Este documento presenta dos problemas de topografía que involucran el cálculo de coordenadas de puntos desconocidos a partir de mediciones de ángulos y distancias. En el primer problema, se calculan las coordenadas de los puntos A y B. En el segundo problema, se calculan las coordenadas del punto P, ubicado al este de los puntos A, B y C, cuyas coordenadas se conocen. Ambos problemas involucran el cálculo de ángulos y distancias, así como ecuaciones trigonométricas para determinar las coordenadas descon

1. E.U.I.T.A. Universidad de Sevilla Prácticas de Topografía
Curso 2009-10
Problema de Hansen.
Para obtener las coordenadas de dos puntos A y B, referidos a un sistema del
cual se conocen las coordenadas, puntos C y D, nos hemos estacionado en los
puntos A y B .
Se sabe que los puntos A y B se encuentran a la derecha de la alineación C–D.
Situados en A se ha visado a los puntos C, D y B.
Situados en B se ha visado a los puntos A, C y D.
Los datos obtenidos en campo son los siguientes:
Est. P.O. Ang. Horiz.
A C 47,3187g
" D 118,2773g
" B 184,5054g
B A 85,5128g
" C 129,6600g
" D 197,4969g
Sabiendo que las coordenadas de C y D son, respectivamente:
C= ( 828,056 / 982,741)
D= (1.137,837 / 436,811)
Con los datos anteriores calcular las coordenadas de los puntos A y B.
Cálculo de ángulos.-
α1= (118,2773 – 47,3187)= 70,9586g
β1= (184,5054 – 118,2773)= 66,2281g
α2= (129,66 – 85,5128)= 44,1472g
β2= (197,4969 – 129,6600)= 67,8369g
γ1= 200 – (α1+ β1 + α2) = (200 – 181,3339)=
=18,6661g
γ2= 200 – (β1+ α2 + β2) = (200 – 178,2122) =
=21,7878g
Distancia CD= √ Δx2
+ Δy2
= √309,7812
+ 545,9302
= 627,697 m.
S = (α + β) = (β1+ α2) (α + β) = 110,3753g
β = (110,3753 - α)
B
A
C
D
1
1
1
2
2
2

2. E.U.I.T.A. Universidad de Sevilla Prácticas de Topografía
Curso 2009-10
DCA=> DC = CA => DC = sen α1
sen α1 sen β CA sen β
CAB=> CA = AB => CA = sen α2
sen α2 sen γ1 AB sen γ1
ABD=> AB = BD => AB = sen γ2
sen γ2 sen β1 BD sen β1
BDC=> BD = DC => BD = sen α
sen α sen β2 DC sen β2
1= sen α1 * sen α2 * sen γ2 * sen α
sen β * sen γ1 * sen β1 * sen β2
K = sen α = sen γ1* sen β1 * sen β2 = 0,218154868= 1,132798129
sen β sen α1* sen α2 * sen γ2 0,192580533
sen α = 1,132798129
sen (110,3753 - α)
sen α = K [(sen 110,3753 * cos α) - (cos 110,3753 * sen α)]
sen α = 1,132798129* [(sen 110,3753 * cos α) - (cos 110,3753 * sen α)]
sen α = (1,117787388* cos α) - (0,183801403 * sen α)
0,816198596 * sen α = 1,117787388* cos α
sen α = 1,117787388 α = atg 1,369504179 = 59,8482g
cos α 0,816198596
β= (110,3753 – 59,8482)= 50,5271g
Cálculo de acimutes.-
θC
D
= (100 + atg ΔY ) = 100 + atg 545,930 = 167,1420g
ΔX 309,781
θC
A
= (θC
D
+ α + γ1)= 245,6563g
θD
B
= θD
C
- (β + γ2)= 367,1420 – (50,5271 +21,7878)= 294,8271g
Multiplicando miembro
a miembro.

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Curso 2009-10
Cálculo de distancias CA y BD.-
CA= DC * sen β= 627,697 * sen 50,5271 = 498,483 m
sen α1 sen 70,9586
BD= DC * sen α = 627,697 * sen 59,8482 = 579,310 m
sen β2 sen 67,8369
Coord. de A:
XA= XC + (CA * sen θC
A
)= 828,056 + (498,483 * sen 245,6563)= 500,427
YA= YC + (CA * cos θC
A
)= 982,741 + (498,483 * cos 245,6563)= 607,049
Coord. de B:
XB= XD+ (BD * sen θD
B
)= 1.137,837 + (579,310 * sen 294,8271)= 560,438
YB= YD+ (BD * cos θD
B
)= 436,811 + (579,310 * cos 294,8271)= 389,791

4. E.U.I.T.A. Universidad de Sevilla Prácticas de Topografía
Curso 2009-10
Problema de Pothenot.
Conocidas las coordenadas de tres puntos A, B y C; queremos darle
coordenadas relativas en éste mismo sistema, a un punto P, situado al este de
los puntos antes citados.
Coordenadas de A, B y C:
XA= 530,379; YA= 219,466
XB= 592,531 YB= 417,179
XC= 476,438 YC= 652,637
Los datos tomados en campo desde el punto P son los siguientes:
Ángulo APB= 21,3434g
Ángulo BPC= 21,1389g
Calcular las coordenadas del punto P.
Distancias AB y BC:
Distancia AB= √(Δx2
+ Δy2
)= √ 62,1522
+ 197,7132
= 207,252 m.
Distancia BC= √(Δx2
+ Δy2
)= √116,0932
+ 235,4582
= 262,522 m.
Ángulos:
θB
A
= 200 + atg ΔX= 200 + atg 62,152= 219,3898g
ΔY 197,713
θB
C
= 300 + atg ΔY= 300 + atg 235,458= 370,8383g
ΔX 116,092
P
A
B
C

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Curso 2009-10
Ángulo exterior= (θB
C
- θB
A
)= (370,8383 – 219,3898)= 151,4485 g
Ángulo B= (400 – ángulo exterior)= 248,5515 g
(A + C)= 400 – (B + α + β)= 108,9662g
C= (108,9662 – A)
AB = BP => BP= AB * sen A
sen α sen A sen α
Igualando tenemos:
BC = BP => BP= BC * sen C
sen β sen C sen β
AB * sen A = BC * sen C
sen α sen β
sen A = BC * sen α= 262,522 * sen 21,3434= 1,278473915
sen C AB * sen β 207,252 * sen 21,1389
sen A = 1,278473915
sen(108,9662 - A)
sen A= 1,278473915 * [(sen 108,9662 * cos A) - (cos 108,9662 * sen A)]
sen A= (1,265814884 * cos A) + (0,179466516 * sen A)
0,820533483 * sen A = 1,265814884 * cos A

6. E.U.I.T.A. Universidad de Sevilla Prácticas de Topografía
Curso 2009-10
sen A= 1,265814884 Ángulo A= 63,3863g
cos A 0,820533483
Ángulo C= (108,9662 – 63,3863)= 45,5799g
Cálculo de la distancia BP:
AB = BP
sen α sen A
BP= AB * sen A = 207,252 * sen 63,3863 = 528,576179 m
sen α sen 21,3434
ω= 200 - (α + A)= 200 - (63,3863 + 21,3434)= 115,2703g
θB
P
= (θB
A
- ω)= 219,3898 - 115,2703= 104,1195g
Coordenadas de P:
XP= XB + (BP * sen θB
P
)= 592,531 + (528,576 * sen 104,1195)= 1.120,000
YP= YB + (BP * cos θB
P
)= 417,179 + (528,576 * cos 104,1195)= 383,000