Este documento presenta los conceptos básicos de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Define las seis razones trigonométricas principales y explica cómo calcularlas cuando se conocen los lados del triángulo. También cubre propiedades como las razones inversas y complementarias y proporciona valores para ángulos notables como 30°, 45° y 60°. Finalmente, incluye ejemplos para que el lector practique calcular razones trigonométricas.

2. CONOCIMIENTO PREVIO
PARA RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS EN UN
TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

3. 1.Construye un triángulo rectángulo.

4. 2.Observa el triángulo luego señala
Sus elementos.
CATETO
CATETO 4.En la figura aplica el
teorema de Pitáras.
3. ¿ La suma de los ángulos agudos
es ?
90B C
2 2 2
hipotenusa cateto cateto
2 2 2
a b c

5. 5.Encuentra el valor «x» en la figura:

6. 1.RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T).
Se denomina así, cociente entre los números de las longitudes de dos lados
de un triángulo rectángulo.
Ejemplo: 5
.
13
RT
12
.
13
RT
5
.
12
RT
12
.
5
RT
13
.
12
RT
13
.
5
RT

7. Estas 6 R.T. se va a designar o simbolizar así:
1. Seno : sen
2. Coseno : cos
3. Tangente : tan
4. Cotangente : ctg
5. Secante : sec
6. Cosecante : csc
1.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS AGUDOS.
Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en A, con un ángulo referencial « «
en B.

8. Cateto
adyacente
Cateto
opuesto
.catetoopuesto
sen
hipotenusa
.
cos
cateto adyacente
hipotenusa
.
.
catetoopuesto
tg
cateto adyacente
csc
.
hipotenusa
cateto opuesto
sec
.
hipotenusa
catetoadyacente
.
.
cateto adyacente
ctg
catetoopuesto

9. Practiquemos:
1.Establece las R.T. de la siguiente
figura.
c
sen
a
cos
b
a
tan
c
b
b
ctg
c
sec
a
b

10. 2.Halla las R.T. en la figura.
4
5
sen
3
cos
5
4
tan
3
3
4
ctg
5
sec
3
5
csc
4

11. 3.Si es un ángulo agudo, tal que: ; halla: " "ctg
2 2
13 4cotL sen
4.Sí es un ángulo agudo; tal que
halla:
Desarrollo:
2
3
sen
" "ctgPide:
5
2
ctg
13
sec
3
2
3
5

12. Desarrollo:
2
Pide:
4 9
13 4
13 4
L
2 2
2 3
13 4
213
L
4 9
13 4
13 4
L
L = 13
5.En un triángulo ABC, recto en B. Halla:
.sec cos cscL senA C A C
Desarrollo:

13. Pide:
.sec cos cscL senA C A C
a b c b
L
b a b c
L = 1 + 1
L = 2
6. En un triángulo rectángulo ABC
( c = 90° ) ; se sabe que:
4tan tanA B
Desarrollo:
De la condición:
4tan tanA B
4
a b
b a
2
2
1
4
a
b
Halla : sec A
a = 1
b = 2

14. Entonces:
5
sec
2
A
7.En el siguiente cuadrado, halla:
tan ctg Sí
4
3
ctg
Desarrollo:
4
3
4
4
1
Entonces:
3 4
4 1
19
4

15. 1
tan
6
5
tan
3
8. Si:
Hallar:
Ctg
Desarrollo:
1
6
10
6
Ctg

16. 3 2
7 1senx
Sabemos:
0
7 1 3 2 0sen
2
3
sen
2
3
5
9.Si: Hallar: ctg
Desarrollo:
5
2
ctg

17. R.T. EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO II

18. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Recordemos:
I .R.T. inversas o recíprocas. ( ángulos iguales )
b
sen
a
cos
c
a
tan
b
c
recíproca
recíproca
recíproca
csc
a
b
sec
a
c
c
ctg
b
Multipliquemos sen, cos y tan por sus inversas para el mismo ángulo, tendremos:
tan . 1ctg
.csc 1sen
cos .sec 1

19. Ejemplo:
Halla « » en cada caso:
1. Sen 4 Csc 48° =1
Ángulos iguales.
4 = 48°
= 12°
2. Cos ( 60° - 5 ) . Sec = 1
Ángulos iguales.
60° - 5 =
60° = 6
= 10°

20. 3. Tan 3 . Ctg ( 80° - 5 ) = 1
3 = 80° - 5
8 = 80° = 10°
II. R.T. complementarias ( para dos ángulos que suman 90°).
De la figura :
90
1. Halla el complemento de :
Ejemplo:
C de 30° =
C de 50° =
C de =
C de
6
=
C de ( + 30° ) =
60°
40°
90° -
3
60° -

21. 2. De la figura , halla las R.T. para los ángulos y
b
sen
a
cos
c
a
tan
b
c
csc
a
b
sec
a
c
c
ctg
b
c
sen
a
cos
b
a
tan
c
b
t
b
c g
c
sec
a
b
csc
a
c

22. En conclusión :
Si: + = 90°
cos
tan
csc sec
sen
ctg
Recuerda:
R.T CO- RAZÓN
TRIGONOMÉTRICO
Seno coseno
tangente Cotangente
cosecante Secante.
Ejemplos:
Halla en cada caso «x»
1.Sen ( x + 2° ) = cos ( x – 2°)
Suman 90°
X + 2° + x – 2° = 90°
2x = 90° X = 45°
2. Tan 3x = ctg 3x
3x + 3x = 90°
6x = 90° X = 15°
3. Sec ( 4x – 20° ) = csc 7x
4x – 20° + 7x = 90°
11 x = 110°
x = 10°
a) Sen 30° = cos 60°
b) Tan 20° = ctg 70°
c) Sec 37° = csec53°

24. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES.
Recordemos los ángulos notables:
I.Razones Trigonométricas de 30º y 60°
Partimos de un triángulo equilátero de lado ‘‘2’’ trazando una altura
formamos dos triángulos rectángulos.
3

25. Entonces las R.T. para 30° y 60°, es:
1
30
2
sen
3
cos30
2
3
tan30
3
30 3ctg
2 3
sec30
3
csc30 2
3
60
2
sen
1
cos60
2
tan 60 3
3
60
3
ctg
2 3
csc60
3
sec60 2

26. II.Razones Trigonométricas de 45°
Si tenemos un cuadrado de lado «1" y trazamos dos
triángulos rectángulos

27. Las R.T. son:
2
se 45
2
n
2
cos45
2
tan45 1
45 1ctg
sec45 2
csc45 2
I. Razones Trigonométricas de 37° y 53°
TRIÁNGULOS APROXIMADOS:
Si K = 1

28. Las R.T. son:
3
37
5
sen
4
53
5
sen
3
cos53
5
4
cos37
5
3
tan37
4
4
37
3
ctg
5
sec37
4
5
csc37
3
4
tan53
3
5
sec53
3
5
csc53
4
3
53
4
ctg

29. Queda para el alumno.

30. R.T 30° 45° 60° 37° 53°
Sen.
Cos
Tan
Ctg
Sec
csc
1
2
1
2
3
2
1
3
3
2
3
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
3
2
3
1
3
2
2
3
3
5
4
5
3
4
4
3
5
4
5
3
4
5
3
5
4
3
3
4
5
3
5
4

31. Practiquemos:
2
30 tan37E sen
1.Resuelve:
Desarrollo:
2
1 3
2 4
E
1 3
4 4
E
E = 1
2. Halla el valor numérico de:
2
30 60 0,75 cos30E sen sen
Desarrollo:
2
1 3 3 3
2 2 4 2
E
1 3 3 3
4 2 4 2
E
1 2 3 3 3
4 2
E
2
1 3 3
4 2
E
1 3 3
2 2
E
1
2
E

32. 3.Halla el valor de «x» en:
tan50 37 3
37 3
4
g
x sen
senx ctg
Desarrollo:
tan 45 37 3
45 37 3
x sen
x ctg sen
3
3
1 5
31 3
5
x
x
3 15
1 5
3 151
5
x
x
5 181
1 5 12
x
x
1 3
1 2
x
x
- 2x – 2 = 3x - 3
1
5
x