ (2, 4) ϭ (4, 0) ϭ BD
OD ϩ DC ϭ (2, 0) ϩ (Ϫ2, Ϫ4) ϭ (0, Ϫ4) ϭ OC ϭ ΂16 , Ϫ 30΃ ϭ ΂17 , Ϫ 15΃
34 34
8
17
CD ϩ AB ϭ (2, 4) ϩ (Ϫ2, Ϫ4) ϭ (0, 0) ϭ O
OB ϩ OD ϭ (Ϫ2, 0) ϩ (2, 0) ϭ (0, 0) ϭ O
9. Un vector ortogonal al vector u ϭ (15, Ϫ8)
CD ϩ DA ϩ AB ϭ (2, 4) ϩ (Ϫ2, 4) ϩ (Ϫ2, Ϫ4) ϭ es v ϭ (8, 15) ya que u · v ϭ 120 Ϫ 120 ϭ 0.
ϭ (Ϫ2, 4) ϭ CB
Para obtener un vector en la direccion de v y que
´
sea unitario, basta dividir v por su modulo:
´
4. a) u · v ϭ (3, 4) · (2, 5) ϭ 6 ϩ 20 ϭ 26
b) u · v ϭ (Ϫ2, 4) · (2, Ϫ1) ϭ Ϫ4 Ϫ 4 ϭ Ϫ8
yϭ
v
Wv W
ϭ ΂͙8 2
8
,
15
ϩ 15 ͙8 ϩ 15
2 2 2
ϭ
8 15
,
17 17 ΃ ΂ ΃
c) u · v ϭ (Ϫ3, Ϫ4) · (2, 0) ϭ Ϫ6 ϩ 0 ϭ Ϫ6
10. Se traslada la recta s segun el vector AB.
´
La interseccion de dicha recta con la r da el ex-
´
5. u ϭ (4, 2) v ϭ (4, 4) w ϭ (Ϫ1, 3) tremo D del segmento buscado.
a) (4, 2) · (4, 4) ϩ (4, 2) · (Ϫ1, 3) ϭ El otro extremo, C, se obtiene como traslacion del
´
ϭ 16 ϩ 8 Ϫ 4 ϩ 6 ϭ 26 punto D segun el vector guı ϪAB ϭ BA.
´ ´a
b) (4, 2) · (3, 7) Ϫ (Ϫ1, 3) · (0, Ϫ2) ϭ r A
ϭ 12 ϩ 14 ϩ 6 ϭ 32 B
C
c) (4, 2) · (5, 13) Ϫ (Ϫ1, 3) · (4, Ϫ2) ϭ s
ϭ 20 ϩ 26 ϩ 4 ϩ 6 ϭ 56
D
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´