Este documento presenta 7 problemas de álgebra que involucran operaciones con raíces, potencias y productos notables. Los problemas piden determinar valores de verdad, valores que satisfagan una igualdad, simplificar expresiones y reducir expresiones. El documento proporciona la resolución detallada para cada problema.

1. Verano Integral ̅
Álgebra
Productos notables √ ⃗
Problema 1. Indique el valor de verdad para eliminar las raíces: Problema 6. Si ;
(V) o falsedad (F) de las siguientes Indique la alternativa correcta.
proposiciones. (√ √ )
I. ( )( ) ( ) A)
II. ( )( ) ( ) B)
III. ( )( ) ( ) √ √ √ √ C)
D)
E)
A) VVV B) VFF C) VFV
D) VVF E) FFV
⏟ Resolución. Primero hallemos el valor de
:
Resolución. Recuerde que
Por dato,
( )( ) ( ) Elevamos al cuadrado:
( )
Luego, en las proposiciones: Entonces, la alternativa correcta es la B).
⏟
I. Verdadero
( )
( )( ) ( ) Problema 4. Reduzca la expresión
( ) ( ) ( )
II. Falso ( ) ( ) Ahora hallemos el valor de :
( )( ) ( ) ( ) Por dato,
( ) A) B) C) D) 4 E) Elevamos al cubo:
( )
III. Verdadero Resolución. Aplicamos la segunda identidad ⏟⏟ ( )
( )( ) ( ) de Legendre: ( )( )
( )
( ) ( )
Problema 2. Sean ( ) ( ) Por lo tanto, la alternativa correcta es la E).
; ( ) ( )
Determine el valor de de modo que
Problema 7. Si
.
Simplificando se obtiene: ;
Determine el valor numérico de .
A) 3 B) C) 9 D) E) 2
Por lo tanto, .
A) B) 2 C) D) 4 E) 1
Resolución. Se quiere que
Problema 5. Reduzca la siguiente expresi-
on. Resolución.
Reemplazamos sus correspondientes valores:
( )( )( ) Por dato,
( )( ) Elevamos al cubo
( )
⏟
A) B) C) D) 1 E) Desarrollamos por la identidad de Cauchy:
( ) ⏟ ( )
⏟
Resolución. Recuerde que ( )
Por lo tanto, . ( )( )
Luego,
Problema 3. Dada la igualdad Por lo tanto, .
⏞
( )( )( )
√ √
(
⏟ )( ) Otra forma:
Recuerde (diferencia de cubos) que
Determine la alternativa correcta.
( )( )
( )
A)
⏞
( )( ) Por dato,
B)
⏟
C)
(
⏟ )( )
D)
( ) ( )
E)
Por lo tanto, la expresión se reduce a . Resto en ambos miembros :
Resolución. Elevemos al cuadrado el dato
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2. Verano Integral ̅
Álgebra
Productos notables √ ⃗
⏟ Elevamos al cuadrado
Problema 10. Sean e dos números de
( )
modo que √ y ( )
( )
halle el valor de .
Por lo tanto, .
Elevamos nuevamente al cuadrado:
A) B) 1 C) D) 3 E)
Problema 8. Si se cumple que ( )
Resolución. Nos piden calcular
despeje e indique un valor de que verifique
a la igualdad.
Por dato se tiene que
A) √ B) √ C) √
D) 1 E) √ y
Elevamos al cuadrado el primer dato:
Resolución. Recuerde el siguiente ejemplo: ( ) √ Problema 12. Sean y dos números de
modo que y
( ) ⏟
halle el valor de ( ) .
Lo que tenemos por dato es similar: ( )
A) 4 B) 10 C) 12 D) 13 E) 17
Sumemos 2 en ambos miembros: Reemplazamos en la expresión :
⏟ Resolución. Aplicamos la segunda identidad
de Legendre.
( )
Tomamos √ : ( ) ( )
√( ) √
Reemplazamos los datos en esta identidad:
√ Problema 11. Si
( ) ( ) ( )
√ ( ) ( )
( )
Por lo tanto, √ . ( )( )
( )
Por lo tanto, ( ) .
Problemas resueltos adicionales
A) 16 B) 18 C) 322
Problema 9. Calcule el valor de la D) 324 E) 326 Problema 13. Calcule el valor de
expresión si se sabe que .
√( )( )( )( ) Resolución. Recuerde que
( ) ( ) A) 15 B) 16 C) 52
si se sabe que .
D) 35 E) 18
Luego, en el dato
A) 2 B) 3 C) ( )
Resolución. Por dato se tienen que
D) √ E) ⏞
( ) ( )
y
(
⏟ )( )
Elevamos al cubo el primer dato:
Resolución. Recuerde que
( )
( )( ) ( ) ⏟(
⏟ )
Multiplicamos convenientemente: ( ) ( )
Invertimos
√( )( )( )( )
√( )( )
Por lo tanto, .
Por dato: . Luego,
Desdoblamos
√( )( )
√( )( )
√
Por lo tanto, la expresión se reduce a .
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