2017-TFG2 Distribuciones de equilibrio en Econofísica

Introducción
Distribuciones de equilibrio: métodos geométricos
Distribuciones de equilibrio: modelos de operadores
Simulación de los dos operadores anteriores
Resumen
Sistemas Complejos:
Distribuciones de equilibrio en sistemas económicos y f´ısicos
Iván Allué
11 Julio 2017
Sistemas complejos: Distribuciones de equilibrio

Introducción
Resumen
Contenido
1 Introducción
¿Qué son los Sistemas Complejos?
¿Qué es la Econof´ısica?
Distribuciones de equilibrio
2 Distribuciones de equilibrio: métodos geométricos
La distribución exponencial
Sistemas económicos multi-agente abiertos
Sistemas económicos multi-agente cerrados
La distribución gaussiana
Sistemas multi-particula abiertos
Sistemas multi-part´ıcula cerrados
La distribución general e−xb
3 Distribuciones de equilibrio: modelos de operadores
4 Simulación de los dos operadores anteriores
5 Resumen

Introducción
Resumen
Están compuestos por una gran cantidad de elementos relativamente
idénticos.
La interacción entre sus elementos es local y origina un
comportamiento emergente que no puede explicarse a partir de dichos
elementos tomados aisladamente.
Es dif´ıcil predecir su evolución dinámica futura.
Presentan en general inestabilidades pero también equilibrios, sean
simples o múltiples. Fluctuación.

Introducción
Resumen
Novedoso campo de investigación cient´ıfica que aplica teor´ıas y
métodos, originalmente desarrollados por f´ısicos, para entender y
resolver problemas en econom´ıa.
Surge en 1990 en México. Brian Arthur.
Eugene Stanley.

Introducción
Resumen
Distribución exponencial o de Boltzmann-Gibbs
P(x) =
1
< x >
e
−x
<x>
Distribución Gaussiana o Maxwelliana
P(x) =
1
2π < x2 >
e
−x2
2<x2>
Distribución general e−xb
P(x) ≈
1
< xb >1/b
e
−xb
b<xb>

Introducción
Resumen
La distribución exponencial: Sistemas económicos multi-agente abiertos
Reparto de riqueza
x1 + x2 + ... + xN−1 + xN ≤ E
Volumen de una pirámide equilateral N-dimensional
VN (E) =
EN
N!
Reparto de riqueza de N-1 agentes
x1 + x2 + ... + xi−1 + xi+1 + ... + xN−1 + xN ≤ E − xi
Condición de normalización y relación del volumen
E
0
f(xi)dxi = 1 VN (E) =
E
0
VN−1(E − xi)dxi

Introducción
Resumen
Factor de Boltzmann
f(xi) =
VN−1(E − xi)
VN (E)
= ... =
1
1 −
xi
E
N−1
siendo = E/N
Calculando el l´ımite cuando N → ∞ obtenemos la distribución exponencial
Distribución exponencial
f(x) =
1
e− x

Introducción
Resumen
La distribución exponencial: Sistemas económicos multi-agente cerrados
Reparto de riqueza
x1 + x2 + ... + xN−1 + xN = E
Área superficial de una pirámide equilateral N-dimensional
SN (E) =
√
N
(N − 1)!
EN−1
Reparto de riqueza de N-1 agentes
x1 + x2 + ... + xi−1 + xi+1 + ... + xN−1 + xN = E − xi
Condición de normalización y relación de áreas
E
0
f(xi)dxi = 1 SN (E) =
E
0
SN−1(E − xi)
senθN
dxi
con θN verificando cosθN = ω⊥ · vxN = 1√
N

Introducción
Resumen
Factor de Boltzmann
f(xi) =
SN−1(E − xi)
SN (E)
1
senθN
= ... =
(N − 1)
E
1 −
xi
E
N−2
Calculando el l´ımite cuando N → ∞ obtenemos la distribución exponencial
Distribución exponencial
f(x) =
1
e− x

Introducci´on
Resumen
La distribuci´on gaussiana: Sistemas multi-part´ıculas abiertos
Reparto de energ´ıa
p2
1 + p2
2 + ... + p2
N−1 + p2
N ≤ R2
siendo p2
i = Ki = 1
2
miv2
i
Volumen de una esfera de radio R
VN (R) =
π
N
2
Γ(N
2
+ 1)
RN
Reparto de energ´ıa de N-1 part´ıculas
p2
1 + p2
2 + ... + p2
i−1 + p2
i+1 + ... + p2
N ≤ R2
− p2
i
R
−R
f(pi)dpi = 1 VN (R) =
R
−R
VN−1( R2 − p2
i )dpi

Introducción
Resumen
La distribución gaussiana: Sistemas multi-part´ıculas abiertos
f(pi) =
VN−1( R2 − p2
i )
VN (R)
= ... = CN R−1
1 −
p2
i
R2
N−1
2
siendo
CN =
Γ(N
2
+ 1)
Γ(N+1
2
)
√
π
Calculando el l´ımite cuando N → ∞, aplicando la aproximación de Stirling
N! ≈ NN
e−N
√
2πN, obtenemos la distribución gaussiana
Distribución gaussiana
f(p) =
1
2π
e
−p2
2
siendo = R2
/N

Introducción
Resumen
La distribución gaussiana: Sistemas multi-part´ıcula cerrados
Reparto de riqueza
p2
1 + p2
2 + ... + p2
N−1 + p2
N = R2
Área superficial de una N-esfera de radio R
SN (R) =
2π
N
2
Γ(N
2
)
RN−1
Reparto de energ´ıa de N-1 part´ıculas
p2
1 + p2
2 + ... + p2
i−1 + p2
i+1 + ... + p2
N = R2
− p2
i
Condición de normalización y relación de áreas
R
−R
f(pi)dpi = 1 SN (R) =
R
−R
SN−1 R2 − p2
i
1 −
pi
R2
1/2
dpi

Introducción
Resumen
La distribución gaussiana: Sistemas multi-part´ıculas cerrados
f(pi) =
1
SN (R)
SN−1 R2 − p2
i
1 −
pi
R2
1/2
= ... = CN R−1
1 −
p2
i
R2
N−3
2
siendo
CN =
Γ(N
2
)
Γ(N−1
2
)
√
π
Calculando el l´ımite cuando N → ∞, aplicando la aproximación de Stirling
N! ≈ NN
e−N
√
2πN, obtenemos la distribución gaussiana
Distribución gaussiana
f(p) =
1
2π
e
−p2
2

Introducci´on
Resumen
Reparto inicial
xb
1 + xb
2 + ... + xb
N−1 + xb
N ≤ E
Volumen de un cuerpo b-sim´etrico N-dimensional
VN (b, E) = gb(N)EN
Reparto de N-1 variables
xb
1 + xb
2 + ... + xb
i−1 + xb
i+1 + ... + xb
N−1 + xb
N ≤ E − xb
i
E1/b
0
f(xi)dxi = 1 VN (E1/b
) =
E1/b
0
VN−1((E − xb
i )1/b
)dxi

Introducci´on
Resumen
f(xi) =
VN−1((E − xb
i )1/b
)
VN (E1/b)
=
VN−1(E1/b
)
VN (E1/b)
1 −
xb
i
E
N−1
b
Calculando el l´ımite cuando N → ∞ obtenemos la forma exacta de f(x)
Distribuci´on general
f(x) = cb
−1/b
e−xb
/b
siendo
cb =
gb(N − 1)
gb(N)N1/b

Introducción
Resumen
pn es la distribución de riqueza en tiempo n.
La probabilidad de que dos agentes con dinero (u, v) interactúen es
pn(u)pn(v)dudv.
Comercio aleatorio y dinero total u + v. Por tanto, reparto uniforme
pn(u)pn(v)/(u + v).
As´ı
Probabilidad de tener dinero x en tiempo (n + 1) verificando u + v > x
pn+1(x) = T pn(x) =
u+v>x
pn(u)pn(v)
u + v
dudv
siendo T un operador integral no lineal.

Introducci´on
Resumen
Espacio L+
1 de las distribuciones de riqueza en el intervalo [0, ∞)
L+
1 [0, ∞) = {p : [0, ∞) → R+
∪ {0}, p < ∞},
con norma
p =
∞
0
p(x)dx
.
Riqueza media < x >p asociada a la distribuci´on de riqueza p ∈ L+
1 [0, ∞)
< x >p= xp(x) =
∞
0
xp(x)dx
Subconjunto de las funciones de densidad en L+
1 [0, ∞)
B = {p ∈ L+
1 [0, ∞), p = 1}

Introducción
Resumen
Haciendo uso de estas definiciones:
Se conserva el número de agentes, esto es, si p ∈ B entonces T p ∈ B, es
decir, T p = p = 1
La riqueza media < x >p se conserva en tiempo, es decir,
< x >T p=< x >p ∀p ∈ B.
La familia uniparamétrica de funciones pα(x) = αe−αx
, α ≥ 0, son
puntos fijos de T en L+
1 [0, ∞).
Se llegó a la conclusión de que la distribución exponencial es el único punto
fijo:
Haciendo simulaciones numéricas (2012).
Matemáticamente,haciendo uso de la transformada de Laplace. Guy
Katriel (2014).
As´ı
l´ım
n→∞
T n
(p0(m)) → pf (m)
siendo p0 cualquier distribución inicial y pf la distribución exponencial.

Introducción
Resumen
Consideramos un gas ideal compuesto de part´ıculas, que tienen una
unidad de masa, en el espacio 3D.
pn es la distribución de velocidad en tiempo n.
La probabilidad de tener una part´ıcula con una velocidad (u, v, w) en
tiempo n es pn(u)pn(v)pn(w)dudvdw.
Hacemos dos suposiciones simples:
Consideramos las part´ıculas con velocidad (u, v, w) verificando
u2
+ v2
+ w2
≥ x2
.
Las part´ıculas con velocidad (u, v, w) pueden generar velocidades
máximas ±Umax = ±
√
u2 + v2 + w2, entonces el rango permitido de
velocidades es [−Umax, Umax] y mide 2|Umax|.
As´ı
Probabilidad de tener velocidad x en tiempo (n + 1)
pn+1(x) = T pn(x) =
u2+v2+w2≥x2
pn(u)pn(v)pn(w)
2
√
u2 + v2 + w2
dudvdw
siendo T un operador integral no lineal.

Introducci´on
Resumen
Espacio L+
1 de las distribuciones de velocidades en el eje real
L+
1 (R) = {p : R → R+
∪ {0}, p < ∞},
con norma
p =
∞
−∞
p(x)dx
.
Velocidad media < x >p asociada a la distribuci´on de velocidades
p ∈ L+
1 (R)
< x >p= xp(x) =
∞
−∞
xp(x)dx
Subconjunto de las funciones de densidad en L+
1 (R)
B = {p ∈ L+
1 (R), p = 1}

Introducción
Resumen
Haciendo uso de estas definiciones:
Se conserva el número de part´ıculas, esto es, si p ∈ B, entonces
T p = p 3
= 1
El valor medio de la velocidad en la recursión pn = T n
p0 se conserva
en tiempo. De hecho, es nulo para todo n:
< x >T p=< x >T 2p= ... =< x >T np= ... = 0.
La energ´ıa total del gas se conserva en tiempo, es decir, para cada
p ∈ B tenemos
< x2
>p=< x2
>T p=< x2
>T 2p= ... =< x2
>T np= ...
La familia uniparamétrica de funciones pα(x) = α
π
eαx2
, α ≥ 0, son
puntos fijos de T .
Conjetura
Para cualquier p ∈ B, con < x2
>p finito y verificando
l´ım
n→∞
T n
p − µ(x) = 0, el l´ımite µ(x) es el punto fijo pα(x) = α
π
eαx2
, con
α = (2 < x2
>p)−1
.

Introducción
Resumen
Ejemplos de la distribución exponencial
Recordemos que l´ım
n→∞
T n
p(x) = 1
<x>p
e
− x
<x>p siendo
T p(x) = u+v>x
p(u)p(v)
u+v
dudv y < x >p=
∞
0
xp(x)dx
Ejemplo 1
Consideramos la función de densidad p(x) = x
2
e
− x√
2 .
El valor medio es < x >p= 2
√
2, por lo tanto el punto fijo al cual decae esta
distribución es
µ(x) =
1
2
√
2
e
− x
2
√
2
p(x) − µ(x) = 0.36823 T p(x) − µ(x) = 0.18507

Introducción
Resumen
Ejemplo 2
Consideramos la función de densidad p(x) =



2x−1
10
si 1 < x < 2
8
20
si 4 < x < 6
0 en el resto
60
, por lo tanto el punto fijo al cual decae esta
distribución es
µ(x) =
60
259
e− 60
259
x
p(x) − µ(x) = 1.4074 T p(x) − µ(x) = 0.41525

Introducci´on
Resumen
Ejemplo 3
Consideramos la funci´on de densidad
p(x) =



1
5
si 0 < x < 1
1
10
si 1 < x < 3
1
20
si 3 < x < 4
3
10
si 4 < x < 5
1
4
si 5 < x < 6
0 en el resto

Introducci´on
Resumen
Ejemplo 3
5
distribuci´on es
µ(x) =
5
17
e− 5
17
x
p(x) − µ(x) = 0.825744 T p(x) − µ(x) = 0.17007

Introducción
Resumen
Ejemplos de la distribución gaussiana
Recordemos que l´ım
n→∞
T n
p(x) = α
π
e−αx2
siendo α = (2 < x2
>p)−1
y
T p(x) = u2+v2+w2≥x2
p(u)p(v)p(w)
2
√
u2+v2+w2
dudvdw
Ejemplo 1
Consideramos la función de densidad p(x) = 3
22/3π(1+4x6)
.
El valor de alpha es α = 22/3
distribución es
µ(x) =
21/3
√
π
e−22/3
x2
p(x) − µ(x) = 0.144742 T p(x) − µ(x) = 0.0505915

Introducción
Resumen
Ejemplo 2
Consideramos la función de densidad p(x) =



1
3
si −2 < x < 1
0 en el resto
El valor de alpha es α = 1
2
distribución es
µ(x) =
1
√
2π
e− x2
2
p(x) − µ(x) = 0.465798

Introducción
Resumen
Ejemplo 3
Consideramos la función de densidad
p(x) =



1
4
si x ∈ (−3, −2) ∪ (−1, 1) ∪ (2, 3)
0 en el resto
El valor de alpha es α = 3
20
distribución es
µ(x) =
1
2
3
5π
e− 3x2
20
p(x) − µ(x) = 0.821818

Introducción
Resumen
Resumen
Los sistemas económicos tratados en el primer cap´ıtulo desde
distribuciones en equilibrio y en el segundo con distribuciones fuera de
equilibrio, decaen hacia la distribución exponencial.
Los modelos tipo-gas mencionados en el primer cap´ıtulo desde
distribuciones en equilibrio y en el segundo con distribuciones fuera de
equilibrio, decaen hacia la distribución gaussiana.

Introducci´on
Resumen
GRACIAS POR VUESTRA
ATENCI´ON

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