Teoría de Jouravski

1. Flexión y Corte
Teoría de Jouravski
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Es de nuestro interés calcular el eje de un
carretón solicitado por un par de fuerzas P y
verificar las tensiones tangenciales
Datos:      mlmc
cm
kg
cm
kg
tP admadm 20,1;30,0;600;1200;8 22








 
Dado que el sistema posee tanto simetría
geométrica como simetría de cargas las
reacciones de vínculo en A y B resultan:
tmcPMtPRR BA 4,2;8 
Con estos valores, graficamos los diagramas de
esfuerzo Flexor y Corte:
Si al reducir al baricentro de la sección en estudio,
las fuerzas que actúan a uno u otro lado de la
misma se obtiene momento flector M y esfuerzo
de corte Q, como por ejemplo en el tramo AC o
DB del eje de la figura, la solicitación a la que se
encuentra sometido dicho tramo se denomina
flexión transversal (flexión y corte asociado)

3. Dimensionemos en primer término el eje del
carretón a la flexión pura, para posteriormente
verificarlo al corte
El momento flector M genera tensiones
normales  en la sección transversal, tensiones
que calculamos con la fórmula de Navier, así:
xx
z
W
M
y
J
M

32
;
2
;
64
;
3
max
4
d
W
d
y
d
JcPM xx





3
32
d
cP
adm





y reemplazando en  y despejando d será:
donde, para la sección circular del eje resulta:
cm
cm
kg
cmkgcP
d
adm
13
1200
3080003232
3
2
3 







Adoptamos como valor inicial para el cálculo, un eje del carretón de diámetro d = 13 cm

4. Analizamos ahora, el efecto del corte en los
tramos del eje AC y DB
Debido a la relación que existe entre M y Q (dM/dz = Q) la presencia de esfuerzo de corte
Q implica necesariamente la variación del momento flector M.
La existencia de Q, originará además, tensiones tangenciales en las secciones transversales.
La existencia de tensiones de corte  en la sección origina la existencia de deformaciones
angulares  ( = /G).
En la flexión transversal, a diferencia de la flexión pura, las secciones transversales de la
barra no permanecen planas.
El error que se comete al no considerar el alabeo de la sección es del orden de H/L (en valor
unitario, donde H es la altura de la sección y L la luz entre apoyos) en el caso de vigas con esfuerzo
de corte Q variable, y totalmente nulo en el caso de esfuerzo de corte Q constante.
Por consiguiente en esas condiciones la tensión  calculada obtenida para flexión pura, es
también válida para flexión transversal.

5. Por medio de las dos secciones 1-1 y 2-2
distanciadas dz, aislamos un elemento
diferencial del eje
En la dirección “z” actúan las tensiones
normales z sobre las caras izquierda y
derecha (z1 y z2 respectivamente).
Definimos un plano de corte longitudinal
(PCL) situado a una distancia “y” del eje
neutro de la sección.
y
Si planteamos el equilibrio
en el volumen de control del
elemento diferencial del eje
situado por sobre el plano de
corte longitudinal, las
resultantes R1 y R2 de las
fuerzas provocadas por las
tensiones (z1 y z2) no serán
iguales ya que los momentos
flectores que las generan
difieren en dM.
volumen de control
R1 R2
La condición de equilibrio  FZi = 0
se puede escribir: R1+H-R2=0
H
PCL

6. Si suponemos yz = cte
tendremos:
y
R1 R2
H
PCLyz
dzbH yyz 
*
2
**
2
x
x
FxF
z
S
J
dMM
R
dFy
J
dMM
dFR





 
*
1
**
1
x
x
FxF
z
S
J
M
R
dFy
J
M
dFR

 
y las resultantes R1 y R2 serán:
y
Reemplazando H, R1 y R2 en H = R2 - R1, resulta:
**
x
x
x
xx
yyz S
J
dM
S
J
M
J
dMM
dzb 







 
yx
x
yx
x
yz
bJ
SQ
bJ
S
dz
dM





**

Expresión de Jouravski

7. El significado de cada factor en la
fórmula de Jouravski es:
yx
x
yz
bJ
SQ



*

yz : tensión de corte longitudinal para
la coordenada “y”.
Q: esfuerzo de corte en la sección
estudiada (se obtiene del diagrama de
esfuerzo de corte y generalmente se utiliza el
valor máximo, sea positivo o negativo). El
esfuerzo de corte Q depende de la
coordenada “x” de la sección donde se
calcula yz.
Jx: momento de inercia de la sección
respecto del eje “x”.
Sx
*: momento estático, respecto al eje “x”
(plano de corte longitudinal), de la parte de la
sección transversal que se encuentra por
encima de la línea donde se calcula yz.
by: ancho de la sección en correspondencia
con la coordenada “y” donde se calcula yz .

8. Veamos que dice Cauchy
respecto a las tensiones yz:
y
R1 R2
H
PCLyz
zy
De acuerdo a la ley de
reciprocidad de las tensiones
tangenciales (Cauchy), en el
plano de la sección “xy” que
es perpendicular al plano
longitudinal “xz”, existen
tensiones tangenciales de
dirección vertical (zy) que
serán numéricamente iguales
a las longitudinales
horizontales (yz).
dFQ
F
zy  y para que se satisfaga la condición de
equilibrio  FYi = 0 debe ser:

9. y para la sección circular del eje
resulta:
22
2 yRby 
464
44
RD
Jx





el momento estático de la sección ubicado por
sobre el plano de corte longitudinal es:
 
R
y
yy
dbSdbdS  
 
R
y
y
dRS 
22
2
y reemplazando by será:
   2
3
222
3
22
3
2
3
2
yRRS
R
y
y
 
y reemplazando valores tendremos:
 
  42
1
22
2
3
22
23
42
RyR
yRQ
zy





 
4
22
3
4
R
yRQ
zy





distribución cuadrática
 0zyvalor mínimo para y = R
valor máximo para y = 0









F
Q
R
Q
zy
3
4
3
4
2



10. verificamos las tensiones normales debidas a
la flexión y las tangenciales debidas al corte en
los punto C y D
Datos:      mlmc
cm
kg
cm
kg
tP admadm 20,1;30,0;600;1200;8 22








 












adm
adm
x
cm
kg
cm
kg
F
Q
cm
kg
cm
cmkg
W
M


22max
23
max
max
80
133
8000
3
4
3
4
1111
216
240000
 
 

















2
22
3
33
max
133
4
13
4
216
32
13
32
240000308000
8000
cm
cmd
F
cm
cmd
W
cmkgcmkgcPM
kgPRQ
x
A


C D

11. verificamos las tensiones normales debidas a
la flexión y las tangenciales debidas al corte en
los punto C y D











22
2
2
2
max
2
60
133
8000
556
2
1111
2
cm
kg
cm
kg
F
Q
cm
kgcm
kg
R
yzy
R
yz



las fibras ubicadas a una distancia R del plano de corte
longitudinal que contiene al baricentro estarán solicitadas
por tensiones  =  max y  = 0
las fibras ubicadas sobre el plano de
corte longitudinal que contiene al
baricentro estarán solicitadas por
tensiones  =  max y  = 0
las fibras ubicadas a
distancias intermedias,
por ejemplo y = R/2 será:

12. calculamos las
tensiones principales
En el presente estado plano de tensiones (todas las tensiones con subíndice “x” son
nulas), las fibras superiores estarán sometidas a compresión mientras que las
inferiores a tracción. Las tensiones máximas y mínimas las calculamos como
sigue (fibras ubicadas a una distancia y = R/2 del plano de corte longitudinal):
 








































 22
2
2
2
22
2
2
max1 12004,56260
4
0556
2
0556
42 cm
kg
cm
kg
cm
kgcm
kg
cm
kg
admzy
yzyz



0;60;0;556 2
55
2
5









 zxxzyxxyR
yyzR
yzyyxR
yz
cm
kg
cm
kg

 









































 22
2
2
2
22
2
2
min2 12004,660
4
0556
2
0556
42 cm
kg
cm
kg
cm
kgcm
kg
cm
kg
admzy
yzyz



 


































 22
2
2
2
2
2
2
max 6004,28460
4
0556
4 cm
kg
cm
kg
cm
kgcm
kg
admzy
yz




13. trazamos la correspondiente
circunferencia de Mohr
562,4 kg/cm2 =
= 556 kg/cm2
60 kg/cm2 =
= 60 kg/cm2

14. Analicemos los resultados
obtenidos:
La fibra más solicitada será la ubicada a una distancia R del plano de corte longitudinal
que contiene al baricentro de la sección ( =  max y  = 0)
En este caso resultan ser las tensiones principales: 1 =  max = 1111 kg/cm2 < adm y
2 =  3 = 0
Se justifica considerar al corte despreciable (frente a
la solicitación por flexión) y dimensionar el eje sólo a
flexión simple.

15. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

16. Muchas Gracias