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βˆ’π‘ = 2 βˆ’ 1
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Trabajo de calculo UNY

  1. 1. 1) Si 𝑓(π‘₯) = { βˆ’4 𝑠𝑖 π‘₯ < βˆ’2 π‘₯3 2 𝑠𝑖 βˆ’ 2 ≀ π‘₯ < 2 π‘₯ βˆ’ 1 𝑠𝑖 π‘₯ β‰₯ 2 Hallar a) lim π‘₯β†’βˆ’2 𝑓(π‘₯) lim π‘₯β†’βˆ’2βˆ’ βˆ’4 = βˆ’4 lim π‘₯β†’βˆ’2+ π‘₯3 2 = (βˆ’2)3 2 = βˆ’4 lim π‘₯β†’βˆ’2 𝑓(π‘₯) = βˆ’ 4 b) lim π‘₯β†’2 𝑓(π‘₯) lim π‘₯β†’2βˆ’ π‘₯3 2 = (2)3 2 = 4 lim π‘₯β†’2+ π‘₯ βˆ’ 1 = 2 βˆ’ 1 = 1 lim π‘₯β†’2 𝑓(π‘₯) = βˆ„ 2) lim π‘₯β†’ πœ‹ 6 𝑆𝑒𝑛(π‘₯ βˆ’ πœ‹ 6 ) πΆπ‘œπ‘  π‘₯ βˆ’ √3 2 = 𝑆𝑒𝑛 ( πœ‹ 6 βˆ’ πœ‹ 6 ) πΆπ‘œπ‘  πœ‹ 6 βˆ’ √3 2 = 𝑆𝑒𝑛(0) √3 2 βˆ’ √3 2 0 0 Hacemos cambio de variable 𝑦 = π‘₯ βˆ’ πœ‹ 6 => π‘₯ = 𝑦 + πœ‹ 6 Luego si π‘₯ β†’ πœ‹ 6 => 𝑦 β†’ 0 Asi lim π‘₯β†’ πœ‹ 6 𝑆𝑒𝑛(π‘₯ βˆ’ πœ‹ 6 ) πΆπ‘œπ‘  π‘₯ βˆ’ √3 2 = lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛(𝑦) πΆπ‘œπ‘  (𝑦 + πœ‹ 6 ) βˆ’ √3 2 Por propiedad de Cos (Ξ±+Ξ²)=cos Ξ± cos Ξ² – sen Ξ± sen Ξ²
  2. 2. lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛(𝑦) πΆπ‘œπ‘ (𝑦)πΆπ‘œπ‘  πœ‹ 6 βˆ’ 𝑆𝑒𝑛(𝑦)𝑆𝑒𝑛 πœ‹ 6 βˆ’ √3 2 lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛(𝑦) √3 2 πΆπ‘œπ‘ (𝑦) βˆ’ 1 2 𝑆𝑒𝑛(𝑦) βˆ’ √3 2 lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛(𝑦) √3 2 (πΆπ‘œπ‘ (𝑦) βˆ’ 1) βˆ’ 1 2 𝑆𝑒𝑛(𝑦) lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛(𝑦) √3 2 (πΆπ‘œπ‘ (𝑦) βˆ’ 1) βˆ’ 1 2 𝑆𝑒𝑛(𝑦) . 1 𝑦 1 𝑦 lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛(𝑦) 𝑦 √3 2 ( πΆπ‘œπ‘ (𝑦) βˆ’ 1 𝑦 ) βˆ’ 1 2 𝑆𝑒𝑛(𝑦) 𝑦 lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛(𝑦) 𝑦 lim 𝑦→0 √3 2 ( πΆπ‘œπ‘ (𝑦) βˆ’ 1 𝑦 ) βˆ’ lim 𝑦→0 1 2 𝑆𝑒𝑛(𝑦) 𝑦 = 1 √3 2 (0) βˆ’ 1 2 (1) = βˆ’2 3) lim π‘₯β†’0 1 βˆ’ π‘π‘œπ‘ 2π‘₯ 4π‘₯2 = 1 βˆ’ π‘π‘œπ‘ 2(0) 4(0)2 0 0 lim π‘₯β†’0 1 βˆ’ π‘π‘œπ‘ 2π‘₯ 4π‘₯2 = lim π‘₯β†’0 1 βˆ’ π‘π‘œπ‘ 2π‘₯ (2π‘₯)2 lim π‘₯β†’0 [ 1 βˆ’ π‘π‘œπ‘ 2π‘₯ (2π‘₯)2 . 1 + π‘π‘œπ‘ 2π‘₯ 1 + π‘π‘œπ‘ 2π‘₯ ] lim π‘₯β†’0 12 βˆ’ π‘π‘œπ‘ 2 2π‘₯ (2π‘₯)2(1 + π‘π‘œπ‘ 2π‘₯) = lim π‘₯β†’0 𝑠𝑒𝑛2 2π‘₯ (2π‘₯)2(1 + π‘π‘œπ‘ 2π‘₯) lim π‘₯β†’0 𝑠𝑒𝑛2 2π‘₯ (2π‘₯)2 lim π‘₯β†’0 1 (1 + π‘π‘œπ‘ 2π‘₯) = (lim π‘₯β†’0 𝑠𝑒𝑛2π‘₯ 2π‘₯ ) 2 lim π‘₯β†’0 1 (1 + π‘π‘œπ‘ 2π‘₯) Si π‘₯ β†’ 0 => 2π‘₯ β†’ 2.0
  3. 3. 2π‘₯ β†’ 0 ( lim 2π‘₯β†’0 𝑠𝑒𝑛2π‘₯ 2π‘₯ ) 2 lim 2π‘₯β†’0 1 (1 + π‘π‘œπ‘ 2π‘₯) = (1)2 . 1 1 + 1 = 1. 1 2 = 1 2 4) Hallar K sabiendo que la funciΓ³n es continua en -2 𝑓(π‘₯) = { π‘₯3 𝑠𝑖 π‘₯ ≀ βˆ’2 π‘˜π‘₯2 βˆ’ 2π‘₯ 𝑠𝑖 π‘₯ > βˆ’2 Para ser continua estas tres condiciones deben ser iguales 𝐼) 𝑓(βˆ’2) = βˆ’8 𝐼𝐼) lim π‘₯β†’βˆ’2βˆ’ 𝑓(π‘₯) = lim π‘₯β†’βˆ’2βˆ’ π‘₯3 = (βˆ’2)3 = βˆ’8 lim π‘₯β†’βˆ’2+ 𝑓(π‘₯) = lim π‘₯β†’βˆ’2+ π‘˜π‘₯2 βˆ’ 2π‘₯ = π‘˜(βˆ’2)2 βˆ’ 2(βˆ’2) = 4π‘˜ + 4 𝐼𝐼𝐼) lim π‘₯β†’βˆ’2βˆ’ 𝑓(π‘₯) = lim π‘₯β†’βˆ’2+ 𝑓(π‘₯) = 𝑓(βˆ’2) 4π‘˜ + 4 = βˆ’8 4π‘˜ = βˆ’8 βˆ’ 4 4π‘˜ = βˆ’12 π‘˜ = βˆ’ 12 4 = βˆ’3 5) hallar las asΓ­ntotas verticales y horizontales de la grafica de la ecuaciΓ³n π‘₯𝑦2 βˆ’ 𝑦2 βˆ’ 4π‘₯ βˆ’ 8 = 0 π‘₯𝑦2 βˆ’ 𝑦2 = 4π‘₯ + 8 𝑦2(π‘₯ βˆ’ 1) = 4π‘₯ + 8 𝑦2 = 4π‘₯ + 8 π‘₯ βˆ’ 1 𝑦 = ±√ 4π‘₯ + 8 π‘₯ βˆ’ 1 Dominio 4π‘₯ + 8 π‘₯ βˆ’ 1 β‰₯ 0 π‘π‘œπ‘› π‘Ÿπ‘’π‘ π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘π‘–π‘œπ‘› 𝑒𝑛 π‘₯ βˆ’ 1 = 0 π‘‘π‘Žπ‘™ π‘₯ β‰  1 4(π‘₯ + 2) π‘₯ βˆ’ 1 β‰₯ 0 => π‘₯ + 2 π‘₯ βˆ’ 1 β‰₯ 0
  4. 4. -∞ -2 1 + ∞ -3 0 0 X+2 - + + x-1 - - + + - - decrece crece Decrece Dominio π‘₯ ∈ (βˆ’βˆž, βˆ’2] βˆͺ (1, +∞) Como tenemos una restricciΓ³n de denominador tenemos un punto de Asintota vertical en x=1 lim π‘₯β†’1+ √ 4π‘₯ + 8 π‘₯ βˆ’ 1 = 4(1+) + 8 1+ βˆ’ 1 = +∞ lim π‘₯β†’1βˆ’ √ 4π‘₯ + 8 π‘₯ βˆ’ 1 = 4(1βˆ’) + 8 1βˆ’ βˆ’ 1 = βˆ’βˆž Para la asΓ­ntota horizontal lim π‘₯β†’βˆž √ 4π‘₯ + 8 π‘₯ βˆ’ 1 = √lim π‘₯β†’βˆž 4π‘₯ + 8 π‘₯ βˆ’ 1 = √lim π‘₯β†’βˆž 4π‘₯ π‘₯ + 8 π‘₯ π‘₯ π‘₯ βˆ’ 1 π‘₯ = √lim π‘₯β†’βˆž 4 + 8 π‘₯ 1 βˆ’ 1 π‘₯ = √ 4 + 0 1 βˆ’ 0 = 2 lim π‘₯β†’βˆ’βˆž 𝑓(π‘₯) = βˆ’lim π‘₯β†’βˆž 𝑓(π‘₯) = βˆ’2 Por tanto y= 2 y y=-2 son asΓ­ntotas horizontales 6) sea g(x)=2x2+x calcular gΒ΄(x) por definiciΓ³n 𝑔(π‘₯) = 2π‘₯2 + π‘₯ 𝑔´(π‘₯) = lim β„Žβ†’0 𝑔(π‘₯ + β„Ž) βˆ’ 𝑔(π‘₯) β„Ž
  5. 5. = lim β„Žβ†’0 2(π‘₯ + β„Ž)2 + (π‘₯ + β„Ž) βˆ’ 2π‘₯2 βˆ’ π‘₯ β„Ž = lim β„Žβ†’0 2π‘₯2 + 4π‘₯β„Ž + 2β„Ž2 + π‘₯ + β„Ž βˆ’ 2π‘₯2 βˆ’ π‘₯ β„Ž = lim β„Žβ†’0 4π‘₯β„Ž + 2β„Ž2 + β„Ž β„Ž = lim β„Žβ†’0 β„Ž(4π‘₯ + 2β„Ž + 1) β„Ž = lim β„Žβ†’0 4π‘₯ + 2β„Ž + 1 = 4π‘₯ + 2(0) + 1 = 4π‘₯ + 1 7) hallar a y b para que la funciΓ³n dada sea continua en su dominio 𝑓(π‘₯) = { βˆ’2 𝑠𝑖 π‘₯ < βˆ’1 π‘Žπ‘₯ + 𝑏 𝑠𝑖 βˆ’ 1 ≀ π‘₯ < 3 2 𝑠𝑖 π‘₯ β‰₯ 3 lim π‘₯β†’βˆ’1 𝑓(π‘₯) lim π‘₯β†’βˆ’1βˆ’ βˆ’2 = βˆ’2 lim π‘₯β†’βˆ’1+ π‘Žπ‘₯ + 𝑏 = βˆ’π‘Ž + 𝑏 lim π‘₯β†’βˆ’1βˆ’ 𝑓(π‘₯) = lim π‘₯β†’βˆ’1+ 𝑓(π‘₯) βˆ’2 = βˆ’π‘Ž + 𝑏 π‘Ž βˆ’ 𝑏 = 2 lim π‘₯β†’3 𝑓(π‘₯) lim π‘₯β†’3βˆ’ π‘Žπ‘₯ + 𝑏 = 3π‘Ž + 𝑏 lim π‘₯β†’3+ 2 = 2 lim π‘₯β†’3βˆ’ 𝑓(π‘₯) = lim π‘₯β†’3+ 𝑓(π‘₯) 3π‘Ž + 𝑏 = 2 Entonces { 3π‘Ž + 𝑏 = 2 π‘Ž βˆ’ 𝑏 = 2 4π‘Ž = 4 π‘Ž = 1 Sustituyendo
  6. 6. 1 βˆ’ 𝑏 = 2 βˆ’π‘ = 2 βˆ’ 1 βˆ’π‘ = 1 𝑏 = βˆ’1

Γ—