Este documento presenta una revisión histórica de los modelos de resolución de problemas. Resume las conclusiones de investigadores como Wallas, Polya y otros sobre los pasos del proceso de resolución de problemas, como la preparación, incubación, iluminación y verificación. También describe brevemente varios modelos como el de Polya, IDEAL, y aportes de figuras como Descartes sobre estrategias para la resolución de problemas.

1. Modelos de
Resolución de Problemas y más…
Un recorrido histórico
Santiago Fernández
Asesor matemáticas Berritzegune Nagusia- Bilbao

2. Analizando los escritos de Gauss, Poincaré, Hamilton, etc. el investigador
G. Wallas llegó a una serie de conclusiones respecto al acto de
resolución de problemas y de creación matemática, que están recogidas
en su libro Art of Thought (1926).

3. 1. INCUBACIÓN
2. PREPARACIÓN
3. ILUMINACIÓN
4. VERIFICACIÓN
G.Wallas, in Art of Thought (1926),

4. 1. PREPARACIÓN
Recolección de información e intento preliminares de
solución
2. INCUBACIÓN
Dejar el problema de lado para realizar otras actividades o
descansar
3. ILUMINACIÓN
Aparece la clave de la solución ( el !! AJA!!)
4. VERIFICACIÓN
Se comprueba la solución para estar seguros de que
funciona

5. Dewey(1888)
Mayer(1983)
Wallas(1926)
Polya (1945)
Newell y Simon(1972))
Lakatos(1960)
Schoenfeld (1985)
Miguel de Guzmán(1991)
Mason-Burton-Stacey(1972)
IDEAL
Descartes( XVII)

6. Reglas para la dirección del espíritu R. Descartes
(Son XXI Reglas, las doce primeras nos pueden ayudar a
comprender mejor el asunto; veamos algunas de ellas)
• Conviene estimar la magnitud de los problemas con los que nos
enfrentamos
• Ante un problema conviene ensayar herramientas propias
• El método es necesario para la resolución de problemas
• Conviene reducir lo complicado a lo simple.
• Para progresar en la resolución conviene tener una visión unitaria de
todo el proceso.
•Es necesario examinar atentamente el proceso seguido.
• Hay que estar atentos a cómo otros han resuelto problemas
…

7. Método de POLYA
I. Comprender el problema
II. Concebir un plan .
III. Ejecución del plan
IV. Examinar la solución obtenida

8. Comprender el problema
• Cuál es la incógnita?
• Cuáles son los datos?
• Cuál es la condición?
• Es la solución suficiente para determinar la incógnita? Es insuficiente?
Redundante? Contradictoria?
• Entiendo el problema en su totalidad
• Puedo contárselo a otra persona con mis palabras?

9. Concebir un plan
• Se ha encontrado con un problema semejante?
• O ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?
• Conoce un problema relacionado con éste? Conoce algún teorema que le
pueda ser útil? Mire atentamente la incógnita y trate de recordar un problema
que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar.
• He aquí un problema relacionado con el suyo y que se ha resuelto ya. Podría
usted utilizarlo? Podría emplear su método? Le haría a usted falta introducir
algún elemento auxiliar a fin de utilizarlo?
• Podría enunciar el problema en otra forma? Podría plantearlo en forma
diferente nuevamente?

10. • Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algún
problema similar.
• Podría imaginarse un problema análogo un tanto más accesible? Un problema
más general? Un problema más particular? Un problema análogo? Puede resolver
una parte del problema?
• Considere sólo una parte de la condición; descarte la otra parte; en qué medida
la incógnita queda ahora determinada?
• En que forma puede variar? Puede usted deducir algún elemento útil de los
datos?
• Puede pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita?
• Puede cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma
que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí?
• Ha empleado todos los datos? Ha empleado toda la condición?
• Ha considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al problema?

11. Ejecución del plan
• Al ejecutar su plan de la solución, compruebe cada uno de los pasos.
• Puede usted ver claramente que el paso es correcto?
• Puede usted demostrarlo?

12. Examinar la solución obtenida
• Puede usted verificar el resultado?
• Puede verificar el razonamiento?
• Puede obtener el resultado en forma diferente?
• Puede verlo de golpe?
• Puede usted emplear el resultado o el método en algún problema?

13. MASON, BURTON y STACEY
Pensar matemáticamente
POLYA
Cómo plantear y resolver un problema
BRANSFORD, STEIN, y BARRY
Solución I.D.E.A.L.
M. De GUZMÁN
Para pensar mejor
Cuatro modelos
para
resolver problemas

14. Las ayudas didácticas y psicológicas
-Las sugerencias heurísticas (Polya) constituyen una lista de preguntas
que pueden ayudar al individuo que intenta resolver un problema y que son
independientes del tema del que éste trate. Ej: ¿Conoces un problema
relacionado con éste?, ¿puedes cambiar la incógnita?.
- El rotulado (B, S y M) consiste en dejar por escrito todos los procesos que
se producen durante el proceso de resolución de un problema (lo que
pensamos, lo que sentimos y lo que hacemos), con unos códigos de escritura
breve (¡Atascado!, ¡Ajá!, etc). Ayuda a recordar. a no abandonar, a estructurar
el pensamiento
.
-El monitor interior (B, S y M) o tutor, consiste en la autoobservación del
proceso por el propio individuo, su evaluación y control permanente, en un
desglose de su consciencia
- El autorretrato heurístico (Guzmán) se basa en el examen comparado de
protocolos de resolución real de problemas propios y de otras personas
(incluyendo descripciones del uso del tiempo), como medio para el
autoconocimiento y la mejora. Se constata (Guzmán) en los protocolos de
expertos mayor número de idas y venidas que en los novatos, quienes
suelen conformarse con un único intento.

15. Heurística Descripción
informal
Analogía formal
Analogía ¿Puedes encontrar un problema
análogo a tu problema y
resolverlo?
Aplicación matemática
Generalización ¿Puedes encontrar un problema
más general que tu problema?
Generalización
Inducción ¿Puedes resolver un problema a
partir de una generalización de
algunos ejemplos?
Inducción
Variación del problema ¿Puedes modificar o cambiar el
problema para crear un nuevo
problema (o un conjunto de
problemas) cuya solución pueda
ayudarte a resolver el problema
original?
Búsqueda de algoritmo
Problema auxiliar ¿Puedes encontrar un
subproblema o problema
colateral cuya solución te
ayudaría a resolver tu problema?
Meta parcial
Aquí aparece un problema
relacionado con el tuyo y
previamente resuelto
¿Puedes encontrar un problema
relacionado con el tuyo que ya
haya sido resuelto?
Reducción de la complejidad

16. Heurística Descripción informal Analogía formal
Especialización ¿Puedes considerar un
problema más restringido o
especializado?
Especialización
Descomposición y
recombinación
Divide y vencerás De lo general a lo concreto
Trabajando hacia atrás a partir
del objetivo
¿Puedes empezar con el
objetivo y trabajar de manera
inversa hasta algo conocido?
Realizar el camino inverso
Dibuja un esquema ¿Puedes trazar un esquema del
problema?
Razonamiento esquemático
Elementos auxiliares ¿Puedes agregar algún
elemento nuevo a tu problema
para acercarte a una solución?
Extensión

17. MODELO POLYA
BRANSFORD
(IDEAL)
MASON,
BURTON y
STACEY
GUZMÁN
F
A
S
E
S
Comprender el
problema
Identificación
Abordaje FamiliarizaciónDefinición y
representación
Concebir un plan
Exploración de
posibles estrategias
Ataque
Búsqueda de
estrategias
Ejecutar el plan
Actuación, según
una estrategia
Llevar adelante
la estrategia
Examinar la
solución
Logros.
Observación y
evaluación de los
efectos de nuestra
actuación
Revisión
Revisar el
proceso y sacar
consecuencias
de él
AYUDAS
didácticas y
psicológicas
Sugerencias
heurísticas
Rotulado
Monitor
interior
Autorretrato
heurístico

18. Algunas recomendaciones a la hora de resolver
problemas.
1.- Si queremos resolver problemas sólo hay un camino: resolver
problemas. No vale teorizar sobre estrategias heurísticas.
2.- Además de resolver problemas hay que reflexionar sobre el proceso de
resolución. De varios modos se puede estimular esta reflexión operativa:
- ejercitando en las técnicas de escritura de protocolos o rótulos que
ayuden al autoconocimiento.
- ofreciendo guías de acción (modelos de resolución).
- identificando las estrategias más usuales.
3.- La mejor manera de avanzar rápidamente en la resolución de problemas
es observar a los expertos cómo ellos resuelven los problemas.

19. 1) Una actitud inicial sana, libre en lo posible de bloqueos y barreras previas...
2) Una preparación adecuada, para afrontar el problema, que debe contemplar
múltiples aspectos: afectivos, físicos, cognoscitivos...
3) La disponibilidad de estrategias variadas, de entre las que se pueden
elegir aquellas que conduzcan al tratamiento más eficaz del problema.
4) Una cierta capacidad de incubación, que permita involucrar a los
mecanismos subconscientes de la mente en las tareas de resolución de
problemas...
5) Una constante atención a la posible iluminación, inspiración o intuición
que pueden surgir en cualquier momento en el dinamismo mental como fruto de
esta tensión preparatoria.
6) Una juiciosa evaluación de la situación del proceso a medida que se
realiza, a fin de distribuir correctamente el esfuerzo que se debe emplear en las
diferentes tareas de la resolución del problema.
7) Una perseverancia tenaz, la cual viene a ser el motor que pone en
conseguir tensión todos los resortes disponibles de la mente.
D. Miguel de Guzmán, en su libro Para Pensar Mejor dice que:
”Al observar el proceder de los expertos se pueden entresacar unos
cuantos rasgos característicos de su actuación de tipo general”,
son éstos:

20. Condiciones iniciales para resolver problemas
Para abordar la resolución de un problema matemático se precisa:
1. Conocimientos matemáticos adecuados a los problemas propuestos.
¿ Cuáles son éstos Conocimientos? (diapositiva siguiente)
2. Conocimientos de algunas estrategias heurísticas.
Se trata ante todo familiarizarse con los métodos y estilos de trabajo antes
que conocer muchos resultados dispersos; en definitiva, aprender a pensar y
aprender a actuar. Es un aprendizaje de procedimientos de “alto rango”.
3. Deseos de resolver el problema.
El problema debe escogerse adecuadamente, ni muy fácil ni muy difícil, y debe
dedicarse cierto tiempo a exponerlo de un modo natural e interesante, esto
aumentará el deseo de resolverlo( Polya)

21. Conocimientos matemáticos adecuados de cara a la enseñanza secundaria.
¿ Cuáles son éstos Conocimientos?
Una posible lista.
Teorema de Pitágoras
Teorema de Thales, semejanza
Conocimiento proporcional
Suma de términos de una progresión aritmética
Propiedades elementales de la circunferencia
Propiedades básicas de los triángulos
Relación entre las fracciones, números decimales y números racionales
Una cierta destreza en el manejo del lenguaje algebraico
Conocimientos elementales de matemática discreta.
Conocimientos de probabilidad
…..
….

22. ¿ Cómo plantear problemas en el aula?
¿ Cuándo? ¿ Qué problemas?
Tipos de problemas
• Para comenzar
• Para practicar
• Para investigar
En qué momento ?
Siempre
¿ Cómo trabajar los problemas?
• Individualmente
• Por parejas
• En grupo
• En clase
• Para casa

23. Un enfermo tiene que tomar un tratamiento crucial para su salud,
consiste en tomar una pastilla de cada bote (los dos botes son iguales,
la pastillas son aparentemente iguales pero su composición es distinta)
Un día se da cuenta que únicamente le quedan dos pastillas en
cada bote, pero al tomarlos se le caen al suelo y se rompen; las
cuatro pastillas ahora están mezcladas y no sabemos de que bote
provienen. ¿ qué puede hacer?
Podría resolverlo si hay tres pastillas en cada bote? Y cuatro?
Problemas
para comenzarLas pastillas

24. Un encuestador se dirige a una casa donde es atendido por una mujer: -
¿Cantidad de hijos? -Tres, dice ella. -¿Edades? -El producto de las edades es
36, y la suma es igual al número de la casa vecina, dice ella.
El encuestador se va pero al rato vuelve y le dice a la mujer que los datos que le
dio no son suficientes; la mujer piensa y le dice: tiene razón, la mayor estudia
piano.
Esto es suficiente para que el encuestador sepa las edades de los hijos. ¿Cuáles
son esas edades?
Problemas
para comenzarLas tres edades

25. E K 4 7
¿Qué tarjetas deben girarse para
averiguar si la regla es verdadera?
“Si una tarjeta tiene una VOCAL en una cara,
entonces tiene un número PAR en la otra”.
Comprobación de Hipótesis
Problemas
para comenzar

26. TARJETAS PORCENTAJE
E y 4 46%
E 32%
E, 4 y 7 7%
E y 7 4%
Otros 10%
Lo que las personas contestanLo que las personas contestan……

27. Tiempo de tostadas
Los Herrera tienen una anticuada tostadora que sólo admite dos rebanadas de
pan por vez y que tuesta sólo un lado de la rebanada por vez. Para tostar el
otro lado, hay que sacar las rebanadas, darlas vuelta y volverlas a poner en la
tostadora. La tostadora tarda exactamente un minuto para tostar un lado de
cada rebanada.
Una mañana, el señor Herrera deseaba tostar ambas caras de tres
rebanadas. La señora Herrera le observaba por encima de su periódico y sonrió
al ver el procedimiento de su marido. Tardó cuatro minutos.
"Podrías haber tostado esas tres rebanadas en menos tiempo, querido", dijo. "y
hubieras gastado menos electricidad.“
¿Tenía razón la señora Herrera?
Problemas
para comenzar