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- 2. F(x)=𝒙𝟑 F’(x)=𝟑𝒙𝟐 F(x)=𝒙𝟓 F’(x)=𝟓𝒙𝟒 F(x)=𝟒𝒙𝟓 F’(x)=𝟒(𝟓)𝒙𝟒 = 𝟐𝟎𝒙𝟒 Recordemos un poco el curso de Matemática I… J.J Sierra H. (2022)
- 3. න 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝑰 𝒒 = 𝒇(𝒒) Cantidad Ingreso $ 5 100,000 𝒂 𝒃 𝟓𝒙𝟒 𝒅𝒙= 𝒙𝟓 +C F(x)=𝒙𝟓+0 g(x)=𝒙𝟓 + 𝟒 H(x)=𝒙𝟓 + 𝟑𝟖 Símbolo de integración diferencial integrando Límites de integración Límites de integración ¡Ahora si! Integración J.J Sierra H. (2022)
- 4. J.J Sierra H. (2022)
- 5. 1) න 𝒙𝟏𝟎 + 𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝟏𝟑 𝒅𝒙 = න 𝒙𝟏𝟎 𝒅𝒙 + න 𝒙𝟏𝟏 𝒅𝒙 + න 𝒙𝟏𝟑 𝒅𝒙 3) න 𝒙𝟒 + 𝒙𝟏𝟐 − 𝒙𝟑 𝒅𝒙 = න 𝒙𝟒 𝒅𝒙 + න 𝒙𝟏𝟐 𝒅𝒙 − න 𝒙𝟑 𝒅𝒙 2) න 𝒙−𝟗 − 𝒙𝟏/𝟓 − 𝒙𝟖 𝒅𝒙 = න 𝒙−𝟗 𝒅𝒙 − න 𝒙𝟏/𝟓 𝒅𝒙 − න 𝒙𝟖 𝒅𝒙 Esta propiedad lo que sugiere es que calcular: La integral de una suma = a la suma de las integrales La integral de una resta = a la resta de las integrales La integral de sumas y restas = a la suma y resta de las integrales ¡Ojo! No están aún resueltas sólo se aplico una propiedad
- 6. J.J Sierra H. (2022)
- 7. Una constante es cualquier expresión que no sea igual a la variable que hay en el diferencial. La variable acá es v ; entonces la “a” es una constante porque no se parece a “v” 1) න 𝑚𝒙𝟏𝟎 𝒅𝒙 = La variable acá es x ; entonces la “m” es una constante porque no se parece a “x” Antes de pasar a la fórmula 2 se debe entender primero algo 2) න 𝑧𝒑−𝟒 𝒅𝒑 = La variable acá es p ; entonces la “z” es una constante porque no se parece a “p” J.J Sierra H. (2022)
- 8. 1) න 5𝒙𝟏𝟎 𝒅𝒙 = 5 න 𝒙𝟏𝟎 𝒅𝒙 3) න − 2 3 𝒙𝟑 𝒅𝒙 = − 2 3 න 𝒙𝟑 𝒅𝒙 2) −𝒎 𝒙−𝟗 𝒅𝒙 = −𝑚 𝒙−𝟗 𝒅𝒙 Esta propiedad lo que sugiere:: Si hay una constante multiplicando (el 5) sencillamente déjela afuera ¡Ojo! No están aún resueltas sólo se aplico una propiedad Esta propiedad lo que sugiere:: Si hay una constante multiplicando (el -m) sencillamente déjela afuera Esta propiedad lo que sugiere:: Si hay una constante multiplicando (el -2/3) sencillamente déjela afuera Ya que entendimos que es una constante, ahora si vamos a:
- 9. J.J Sierra H. (2022)
- 10. 1) න 𝟏𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝒄 𝒇 𝒙 = 𝒙 → 𝒇′ 𝒙 = 𝟏𝒅𝒙 x 0 1 f(x)=x 0 1 x 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 → 𝒇′ 𝒙 = 𝟐𝒅𝒙 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟖𝟎𝟎 → 𝒇′ 𝒙 = 𝟏𝒅𝒙 2) න 𝒅𝒑 = 𝒑 + 𝒄 3) න 𝒅𝒛 = 𝒛 + 𝒄 La integral de 1 es la función idéntica x 0 1 f(x)=2x 0 2 f(x) f(x) x ¡Ojo! No es necesario colocar el 1 ¡Ojo! Acá si esta resuelta la integral (note que ya no lleva el símbolo de la operación (integración), pero si lleva una C (constante)
- 11. J.J Sierra H. (2022)
- 12. 3) න 𝒙−𝟓 𝒅𝒙 = 𝒙−𝟒 −𝟒 + 𝒄 1) 𝒙𝟏𝟎 𝒅𝒙 = 𝒙𝟏𝟏 𝟏𝟏 + 𝒄 න 𝑥𝑛𝒅𝒙 = 𝒙𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 2) න 𝒙𝟓 𝒅𝒙 = 𝒙𝟔 𝟔 + 𝒄 4) න 𝟑𝒙𝟏𝟑 𝒅𝒙 = 3 න 𝒙𝟏𝟑 𝒅𝒙 = 𝟑 𝒙𝟏𝟒 𝟏𝟒 + 𝒄 Aumenta 1 al exponente En el resultado, el valor que va en el exponente va igual en el denominador Si esta resolviendo una integral INDEFINIDA (es decir, no tiene limites) siempre debe colocar en la respuesta C (constante)
- 13. 1) න 𝟑𝒅𝒙 = 𝟑 න 𝒅𝒙 = 𝟑𝒙 + 𝒄 4) න 𝟐 𝟓 𝒅𝒙 = 𝟐 𝟓 න 𝒅𝒙 = 𝟐 𝟓 𝒙 + 𝒄 3) −𝟐𝟑𝒅𝒙 = −𝟐𝟑 𝒅𝒙 = −𝟐𝟑𝒙 + 𝒄 2) න − 𝟐 𝟓 𝒅𝒛 = − 𝟐 𝟓 𝒛 + 𝒄 5) න 𝒎𝒅𝒛 = 𝒎𝒛 + 𝒄 6) න −𝒙𝒅𝒓 = −𝒙𝒓 + 𝒄 ¡Combinemos las diferentes propiedades! J.J Sierra H. (2022)
- 14. 1) න 𝒙𝒅𝒑 = 𝑥 න 𝒅𝒑 = 𝒙𝒑 + 𝒄 Inténtalo:
- 15. 2) න −𝟑𝒙𝟗𝒅𝒙 = −3 න 𝒙𝟗 𝒅𝒙 = −𝟑𝒙𝟏𝟎 10 + 𝑐 Inténtalo:
- 16. 𝟕 𝒙4𝒅𝒙 = 𝒙 4 𝟕𝒅𝒙 = 𝒙 𝟏𝟏 𝟕 𝟏𝟏 𝟕 = 𝟕 𝟏𝟏 𝒙 𝟏𝟏 𝟕 + 𝑐 𝒏 𝒙𝒎 = 𝒙𝒎/𝒏 Propiedad de las potencias
- 18. 𝟓 𝒙𝒅𝒙 = 𝒙 𝟏 𝟓𝒅𝒙 = 𝒙 𝟔 𝟓 𝟔 𝟓 = 𝟓 𝟔 𝒙 𝟔 𝟓 𝟕 𝒙𝟖𝒅𝒙 = 𝒙 𝟖 𝟕𝒅𝒙 = 𝒙 𝟏𝟓 𝟕 𝟏𝟓 𝟕 = 𝟕 𝟏𝟓 𝒙 𝟏𝟓 𝟕 𝒏 𝒙𝒎 = 𝒙𝒎/𝒏 Propiedad de las potencias න 𝑛 𝑥𝑚𝒅𝒙 = 𝒏 𝒏 + 𝒎 𝒙 𝒏+𝒎 𝒏 𝟐 𝒙𝟏 = 𝒙𝟏/𝟐 𝟓 𝒙𝟑 = 𝒙𝟑/𝟓 𝟖 𝒙𝟕 = 𝒙𝟕/𝟖 𝟐 𝒙𝒅𝒙 = 𝒙𝟏/𝟐 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 = 𝟐 𝟑 𝒙 𝟑 𝟐
- 19. 3) න(−𝟑𝒙𝟗+𝟑𝒙)𝒅𝒙 = −3 න 𝒙𝟗 𝒅𝒙 + 3 න 𝑥𝒅𝒙 = −𝟑𝒙𝟏𝟎 10 + 3𝑥2 2 + 𝑐 Inténtalo:
- 20. 4) න(𝒙𝟏𝟐−𝟑𝒙𝟓)𝒅𝒙 = 𝒙𝟏𝟑 13 − 3𝑥6 6 + 𝑐 Inténtalo:
- 21. 5) න(𝒙𝟑+𝟑𝒙−𝟓)𝒅𝒙 = = 𝒙𝟒 4 + 3𝑥−4 −4 + 𝑐 Inténtalo: J.J Sierra H. (2022) = 𝒙𝟒 4 − 3 4𝑥−4 + 𝑐
- 22. 1) න(−𝟒𝒙𝟐+ 𝟏 𝟓 𝒙𝟔)𝒅𝒙 = −𝟒𝒙𝟑 3 + 1 5 𝑥7 7 + 𝑐 −𝟒𝒙𝟑 3 + 𝑥7 35 + 𝑐 ¡Sigamos practicando! J.J Sierra H. (2022)
- 23. 2) න(𝟐𝒙𝟐+𝒙 𝟓 𝟔)𝒅𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 3 + 𝑥 11 6 11 6 + 𝑐 𝟐𝒙𝟑 3 + 6𝑥 11 6 11 + 𝑐
- 24. 3) න(−𝟑𝒙𝟒+𝒙 𝟏 𝟒)𝒅𝒙 = −𝟑𝒙𝟓 5 + 𝑥 5 4 5 4 + 𝑐 −𝟑𝒙𝟓 5 + 4𝑥 5 4 5 + 𝑐 J.J Sierra H. (2022)
- 25. 4) න(−𝟏𝟐𝒙 𝟏 𝟐+𝒙 𝟏𝟑 𝟏𝟓)𝒅𝒙 = −𝟏𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝑥 28 15 28 15 + 𝑐 = −8𝒙 𝟑 𝟐 + 15𝑥 28 15 28 + 𝑐 −𝟐𝟒𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 + 15𝑥 28 15 28 + 𝑐
- 26. +1 𝟑 − −1 𝟑 = 𝟏 − −𝟏 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐 න −1 1 𝟑𝒙2𝒅𝒙 = 3 𝒙𝟑 3 = 𝒙𝟑 LS Li Este menos siempre va 𝑥 𝟑 − 𝑥 𝟑 = 𝟏 − −𝟏 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐