Libro pert-cpm

II NN DD II CC EE
 Fundamentos de la representación gráfica. 2
 Flechas ficticias. 3
 Cómputo de tiempo. 6
 Determinación del Camino Crítico. 10
 Ejercicio complementario (Paso a paso). 18

PERT CPM ING. José Luis Albornoz Salazar - 1 -
AA MMAANNEERRAA DDEE PPRRÓÓLLOOGGOO
Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la
solución de todo el problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que
se plantea puede ser modesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que
induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios
medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del
triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden determinar
una afición para el trabajo intelectual e imprimirle una huella imperecedera en
la mente y en el carácter.
Por ello, un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si
dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará
en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará
desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la
curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus
conocimientos, y los ayuda a resolverlos por medio de preguntas
estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y
proporcionarles ciertos recursos para ello.
Un estudiante cuyos estudios incluyan cierto grado de
matemáticas tiene también una particular oportunidad. Dicha
oportunidad se pierde, claro está, si ve las matemáticas como una
materia de la que tiene que presentar un examen final y de la cual no
volverá a ocuparse una vez pasado éste. Puede descubrir, sin embargo,
que un problema de matemáticas puede ser tanto o más divertido que un
crucigrama. Habiendo degustado el placer de las matemáticas, ya no las
olvidará fácilmente, presentándose entonces una buena oportunidad para que
las matemáticas adquieran un sentido para él, ya sean como un pasatiempo o
como herramienta de su profesión, o su profesión misma o la ambición de su
vida.
G. POLYA
““AAuunnqquuee yyaa hhaayyaass ttiirraaddoo mmuucchhaass vveecceess ccoonn eell aarrccoo,, ccoonnttiinnúúaa
pprreessttaannddoo aatteenncciióónn aa llaa mmaanneerraa ccóómmoo ccoollooccaass llaa fflleecchhaa,, yy ccóómmoo
tteennssaass llaa ccuueerrddaa.. CCuuaannddoo uunn eessttuuddiiaannttee eessttáá ccoonnsscciieennttee ddee
ssuuss nneecceessiiddaaddeess,, tteerrmmiinnaa ssiieennddoo mmááss iinntteelliiggeennttee qquuee eell
pprrooffeessoorr ddiissttrraaííddoo””..
LAO TZU.
PERT: PROJECT EVALUATION AND
REVIEW TECHNIQUE. (Técnicas de Evaluación y
Revisión de Proyectos).
CPM: CRITICAL PATH METHOD. (Método
del Camino Crítico).
PERT y CPM son dos métodos usados por la dirección para, con los
medios disponibles, planificar el proyecto a fin de lograr su objetivo con
éxito.
Las técnicas de PERT y CPM preparan el plan mediante la
representación gráfica de todas las operaciones que intervienen en el
proyecto y las relacionan, coordinándolas de acuerdo con las
exigencias tecnológicas.
La aplicación de PERT se encuentra en aquellas tareas en que hay
incertidumbre en cuanto a los tiempos de terminación. Sin embargo,
con CPM se supone que las experiencias pasadas nos libran de esta
incertidumbre de tiempos, pero si existe la de costo, ya que lo
importante es el costo total mínimo y sobre éste se fijan los tiempos de
trabajos.
Las principales ventajas de estas técnicas son el poder proporcionar
a la dirección las siguientes informaciones:
a) ¿Qué trabajos serán necesarios primero y cuando se deben
realizar los acopios de materiales y problemas de
financiamiento?
b) ¿Qué trabajos hay y cuantos serán requeridos en cada
momento?
c) ¿Cuál es la situación del proyecto que está en marcha en
relación con la fecha programada para su terminación?
d) ¿Cuáles son las actividades críticas que al retrasarse
cualquiera de ellas, retrasan la duración del proyecto?
e) ¿Cuáles son las actividades no criticas y cuanto tiempo de
holgura se les permite si se demoran?
f) Si el proyecto está atrasado, ¿Dónde se puede reforzar la
marcha para contrarrestar la demora y que costo produce?
g) ¿Cuál es la planificación y programación de un proyecto con
costo total mínimo y duración óptima?

La diferencia fundamental de estos dos métodos consiste en que, el
PERT, estima la duración de cada tarea u operación de los proyectos
basándose simplemente en un nivel de costo, mientras que el CPM
relaciona duración y costo, de lo cual se deriva una diversidad de
duraciones para cada tarea u operación, y la elección de una duración
adecuada se hará de modo que el costo total del proyecto sea mínimo.
FUNDAMENTOS DE LA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
Los fundamentos de los sistemas PERT y CPM son las
representaciones gráficas del proyecto mediante diagramas de flechas,
o también lo podemos llamar RED DE FLECHAS. La red se crea según
el orden de realización de las tareas u operaciones, paso a paso, hasta
el final del proyecto, originalmente estas tareas u operaciones se
llaman actividades. Un trabajo encargado a una persona responsable,
bien lo realice personalmente o bien lo hagan operarios a sus ordenes,
es lo que podemos definir como ACTIVIDAD.
Gráficamente una actividad está compuesta de dos partes: la
primera que es la de ejecución del trabajo y está representada por una
flecha con orientación de izquierda a derecha ( ) y la segunda
se llama SUCESO que generalmente se dibuja con dos círculos en los
dos extremos de la flecha ( )
Inicial Final
El SUCESO es un instante de la ACTIVIDAD que sirve como el
punto de control, describiendo el momento de comienzo o terminación
de una actividad.
La longitud de la flecha NO representa la cantidad de tiempo.
Por ejemplo, la actividad A no es mas corta de duración que la de
B, aunque las longitudes de las flechas lo sean:
La dirección de las flechas no tienen sentido vectorial, es
simplemente una progresión de tiempo. Como el tiempo no retrocede,
la orientación de las flechas siempre es de izquierda a derecha.
Por ejemplo, podemos dibujar una red como sigue:
O también:
Tampoco es preciso que la flecha sea una línea recta, sino se pueden
dibujar en curvas o líneas quebradas:
Esto depende de la facilidad que haya para presentar las actividades
en una red de flechas que refleje el orden y secuencia de las relaciones
del proyecto.
Una actividad debe estar terminada para que la subsiguiente pueda
comenzar. Como todas las actividades tienen sus sucesos iniciales y
finales, el suceso final de la actividad precedente es el mismo suceso
inicial de la siguiente:
Inicial A Inicial B Inicial C
Final A Final B Final C
A B A B C

Sin embargo, hay una excepción en los sucesos iniciales y finales.
El primer suceso inicial del proyecto no tiene una actividad que la
preceda y el último suceso final tampoco tiene una actividad que la
subsiga.
Vamos a poner un ejemplo de construcción de maquinaria.
Necesitamos las siguientes operaciones:
A. Acopios de material.
B. Fabricación de maquinaria.
C. Construcción de equipos de embalaje.
D. Verificación y control.
E. Envíos e instalación.
Para representarlo en una red de flechas. Primero, en la fase de
planificación, es necesario estudiar las actividades que deben intervenir
y sus relaciones de precedencia son los siguientes:
Actividad A debe preceder a B y C
Actividad B debe preceder a D
Actividad C y D deben preceder a E
Como el suceso de la actividad precedente es igual que el suceso
inicial de las actividades subsiguiente, excepto el primero y el último
suceso, podemos dibujar la red de flechas de la siguiente forma:
La enumeración de los sucesos es otro sistema para la
identificación de la actividad. Hemos visto el diagrama de flechas y que
en cada flecha se pone la denominación de la actividad con una letra.
Pero para facilitar el cálculo con el computador es conveniente asignar
números naturales a los sucesos iniciales y finales. Así la anterior red
de flechas quedara numerada como sigue:
Así podemos llamar a las actividades de la siguiente manera:
Actividad A = (1,2)
Actividad B = (2,3)
Actividad C = (2,4)
Actividad D = (3,4)
Actividad E = (4,5)
Generalmente en los modelos de red para proyectos hay un tiempo
de preparación antes de ejecutarlos. En este tiempo, se realiza una
serie de actividades restrictivas, por ejemplo petición de autorización,
preparación de financiamiento, permisologia, etc.
El tiempo de preparación se representa con una línea sinuosa
( ) con tiempo “0” de duración. (Cero)
FLECHAS FICTICIAS: En un diagrama de flechas,
muchas veces existe una relación de precedencia entre dos
actividades, pero no porque se requiera previamente ningún trabajo, ni
recurso, ni tiempo, sino por circunstancias especiales. En estos casos
para expresar la conexión de estas actividades se crea una flecha
ficticia, representada con una línea punteada ( ).
Por ejemplo, supongamos que construimos un gran alternador
eléctrico, en el taller de calderería, y no se puede realizar el estator y el
rotor al mismo tiempo por su tamaño, siendo estas dos actividades
independientes, y para expresar el orden de ejecución unimos con una
flecha ficticia, indicando que primero se hace el estator y luego el rotor.
A C E
B D
1 2A 4C 5
E
3
B D
A C E
B D

En muchos diagramas, suele ocurrir que entre el mismo suceso
inicial y el final, aparecen paralelamente varias actividades, como el
siguiente ejemplo:
Para el uso del computador no se pueden describir tres actividades
con la misma enumeración (2,3). Para evitar esta confusión se pueden
crear las actividades ficticias, aumentando los números de sucesos
pero sin aumentar el costo ni tiempo de duración ya que las ficticias no
consumen ni tiempo ni dinero. La red nueva podrá hacerse de la
siguiente forma:
Ahora las tres actividades tienen numeración distinta.
Otra aplicación de las actividades ficticias es la designación
específica de relaciones de precedencia de ciertas actividades, a pesar
de que existan otras actividades que parten del mismo suceso inicial.
Para fijar esta última idea trabajaremos con este nuevo ejemplo:
A debe preceder a B y C
B debe preceder a D
C y D deben preceder a E
D debe preceder a F
F y E deben preceder a G
Nótese que la actividad E depende de la terminación de las
actividades C y D. La actividad F también depende de D pero no
depende de la actividad C.
Es allí donde una flecha ficticia es necesaria:
EJEMPLO: Antes de representar un proyecto en forma de red
de flechas, es preciso terminar el análisis de actividades que van a
intervenir. Suponiendo que tenemos seis actividades bien definidas A,
B, C, D, E, F, siendo las relaciones de precedencia entre ellas las
siguientes:
1.- A y B pueden comenzar simultáneamente después de la
actividad de TP.
2.- Actividades C, D y E pueden empezar solamente cuando
termine A.
3.- Al terminar la actividad B, se comienza solo la E.
4.- Antes de empezar la F, deben estar terminadas las C, D y E.
Ahora podemos dibujar la red paso a paso:
Para el paso 1:
A
TP
B
Paso 2:
C
D
TP A
E
B
1
3
2
2
3
1

El tercer paso es añadir una actividad E después del suceso 3,
pero uniéndose con la actividad A con una flecha ficticia.
C
A
TP D
B
E
El cuarto paso es dibujar la actividad F detrás de las C, D y E (en
este paso utilizamos una actividad ficticia para que C y D no tengan la
misma numeración).
C
A
TP D
B F
E
Antes de estudiar el tiempo de duración de actividades y
determinación del camino crítico, vamos a estudiar tres ejercicios que
van de menor a mayor grado de dificultad con la finalidad de fijar mejor
la capacidad de dibujar redes de flecha.
EJERCICIO 1:
Actividad Precedida por
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP
B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A
D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B
E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C, D
A C
TP E
B D
Ejercicio 2:
A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP
B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . A
D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . A
E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . B
F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . C, D, E
A C
TP D F
B E
1
2
3
1
1
2
3
4
5
2
6
1
3
2
4 5
1
3
2 4
5 6

Ejercicio 3:
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP
B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP
D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B
E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A
F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C
G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A, D, C
H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E
I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G, E
J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H, I, F
K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J
L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J
N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L, M, K
COMPUTO DE TIEMPO
“LO MÁS PRONTO POSIBLE”
Y “LO MÁS TARDE PERMISIBLE”
DE COMENZAR Y TERMINAR UNA
ACTIVIDAD.
Hasta ahora podemos decir que hemos terminado la fase de
planificación y entramos en la fase de programación. La programación
consiste en estimar la duración de cada actividad. Esta duración puede
ser deterministicas o probabilística.
Estudiaremos únicamente la deterministica. Esto quiere decir que la
duración será única y exacta.
Primero se construye el diagrama de flechas y se discute, entre los
responsables que intervienen en el proyecto, sobre que actividades son
necesarias y que relación de precedencia hay entre ellas.
Luego se estima la duración de cada actividad, que llamaremos
T(i, j) y que colocaremos debajo de la flecha que representa dicha
actividad.
Posteriormente se calculan los tiempos “lo más pronto
posible” en que pueda empezar y terminar una actividad, y lo
señalaremos con T(i) y T(j) respectivamente.
Para señalar estos valores en la red o diagrama de flechas se ha
adoptado la siguiente nomenclatura :
T(i, j) = Tiempo de duración de la actividad .
Ti = Tiempo más pronto posible de comenzar la actividad.

T*i = Tiempo más tarde permisible de comenzar la actividad.
Si = Número del suceso inicial.
Sj = Número del suceso final.
Tj = Tiempo más pronto posible de terminar la actividad.
T*j = Tiempo más tarde permisible de terminar la actividad.
Tj = Ti + T(i, j)
T*i = T*j – T(i, j)
Ejemplo: determinar los “tiempos más pronto posible” de:
T (1,2) = Tiempo de duración de A = 5
T (2,3) = Tiempo de duración de B = 6
Para resolver este ejercicio tengo que hacerlo tomando en cuenta la
nomenclatura indicada anteriormente.
Empezando con la actividad A debo tomar en cuenta que el tiempo “lo más
pronto posible de comenzar” de la actividad inicial es el inicio del proyecto = cero.
A
T (1,2) = 5
Aplicando la formula Tj = Ti + T (i,j) = 0 + 5 = 5
En otras palabras : Tomo el valor que está al lado
izquierdo del círculo izquierdo, le sumo el valor que está
debajo de la flecha y el resultado lo coloco en el lado
izquierdo del círculo de la derecha.
A
5
T2 = T1 + T(1,2) = 5
La actividad B tendrá el tiempo “lo más pronto posible de
comenzar” igual al tiempo “lo más pronto posible de terminar” de A,
(Es decir 5).
B
6
T3 = T2 + T(2,3) = 11
Aplicando la formula Tj = Ti + T (ij) = 5 + 6 = 11
Los tiempos “lo más pronto posible” de comenzar y terminar serán:
Ejemplo: Determinar los “tiempos más pronto posible”
de:
A C
3 7
TP E
4
B D
4 5
A T1 + T(1,2) = T2
3 0 + 3 = 3
0
1
ti*
ti
Si
T2
2
5
2
0
1
T3
3
5
2
1
3
2
4 5
3
2
0
1

B T1 + T (1,3) = T3
4 0 + 4 = 4
C T2 + T (2,4) = T4
7 3 + 7 = 10
(OJO)
D T3 + T (3,4) = T4
5 4 + 5 = 9
(OJO)
Cuando voy a estudiar la actividad E noto que en su suceso inicial
S4 llegan dos flechas (C, D) es decir que S4 es evento final de C y
D. En estos casos, (cuando lleguen dos o mas flechas) colocaré el
tiempo mayor calculado en las actividades anteriores.
Como en este caso los valores obtenidos de T4 fueron 9 y 10, se
escoge el mayor que es T4 = 10 (el que se obtuvo en el análisis de la
actividad C ).
E
4
10 + 4 = 14
T4 + T (4,5) = T5 = 14
La solución (de los tiempos más pronto posible) será:
Una vez calculados los tiempos “lo más pronto posible” pasamos
a determinar los tiempos “lo más tarde permisible”.
Una interesante observación es que en el primero y en el último
suceso, el tiempo “lo más pronto posible” es igual que “lo más tarde
permisible”. En caso contrario el cómputo es erróneo.
El calculo de los tiempos “lo mas pronto posible” lo
hicimos de izquierda a derecha, los cálculos de los
tiempos “lo mas tarde permisible” lo haremos de
derecha a izquierda tomando en cuenta que en el ultimo
suceso Tj = T*j
Ejemplo: Determinar los tiempos “lo más tarde
permisible” de:
Como se indicó anteriormente, en el ultimo evento los tiempos son
iguales (el tiempo de terminación de la ultima actividad = el tiempo de
terminación del proyecto).
9
4
4
3
10
4
3
2
4
3
0
1
14
5
10
4

Si T3 = T*3 = 11 y T*i = T*j – T (i, j)
Entonces T*2 = 11 – 6 (Actividad B)
5 B 11
6
T*2 = T*3 – T (2,3)
T*2 = 11 – 6 = 5
En otras palabras : Tomo el valor que está al lado
derecho del círculo derecho, le resto el valor que está
debajo de la flecha y el resultado lo coloco en el lado
derecho del círculo de la izquierda.
Entonces :
0 A 5
5
T*1 = T*2 – T (1,2)
T*1 = 5 – 5 = 0
El gráfico con todos los tiempos indicados será:
TP A B
5 6
Algunos autores utilizan otra forma de graficar, pero la
información es la misma.
Ti T*i Tj T*j
A
T (i, j)
0 0 5 5 11 11
A B
5 6
Ejemplo: Determinar los tiempos “lo más tarde
permisible” de:
A C
3 7
10 E 14
4
TP
B D
4 5
Como el tiempo de terminación de la última actividad es el mismo
tiempo de terminación del proyecto. (T5 = T*5 = 14).
T*i E
4
T*i = T*j – T (i, j) = 14 – 14 = 10
T*4 = T*5 – T (4,5)
21
11
32
00
1
55
2
1111
3
si
o
sj
21 3
4 5
4
3
3
2
0
1
1414
54

E
4
D
5
T*4 – T (3,4) = T*3
10 – 5 = 5
C
7
T*4 – T (2,4) = T*2
10 – 7 = 3
1 B
4
T*3 – T (1,3) = T*1
5 – 4 = 1 (ojo)
0 A
3
T*2 – T (1,2) = T*1
3 – 3 = 0 (ojo)
Si observamos el suceso 1 notaremos que su T*i = 1 cuando
trabajamos con B, y T*i = 0 cuando trabajamos con A.
A diferencia del cálculo de los tiempos “lo
mas pronto posible”, en este caso, en
aquellos sucesos donde “Nacen” dos o mas
flechas (actividades) colocaré el resultado
menor de T*i.
Al terminar todos los cálculos verifico que en el suceso inicial y el
suceso final los tiempos tienen que ser iguales entre ellos.
Solución:
A C
3 7
10 10 E 14 14
4
B D
4 5
DETERMINACIÓN DEL
CAMINO CRÍTICO
En cualquier proyecto, algunas actividades son flexibles, respecto a
cuando se pueden comenzar o terminar, otras no son flexibles, de
forma que si se demora cualquiera de ellas, se atrasará todo el
proyecto.
Estas actividades inflexibles se llaman críticas y la cadena o
secuencia de ellas, forma un CAMINO CRÍTICO.
El camino crítico es la duración mas larga a través del proyecto. Hay
siempre por lo menos un camino crítico en cada proyecto, y muchas
veces varios.
Podemos definir el CAMINO CRÍTICO como: “Aquel en el
cual las actividades no tienen holgura de tiempo para comenzar ni
para terminar”.
4 5
54
3
33
2
00
1
14
5
10
4
10
4
5
3
10
4
3
2
5
31
3
21

PERT tiene dos clases de holguras:
1. Holgura del suceso (Hs).
2. Holgura de la actividad (Ha).
Holgura del suceso es la diferencia entre el tiempo “lo más
tarde permisible” y “lo más pronto posible” del suceso:
Hs = T*i – Ti (suceso inicial)
Hs = T*j – Ti (suceso final).
En muchas ocasiones nos encontramos con que la holgura del
suceso es igual a cero. Si esto ocurre en el suceso inicial de una
actividad, no se puede retrasar el comienzo del trabajo, y si es en un
suceso final, no se puede retrasar la terminación del mismo en la fecha
prevista.
Holgura de la actividad es la diferencia del
tiempo más tarde permisible para terminar la actividad, el tiempo más
pronto posible para iniciarla y su tiempo de duración.
Ha = T*j – Ti – T(i,j)
En el camino crítico todas las actividades
tienen Ha = 0
Ejemplo: Determinar el camino crítico de la siguiente red:
A C
3 7
10 10 E 14 14
4
B D
4 5
La primera verificación que hay que hacer es observar que en el
suceso inicial y en el suceso final los tiempos “lo más pronto posible” y
“lo más tarde permisible” sean iguales.
En este caso 0 = 0 y 14 = 14. (T1 = T*1 y T5 = T*5)
Posteriormente se estudia la holgura de cada actividad, para lo cual
se “aísla” a cada una (mentalmente). Se toma el número
que está al lado derecho del círculo
derecho, se le resta el número que está
al lado izquierdo del círculo izquierdo, y
finalmente se le resta el número que
está debajo de la flecha.
A
3
HA = T*2 – T1 – T (1,2)
HA = 3 – 0 – 3 = 0
B
4
HB = T*3 – T1 – T (1,3)
HB = 5 – 0 – 4 = 1
C
7
HC = T*4 – T2 – T (2,4)
HC = 10 – 3 – 7 = 0
3
2
0
1
5
3
0
1
10
4
3
24 5
54
3
33
2
00
1

D
5
HD = T*4 – T3 – T (3,4)
HD = 10 – 4 – 5 = 1
E
4
HE = T*5 – T4 – T (4,5)
HE = 14 – 10 – 4 = 0
Las actividades críticas son aquellas cuya holgura es igual a cero,
en este ejemplo serán:
A, C y E
El camino crítico puede señalarse con letras:
Camino crítico = A, C, E
O con los números de los sucesos de las actividades críticas :
Camino critico = 1, 2, 4, 5
También en forma gráfica, resaltando las flechas
de las actividades críticas:
A C
7
3
10 10 E 14 14
4
B D
4 5
Ejemplo: Determinar el camino crítico:
Actividad Precedida por Duración
A TP 3
B TP 2
C TP 3
D A 2
E B,D 2
F B,C,D 3
G E,F 1
El primer paso consiste en graficar la red de flechas teniendo
mucho cuidado en respetar el orden de precedencia y como
recomendación particular nos permitimos indicar que una vez hecha la
red de flechas: “léase” la misma viendo si se cumple lo indicado en la
tabla que se suministra en el problema.
Segundo paso: Calcular los tiempos “lo más pronto posible”:
10
4
4
3
14
5
10
4
4 5
54
3
33
2
00
1

A T2 = 0 + 3 = 3
3
B T3 = 0 + 2 = 2
2
D T3 = 3 + 2 = 5
2
Nótese que al evento o suceso 3 llegan las actividades B y D, por lo
tanto el T3 que debemos tomar en cuenta es el mayor de los dos (T3 =
2 y T3 = 5) .
Al evento o suceso 4 llegan la actividad ficticia y la C, por lo tanto el
T4 que debemos tomar en cuenta es el mayor de los dos (T4 = 3 y
T4 = 5) .
E
2
T5 = 5 + 2 = 7 (ojo)
F
3
T5 = 5 + 3 = 8 (ojo)
Al evento 5 llegan las actividades E y F, por lo tanto el T5 que
debemos tomar en cuenta es el mayor de las dos (T5 = 7 y T5 = 8) .
3
2
0
1
3
3
2
3
0
1
5
5
3
5
5
4

G
1
T6 = 8 + 1 = 9
Los tiempos “lo más pronto posible” serán:
Tercer paso: Calcular los tiempos “lo más tarde permisible”:
( Recuerde que en el último evento o suceso los tiempos son iguales,
por lo tanto coloque 9 en el último espacio).
G T*5 = 9 – 1 = 8
1
F T*4 = 8 – 3 = 5
3
E T*3 = 8 – 2 = 6
2
Ficticia T*3 = 5 – 0 = 5
0
Nótese que del evento 3 nacen dos actividades : E y la ficticia ; en
este caso existen dos T*3 y debemos tomar en cuenta el menor (T*3 =
6 y T*3 = 5) .
D T*2 = 5 – 2 = 3
2
C T*1 = 5 – 3 = 2
3
B T*1 = 5 – 2 = 3
2
A T*1 = 3 – 3 = 0
3
9
6
8
5
99
6
8
5
8
5
5
4
8
53
5
43
5
3
3
2
5
41
5
31
3
21

Del evento 1 nacen tres actividades A, B y C por lo que existen
tres valores para T*1, en estos casos se toma en cuenta el valor menor
(T*1 = 2 ; T*1 = 3 y T*1 = 0).(Tomamos cero).
Con los cálculos anteriores grafico la red de flechas:
Este ejercicio persigue un fin didáctico específico, primero
demostrar que el camino crítico puede “pasar” por actividades ficticias y
segundo que para determinar el camino critico se deben estudiar las
holguras de las actividades y NO las holguras de los sucesos.
Los alumnos “apresurados” tienen la falsa creencia de que
solamente al ver que los Ti = T*i y Tj = T*j (holgura de suceso = 0)
ya pueden determinar que el camino critico pasa por allí.
Aunque es cierto que los eventos y sucesos por donde pasa el
camino critico tienen holgura = 0, esta NO es la condición limitante.
La condición limitante y definitiva es la que
dice que el camino crítico será la secuencia de las
ACTIVIDADES CRÍTICAS y éstas son las
que cuya holgura de actividad es igual a cero.
Cuarto paso: Calcular las holguras de las
actividades:
Ti Actividad T*j
T(i, j)
Ha = T*j – Ti – T(i, j)
HA = 3 – 0 – 3 = 0 (crítica)
HB = 5 – 0 – 2 = 3
HC = 5 – 0 – 3 = 2
HD = 5 – 3 – 2 = 0 (crítica)
H Ficticia = 5 – 5 – 0 = 0 (crítica)
HE = 8 – 5 -2 = 1
HF = 8 – 5 – 3 = 0 (crítica)
HG = 9 – 8 -1 = 0 (crítica)
El camino crítico será:
1. En Letras A, D, F y G.
2. En Números = 1, 2, 3, 4, 5 y 6
3. Gráficamente:
SjSi

Ejercicio Nº 10 – pagina 269 – TAHA – 6º
Edición (Compra de un automóvil)
A TP 3
B A 14
C A 1
D C 3
E C 1
F C 2
G D,E,F 1
H G 1
I H 3
J H 2
K I,J 2
L K 2
M L 4
N L 1
O B,M,N 3

Ejercicio: Determinar el Camino Crítico:
A TP 21
B A 14
C A 14
D B,C 3
E D 70
F D 14
G F 1
H D 1
I D 7
J D 7
K J 14
L K 1
M G,L,E 1
N H,M 1
O I,N 1

EJERCICIO COMPLEMENTARIO
“PASO A PASO” :
Determinar el Camino Crítico:
A TP 4
B TP 2
C A 10
D A,B 1
E C 3
F C,D 3
G B,C 7
H E 2
I E,F,G 1
J G 4
K H 3
SOLUCIÓN:
Paso 1: CONSTRUCCIÓN DE LA RED DE FLECHAS:
Recordemos que todo proyecto requiere de un tiempo de
planificación y que dicha actividad se representa con una curva sinuosa
(Ver página 3) :
TP
En el cuadro de actividades observo que las actividades A y B
están precedidas por TP, es decir son actividades iniciales (se grafican
inmediatamente después de TP) :
A
TP
B
La actividad C depende de A y la actividad D depende de A y B ; en
estos casos se recomienda que primero se grafique la actividad que
depende de una sola y posteriormente la que depende de dos o más.
En el último caso, la dependencia se indica con una actividad ficticia
(ver páginas 3 y 4) :
C
A
TP D
B
La actividad E depende de C, la actividad F depende de C y D, la
actividad G depende de B y C. Atendiendo a la recomendación
anterior, debemos graficar primero a E, posteriormente a F y por último
a G. Pero OJO, no por respetar el orden en el cuadro de actividades
sino por respetar la cantidad de actividades que preceden a cada una.
Para indicar dicha precedencia use las actividades ficticias que sean
necesarias :

Atendiendo todas las recomendaciones anteriores y al cuadro de
actividades graficaremos ahora a H y después a J (dichas actividades
dependen de una cada una).
Ahora puedo colocar a I después de F y la precedencia con E y G
la puedo “llevar” con dos actividades ficticias:
Los proyectos tienen un solo suceso final, y ninguna actividad
puede quedar indicada sin terminar en un “círculo”. Las actividades
finales son todas aquellas que no preceden a otra (es decir no
aparecen en la columna de la tabla de actividades “precedida por”); en
este caso las actividades finales son I, J, K.
En el gráfico PERT o RED DE FLECHAS, debemos indicar el
suceso final y llevar hasta él todas las actividades finales:
Una vez terminada la RED DE FLECHAS, procedo a enumerar los
sucesos de izquierda a derecha, teniendo sumo cuidado en no repetir
algún número y sobre todo verificar que no existan dos o más
actividades que puedan empezar y terminar en las mismas actividades
(es decir que no hayan actividades con la misma identificación
numérica).

En este mismo gráfico coloque debajo de la flecha la duración
respectiva de cada actividad.
Paso 2 : A continuación procederemos a calcular los tiempos
“lo más pronto posible”:
Para dicho cálculo es necesario tomar en cuenta la nomenclatura
indicada en la página 16 de este texto, como primer paso debemos
colocar “cero” en la parte izquierda del círculo que representa al suceso
1. Este número representa el inicio del proyecto, que viene a ser
también el tiempo “lo más pronto posible” de las actividades iniciales
(T1).
Para calcular lo que se colocará en el suceso 2, basta con sumar el
tiempo de duración de A. (recordar que Tj = Ti + T(i,j)). 0 + 4 = 4.
En el caso del suceso 3 se sumará la duración de B. 0 + 2 = 2 :
En el suceso 4 se presenta una situación especial, en él convergen
o terminan dos flechas. Cuando se presente este caso (o que terminen
más de dos flechas), se deben estudiar todos los tiempos precedentes,
pero se colocará el resultado mayor.
También es bueno aclarar que las actividades ficticias no consumen
tiempo, por lo tanto su duración es “cero”.
Estudiando la flecha ficticia que nace después de A sumamos : 4 + 0
= 4, y estudiando la que nace después de B tenemos : 2 + 0 = 2.
Colocaremos entonces 4 en el espacio izquierdo del círculo que
representa a S4 :

En los sucesos 5, 8 y 11 puedo hacer los cálculos directos ya que
en ellos llega una sola flecha y no hay análisis ni consideraciones
pendientes. 4 + 10 = 14 ; 14 + 3 = 17 ; 17 + 2 = 19 :
Tanto en el suceso 6 como en el 7 llegan dos actividades, por lo
tanto debo estudiar cada información y colocar el resultado mayor:
Del suceso 5 al 6: 14 + 0 = 14
Del suceso 4 al 6: 4 + 1 = 5
Colocaré 14 en el suceso 6.
Del suceso 5 al 7: 14 + 0 = 14
Del suceso 3 al 7: 2 + 0 = 2
En el suceso 10 tenemos que analizar las informaciones que vienen
de tres sucesos anteriores y colocar el resultado mayor:
Del suceso 8 al 10: 17 + 0 = 17
Del suceso 6 al 10: 14 + 3 = 17
Del suceso 9 al 10: 21 + 0 = 21

Calculados como han sido los tiempos “lo mas pronto posible”,
pasamos a calcular los tiempos “lo más tarde permisible” :
Paso 3: Calcular los tiempos “lo más tarde permisible” :
Como primera consideración debemos apuntar que el tiempo de
terminación de la actividad final es el mismo tiempo de terminación del
proyecto. En este caso observamos que es 25; por lo tanto, en la parte
derecha del circulo que representa al evento o suceso final, colocaré
dicha cantidad.
Como segunda consideración indicamos que los cálculos se
efectuarán de derecha a izquierda y restando, no sumando como en el
caso anterior.
También se aclara que los análisis se harán ahora donde “nacen”
dos o más actividades y se colocará el resultado menor:
Se toma el valor que está en el lado derecho del círculo de la
derecha, se le resta la duración de la actividad estudiada y el resultado
se coloca en el lado derecho del círculo que está a la izquierda.
Como en los sucesos 11 y 10 , nace una sola actividad en cada uno,
el cálculo es directo.
Del suceso 12 al 11: 25 - 3 = 22
Del suceso 12 al 10: 25 - 1 = 24
En el suceso 9 se presenta una situación especial, en él nacen o
empiezan dos flechas o actividades. Cuando se presente este caso (o
que empiecen más de dos flechas), se deben estudiar todos los
tiempos posteriores, pero se colocará el resultado menor.
Situación similar se presenta en el evento o suceso 8.
Del suceso 12 al 9: 25 – 4 = 21
Del suceso 10 al 9: 24 – 0 = 24
Se colocará 21 en el suceso 9.
Del suceso 11 al 8: 22 – 2 = 20
Del suceso 10 al 8: 24 – 0 = 24

En los sucesos 6 y 7 el cálculo es directo ya que desde ellos nace una
sola flecha
Del suceso 10 al 6: 24 – 3 = 21
Del suceso 9 al 7: 21 – 7 = 14
Una vez calculado el valor en el suceso 6, puedo hacerlo directo en
el suceso 4, porque en éste llega únicamente la información que viene
del mencionado 6.
Del suceso 6 al 4: 21 – 1 = 20
En el suceso 2 se presenta una situación especial, en él nacen o
empiezan dos flechas o actividades. Cuando se presente este caso (o
que empiecen más de dos flechas), se deben estudiar todos los
tiempos posteriores, pero se colocará el resultado menor.
Situación similar se presenta en el evento o suceso 3.
Del suceso 5 al 2: 14 – 10 = 4
Del suceso 4 al 2: 20 – 0 = 20
Del suceso 4 al 3: 20 – 0 = 20
Del suceso 7 al 3: 14 – 0 = 14

Por último analizo la información que viene hasta el suceso inicial y
verifico que el resultado menor de las dos flechas que nacen desde él
sea “0”. Recordemos que en el evento inicial Ti = T*i .
Del suceso 2 al 1: 4 – 4 = 0
Del suceso 3 al 1: 14 – 0 = 12
Es muy importante resaltar que si este último cálculo no arroja un
resultado igual a cero, se ha cometido algún error en los cálculos de los
tiempos “lo más tarde permisible”.
Calculados los tiempos respectivos, solo nos falta determinar las
actividades críticas. Recordemos que una actividad es crítica cuando
no tiene holgura (Ha = 0). (Ver “Holgura de actividad” al final de la
página 26).
Los alumnos “apresurados” tienen la falsa creencia de que
solamente al ver que los Ti = T*i y Tj = T*j (holgura de suceso = 0)
ya pueden determinar que el camino critico pasa por allí.
Aunque es cierto que los eventos o sucesos por donde pasa el camino
crítico tienen holgura = 0, esta NO es la condición limitante.
La condición limitante y
definitiva es la que dice que el
camino crítico será la secuencia de
las ACTIVIDADES CRÍTICAS y éstas
son las que no tienen holgura de
actividad (Ha = 0).
Para calcular las holguras de las actividades debo recordar
Ti Actividad T*j
T(i, j)
Ha = T*j – Ti – T(i, j)
Holgura de la actividad es la diferencia del tiempo
más tarde permisible para terminar la actividad, el tiempo más pronto
posible para iniciarla y su tiempo de duración.
Como “ayuda memoria” me permito expresar el
procedimiento en el siguiente lenguaje cotidiano:
Para calcular la holgura de una actividad “aíslo mentalmente” la
actividad respectiva con sus dos sucesos ,
SjSi

tomo el número que está al lado derecho del círculo de la derecha
(suceso final), le resto el número que está al lado izquierdo del circulo
izquierdo (suceso inicial) y por último resto el número que está debajo
de la flecha (duración de la actividad). Los números que forman parte
de la operación son los dos números que está en los extremos y el que
está debajo de la flecha.
Estudiando la Actividad A:
0 o A 4 4
4
HA = 4 – 0 – 4 = 0 (crítica)
Estudiando la Actividad B:
0 o B 2 14
2
HB = 14 – 0 – 2 = 12 (NO crítica)
Estudiando la Actividad C:
4 4 C 14 14
10
HC = 14 – 4 – 10 = 0 (crítica)
Estudiando la Actividad D:
4 20 D 14 21
1
HD = 21 – 4 – 1 = 16 (NO crítica)
Estudiando la Actividad E:
14 14 E 17 20
3
HE = 20 – 14 – 3 = 3 (NO crítica)
Estudiando la Actividad F:
14 21 F 21 24
3
HF = 24 – 14 – 3 = 7 (NO crítica)
Estudiando la Actividad G:
14 14 G 21 21
7
HG= 21 – 14 – 7 = 0 (crítica)
Estudiando la Actividad H:
17 20 H 19 22
2
HH= 22 – 17 – 2 = 3 (No crítica)
Estudiando la Actividad I:
21 24 I 25 25
1
HI= 25 – 21 – 1 = 3 (No crítica)
21
31
52
64
85
106
97
118
1210

Estudiando la Actividad J:
21 21 J 25 25
4
HJ= 25 – 21 – 4 = 0 (crítica)
Estudiando la Actividad K:
19 22 K 25 25
3
HK= 25 – 19 – 3 = 3 (No crítica)
Al estudiar las actividades ficticias noto que la única que es crítica
es la que une la actividad C con la actividad G, o lo que es lo mismo
la que va desde el suceso 5 hasta el suceso 7, en donde el cálculo
sería 14 – 14 – 0 = 0.
Con toda esta información identifico en el gráfico a las actividades
críticas con un trazado de línea más grueso que las no-críticas:
129
1211

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