La sucesión de Fibonacci se define como f1 = 1, f2 = 1, fn+2 = fn + fn+1. Usando inducción matemática, se prueba que fn = (1+√5/2)n - (1-√5/2)n/√5 para todo número natural n. La demostración asume que la fórmula es válida para k < n e iguala fn a la suma de fn-2 y fn-1 para mostrar que también es válida para k = n.

1. Inducci´on Matem´atica
Helmuth villavicencio fern´andez
1. Se define la sucesi´on de n´umeros de fibonacci, como:
f1 = 1, f2 = 1, f3 = 2, . . . , fn+2 = fn + fn+1
Usando inducci´on pruebe:
fn =
(1+
√
5
2 )n
− (1−
√
5
2 )n
√
5
, ∀n ∈ N
Soluci´on
1. Podemos usar el segundo principio de inducci´on matem´atica.Supongamos
que lo pedido se verifica ∀ 1 ≤ k < n, n > 3 veamos que se verifica para
k = n luego:
fn = fn−2 + fn−1
fn =
1
√
5
{
1 +
√
5
2
n−2
−
1 −
√
5
2
n−2
}+
1
√
5
{
1 +
√
5
2
n−1
−
1 −
√
5
2
n−1
}
fn =
1
√
5
1 +
√
5
2
n−2
{
1 +
√
5
2
+ 1} −
1
√
5
1 −
√
5
2
n−2
{
1 −
√
5
2
+ 1}
fn =
1
√
5
1 +
√
5
2
n−2
{
1 +
√
5
2
}2
−
1
√
5
1 −
√
5
2
n−2
{
1 −
√
5
2
}2
fn =
1
√
5
1 +
√
5
2
n
−
1
√
5
1 −
√
5
2
n
1