Este documento trata sobre los números reales. Explica que los números reales son la unión de los números racionales e irracionales. Se clasifican los números reales en naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe propiedades como la tricotomía y transitividad de los números reales y cómo se pueden representar mediante desigualdades e intervalos en la recta numérica.

1. MATEMÁTICA Y FÍSICA
ESPECIALIDAD ACREDITADA
SISTEMA DE NÚMEROS REALES
Melecio Paragua Morales
paraguamorales@gmail.com
meleparaguita@hotmail.com

2. LA RECTA NUMÉRICA
•Es un dibujo unidimensional de una línea en la que los
números enteros son mostrados como puntos
especialmente marcados que están separados
uniformemente.

3. REPRESENTACIÓN
Números negativos
cero
Números
positivos
Esta dividida en dos mitades simétricas.

4. APLICACIÓN
Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica.
Se puede determinar si un número es mayor o menor que otro,
dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica.

5. LOS NÚMEROS REALES

6. DEFINICIÓN
Es la unión de los números racionales e irracionales.

7. CLASIFICACIÓN

8. Números naturales (N)
Es cualquiera de los números 1, 2, 3... Que se pueden usar para
contar elementos o cosas.
N= {1, 2, 3,..}

9. Números enteros (Z)
Cuando se necesita restar, se obtienen a partir de los naturales
añadiendo los opuestos para la operación de suma.
Z= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..}

10. Números racionales (Q): (fraccionarios, o quebrados)
•Cuando un número se puede escribir en forma de
fracción.
•Los racionales se obtienen a partir de los enteros
añadiendo los inversos para la multiplicación.
•Q= {... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, 4.1515......}

11. Números irracionales (I)
•No pueden representarse en forma fraccionaria. Se caracterizan por
poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón
repetitivo.
2

12. REPRESENTACIÓN DE LOS REALES (R)
Con los Irracionales se completa la representación de la recta
numérica, asociando a cada punto de ella con un número real.

13. APLICACIÓN
El precio de un producto La altitud (positiva o
negativa) de un lugar
geográfico
La densidad de un átomo o la
distancia de la más lejana de
las galaxias.
Los números reales pueden representar cualquier medida tal como:

14. MÁS EJEMPLOS
En economía En
informática
En
matemáticas
En física
En ingeniería

15. PROPIEDADES DE LA NÚMEROS REALES
(PROPIEDAD DE ORDEN)

16. TRICOTOMÍA
Es una división en tres partes.
Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá
una de las siguientes afirmaciones:

17. TRANSITIVIDAD
• La transitividad se cumple siempre que un elemento se relaciona con otro y
este último con un tercero.

18. Si a es mayor que b, y b es mayor que c,
entonces, a es mayor que c
•Para tres números reales a, b, y c:
•Si a > b y b > c entonces a > c
•Si a < b y b < c entonces a < c
•Si a > b y b = c entonces a > c

19. DENSIDAD
La recta numérica permite visualizar que dado dos números
racionales siempre es posible encontrar otro comprendido entre los
números dados. Esta propiedad es característica de los números
racionales y se denomina Densidad.

20. Los números racionales e irracionales son densos en la recta real, ya
que todo número tiene vecinos racionales e irracionales cercanos a él.
Ejemplo: 2 = 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; . . .

21. INTERVALOS Y SU REPRESENTACIÓN
MEDIANTE DESIGUALDADES

22. DESIGUALDADES
•Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de
todos los números reales que hace que sea verdadera.

23. Nombre Símbolo Definición Representación
grafica
Intervalo Abierto (a,b)
Intervalo cerrados [a,b]
Intervalos
Semiabiertos
(a,b]
[a,b)
Intervalos
Infinitos
(a,∞)
[a,∞)

24. NOTACIÓN DEL
CONJUNTO
𝒂 < 𝒙 < 𝒃
NOTACIÓN DEL
INTERVALO
(𝒂, 𝒃)

25. NOTACIÓN DEL
CONJUNTO
𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃
NOTACIÓN DEL
INTERVALO

26. Intervalos semiabiertos por la
izquierda
Intervalos semiabiertos por la
derecha
Son los abiertos por la izquierda y
cerrados por la derecha:
Son los cerrados por la izquierda y
abiertos por la derecha:

27. por la izquierda abierto
por la derecha abierto
por la izquierda cerrado
por la derecha cerrado

29. 5x
(5,∞)
1
2
3 4 5
6
7

30. 7x
(-∞,7)
1 2 3 4 5 6 7

31. 2p
(-∞,-2]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

32. 8x
[8,∞
2 3 4 5
6
7 8

34. DESIGUALDAD DE PRIMER GRADO
•Es todo enunciado abierto que tiene el signo > o < con una sola
variable y con exponente 1.
𝑎𝑥 + 𝑏 > 𝑐
𝑎𝑥 + 𝑏 < 𝑐
−𝑥 +
2
3
≥ 𝑥 + 1 → −3𝑥 + 2 ≥ 3𝑥 + 3 → −6𝑥 ≥ 1 → 𝑥 ≤ −
1
6

35. w + 5 < 8
w + 5 + (-5) < 8 + (-5)
w + 0 < 3
w < 3
w + 5 < 8
-5 -5
w + 0 < 3
w < 3
0 1 2 3-20 -15 -10 -5-25 4 5
3

36. DESIGUALDAD CUADRATICA CON UNA INCOGNITA
Una inecuación de segundo grado con una incógnita es cualquier
desigualdad que, directamente o mediante transformaciones de
equivalencia, se pueden expresar de una de las formas siguientes:
𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎
𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎
𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎
𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟎

37. x²+ x-2 < 0 ax2 + bx + c < 0
(x-1)(x+2)< 0
(x-1)= 0
x<1
(x+2)=0
x< -2
Fórmula general
0 1 2 3-4 -3 -2 -1-5 4 5
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 → 𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎

39. Valor absoluto de un número entero es el número
natural que sigue al signo. Se indica poniendo el
número entero entre barras.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de:
Magnitud
Distancia
Matemáticos y
físicos

40. Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está
definido por:
Nota: Estos casos solamente los podrás utilizar si el valor de “b” es un
numero natural positivo.

43. GRÁFICA DE ECUACIONES:
x 0 1 2 3 4
y 7 4 1 -2 -5
𝑓 𝑥 = −3𝑥 + 7

44. GRÁFICA DE ECUACIONES: 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 2
x -2 -1 0 1 2 3
y 2 -1 -2 -1 2 7

45. Resuelva todos los ejercicios que se les propone