Este documento presenta un autoinstructivo sobre productos y cocientes notables. Explica conceptos clave como el binomio de Newton, productos notables como trinomios al cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados, y aplica ejercicios para que los estudiantes practiquen estos conceptos. El documento guía a los estudiantes paso a paso para que analicen, aprendan, apliquen y reflexionen sobre estos temas matemáticos fundamentales.

1. AUTOINSTRUCTIVO Nº 12
“Productos y cocientes notables”
I. Datos informativos
1. Institución
2. Carreras
3. Área
: IESPP “Mons. Elías Olázar”
: Comunicación, Ciencia Tecnología y Ambiente y Ciencias Sociales.
: Matemática
4. Ciclo : I
5. Fecha : / 07 / 2020
6. Duración : 04 horas
7. Formador : Juan Carlos Rivero Altuna.
II. Indicador de desempeño e Indicador específico.
Indicador de desempeño Indicador específico
Producto
/evidencia
Técnica
/Instrumento
Analiza y resuelve situaciones
problemáticas de diferentes fuentes de
información que involucren lógica
proposicional, teoría conjuntista,
conjuntos numéricos, expresiones
algebraicas,ecuaciones e inecuaciones
utilizando diferentes métodos
heurísticos en resolución de problemas.
Analiza las formas de
desarrollar los productos y
cocientes notables para
resolver situaciones
problemáticas en un
laboratorio de ejercicios.
Rúbrica
Ficha de
reflexión
Laboratorio de
ejercicios
III. Desarrollo
Analiza la siguiente información (20 minutos)
El Binomio de Newton
El teorema del binomio fue descubierto en el año 1665,
fue notificado por primera vez en dos cartas que fueron
enviadas por el funcionario y administrativo de la Royal
Society, Henry Oldenburg en el año 1676. La primera
carta tenía fue fechada el 13 de junio de 1676, en
respuesta a un pedido del filósofo, jurista y matemático
alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz, quien quería tener
conocimiento de las labores e investigaciones de
matemáticos británicos sobre series infinitas. Por lo cual Newton envía el enunciado de su teorema y
un ejemplo ilustrativo. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto de 1676, que se
encuentra ante una técnica general que le permite obtener distintos resultados sobre las cuadraturas,
las series, etc., y denomina algunas de sus ramificaciones por las investigaciones de Leibniz. Newton
responde también con una carta en la que detalla cómo ha descubierto la serie de binomios.
A partir de este hallazo Newton intuyó que era posible operar con series infinitas del mismo modo que
con expresiones polinómicas finitas.
Newton no se encargó de publicar jamás el teorema del binomio. Lo hizo el matemático británico, John
Wallis en el año 1685 en su Algebra, en la cual atribuyó a Newton el gran hallazgo.
Un binomio corresponde a un polinomio que se encuentra formado por dos términos. Newton desarrolló
la fórmula para así proceder al cálculo de las potencias de un binomio usando para esto números
combinatorios. Por medio de esta fórmula se puede formular la potencia que se requiere como la suma
de varios términos, cuyos coeficientes se pueden hallar utilizando el triángulo de Tartaglia. Vamos
entonces a teorizar la fórmula que nos dejará elevar a una potencia cualquiera de exponente natural,
n, un binomio.

2. 1. Te invitamos a reflexionar
Responde las siguientes preguntas: (20 minutos)
 ¿Quién fue Isaac Newton?
 ¿En qué consiste el binomio de Newton?
 ¿Cuál fue la participación de Leibniz?
2. Teorizo y aprendo (35 minutos)
Lee y analiza la siguiente información:
PRODUCTOS NOTABLES
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa sin
necesidad de aplicar la propiedad distributiva, ello por la forma como la presentan.
1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Es el desarrollo del binomio suma o diferencia al cuadrado.
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
Trinomio Cuadrado Perfecto
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
Ejm.:
(a + 3)2
= a2
+ 6a + 9
(2x + 5)2
= 4x2
+ 20x + 25
(x - 7)2
= x2
– 14x + 49
(3x - 1)2
= 9x2
– 6x + 1
(x + 6)2
=
(4x + 3)2
=
(m - 4)2
=
(5m - 2)2
=
De acá se generan las identidades de Legendre:
(a + b)2
+ (a - b)2
= 2(a2
+ b2
)
(a + b)2
– (a - b)2
= 4ab
Ejm.:
(3x + 2)2
+ (3x - 2) 2
=
(4x + 7)2
– (4x – 7) 2
=
(3x + 5)2
+ (3x - 5)2
=
(x + 9)2
- (x - 9)2
=
2. DIFERENCIADE CUADRADOS
Es el resultado generado de la multiplicación del binomio suma por su diferencia.
(a + b) (a - b) = a2
– b2
Diferencia de
Cuadrados

3. Ejm.:
(x + 3) (x - 3) = x2
- 9
(3x + 5)(3x - 5) = 9x2
– 25
(2x3
+ 5)(5 – 2x3
) = 25 – 4x6
3. BINOMIO AL CUBO (SUMA)
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
= a3
+ b3
+ 3ab(a + b) *
BINOMIO AL CUBO (DIFERENCIA)
(a - b)3
= a3
- 3a2
b + 3ab2
- b3
= a3
- b3
- 3ab(a - b) *
Ejm.:
(x + 3)3
= x3
+ 3x2
. 3 + 3x . 9 + 27
= x3
+ 27 + 3(3x)(x + 3)
(a - 5)3
= a3 – 3a2.5 + 3a.25 - 125
= a3
– 125 – 3(5a)(a - 5)
(y + 2)3
=
(m - 1)3
=
4. SUMADE CUBOS
(a3
+ b3
) = (a + b)(a2
– ab + b2
)
DIFERENCIADE CUBOS
(a3
- b3
) = (a - b)(a2
+ ab + b2
)
Ejm.:
(x + 2)(x2
– 2x + 4) = x3
+ 23
= x3
+ 8
(y - 5)(y2
+ 5y + 25) = y3
– 53
= y3
– 125
(2x + 3)(4x2
– 6x + 9) = (2x)3
+ 33
= 8x3
+27
(5x - 1)(25x2
+5x + 1) = (5x)3
– 13
= 125x3
- 1
3. Aplico lo aprendido
Pon de manifiesto lo aprendido (40 minutos)
Resolver:
 (m + 4)2
=
 (5m - 2)2
=
 (x - 5)2
=
 (2a + b)2
=

4.  (x + 7)(x - 7) =
 (2x – 4)(2x + 4) =
 (x4
+ 8)(x4
- 8) =
 (x - y)3
=
 (2a + b)3
=
 (x - 2)3
=
 (a + 3)3
=
 (5x - 1)(25x2
+5x + 1) =
 (2x - 1)(4x2
+ 2x +1) =
4. Compruebo lo que aprendí (PRODUCTO Nº )
Resuelve los siguientes ejercicios (45 minutos)
 (2a + 4)2
=
 (5m - 1)2
=
 (2x - 5)2
=
 (2a + 3)2
=
 (x + 9)(x - 9) =
 (x – 5)(x + 5) =
 (x4
+ 5)(x4
- 5) =
 (2x - y)3
=
 (a + b)3
=
 (x - 3)3
=
 (2a + 3m)3
=
 (5x - 1)(25x2
+5x + 1) =
5. Reflexiono sobre lo aprendido (20 minutos)
 ¿Qué aprendí en esta sesión?
 ¿Cómo lo aprendí?
 ¿Qué dificultades tuve?
 ¿Para qué me sirve lo aprendido?
IV. Referencias
https://es.scribd.com/doc/166589086/PRODUCTOS Y COCIENTESNOTABLES

5. I T E M S
ESCALA DE ESTIMACIÓN PARA LA AUTOEVALUACIÓN
Estudiante:…………..………………………………………………………………..…….................................
Área:…MATEMÁTICA……Fecha:………………………………………………….
Carrera: ……………………………………………………… Semestre: I
DIMENSIÓN: Personal
CRITERIO DE DESEMPEÑO:
Demuestra ética, compromiso y autodisciplina en las tareas académicas y práctica pedagógica que asume en
cuanto a su especialidad
INSTRUCCIÓN: Debes indicar tu opinión, siendo lo más sincero y objetivo posible.
0
Nada
1
A
veces
2
Regularmente
3
Casi
siempre
4
Siempre
1
Realizo las actividades planteadas en el
autoinstructivo dentro del tiempo
establecido
2
Muestro disposición e interés para las
clases y el trabajo a distancia del área
3
Solicito apoyo al formador para aclarar
mis dudas a través de los medios
señalados
4
Presento mis tareas en el tiempo
señalado y por los medios establecidos
5
Demuestro cuidado y esmero en la
entrega de los productos o trabajos
6
Muestro sinceridad y honestidad en la
realización de los trabajos.
7
Profundizo, investigo y repaso en casa
los temas tratados
8
Guardo respeto al profesor y presto
atención cuando brinda las orientaciones
9
Leo y cumplo los criterios de evaluación
de los productos o trabajos
encomendados
10
Realizo las tareas y trabajos con tiempo
para prevenir contratiempos de última
hora
SUB TOTAL
TOTAL
CALIFICATIVO VIGESIMAL
COMENTARIO:(aquí puede incluir fortalezas identificadas y dificultades encontradas, recomendaciones.)
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………….
Firma:
ESCALA