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CAMPO ELÉCTRICO
TEMA 5
5.1 Carga eléctrica
5.1 Carga eléctrica. Propiedades

a. Cuantificación de la carga: La carga eléctrica
   no puede tomar cualquier valor, sino múltiplos
   enteros de la carga del electrón.




               1′ 6 · 10;19 ������ ⟶ 1 ������
                      1 ������ ⟶ ������


              1 ������ = 6′ 25 · 1018 ������
5.1 Carga eléctrica. Propiedades

b. Principio de conservación de la carga:
   En un sistema aislado la carga neta se
   mantiene, no varía, simplemente se transfiere
   de un cuerpo a otro.
5.1 Carga eléctrica. Propiedades

c. Las cargas eléctricas tienen distinta
   movilidad dependiendo del material en el
   que se encuentren.

  En función de esta movilidad podemos
  clasificar el material:
     Aislantes o Dieléctricos: movilidad baja.
     Semiconductores: movilidad media.
     Conductores: movilidad alta.
5.2 Ley de Coulomb
          Charles-Augustin de Coulomb
          (Angoulême 1736 - París 1806)

          El más grande físico francés en cuyo honor la
          C unidad de carga eléctrica se denomina
          coulomb.

          Fue el primer científico en establecer las
          leyes cuantitativas de la electrostática.

          En 1777 inventó la balanza de torsión para
          medir la fuerza de atracción o repulsión que
          ejercen entre sí dos cargas eléctricas.

          Con este invento pudo establecer el principio,
          que rige la interacción entre las cargas
          eléctricas, conocido como ley de Coulomb.
5.2 Ley de Coulomb
 Es una ley empírica deducida por Coulomb en el
  siglo XVIII

 «La fuerza existente entre dos cargas es
  directamente proporcional al producto de las
  cargas e inversamente proporcional al cuadrado
  de la distancia que las separa»


            ������ · ������′
   ������ = ������ · 2 ������������ ;             ������ = ������
              ������
5.2 Ley de Coulomb
 La fuerza con la que q actúa sobre q’ tiene la
  dirección de la recta que las une.

 El sentido indicará si la fuerza es:
   Atractiva (fuerza negativa): signos contrarios
   Repulsiva (fuerza positiva): signos iguales.

 Por el Principio de Acción – Reacción              la fuerza
  aplicada sobre q actúa sobre q’.
5.2 Ley de Coulomb
 La constante de proporcionalidad depende del
  medio en el que se encuentren las cargas.
                                                            2
 En el vacío o en el aire:         ������ = 9 ·    10 9 ������·������
                                                       ������ 2

            1                    ������ = constante dieléctrica o
      ������ =
           4������������                        permitividad del medio


                      ������ = ������������ · ������0

                                                                       ������������
������������ = Permitividad                     ������������ = ������′ ������������ · ������������;������������
                                                                      ������������������
relativa del medio
                                   Permitividad en el vacío/aire
Fuerza eléctrica y gravitatoria: protón y electrón


                   ������ = 0,02 ������������
          ������������ = ������������ = ������ = 1′ 6 · 10;19 ������
              ������������ = 9′ 1 · 10;31 ������������
             ������������ = 1′ 67 · 10;27 ������������
Fuerza eléctrica y gravitatoria: protón y electrón
                      ������������ · ������������                   ������������ · ������������
          ������������ = ������ ·        2
                                  ������������   ������ = −������ ·
                                          ������               2
                                                                ������������
                          ������                            ������

               ������ · ������2 1′ 6 · 10;19 ������ 2
������������ = 9 · 109      2
                       ·        ;11 ������ 2
                                          ������������
                 ������      2 · 10

                    ������ · ������2 9′ 1 · 10;31 ������������ · 1′ 67 · 10;27 ������������
������ = −6′ 67 · 10;11
 ������                       2
                            ·                   ;11 ������ 2
                                                                    ������������
                     ������������               2 · 10


  ������������ = 5′ 76 · 10;7 ������������ ������              ������ = 2′ 53 · 10;46 ������������ ������
                                            ������
5.2 Ley de Coulomb
       Principio de Superposición
 La fuerza que actúa sobre una carga q es
  independiente de la existencia de más fuerzas.

 Podemos calcular la fuerza total que ejercen
  varias cargas sobre otra a través del cálculo
  vectorial.
Dado el sistema de la figura,
calcula la ������������ sobre ������3 .
   - ������1 = 1′ 5 ������������
   - ������2 = −0′ 5 ������������
   - ������3 = 0′ 2 ������������
Aplicamos el principio de
                                     superposición:
                                                          ������

                                                ������������ =          ������������
                                                         ������<1

                                               ������������ = ������1 + ������2

          ������1 · ������3           ������������2 1′ 5 · 10;3 ������ · 2 · 10;4 ������
������1 = ������ · 2        = 9 · 109     2
                                    ·          ′ 2 ������ 2
                                                                 = 1875 N
            ������1;3              ������            1

          ������2 · ������3          ������������2 0′ 5 · 10;3 ������ · 2 · 10;4 ������
������2 = ������ · 2        = 9 · 109 2 ·                               = 3′ 6 · 103 ������
            ������2;3             ������            0′5 ������ 2
¡¡¡Ojo!!!, porque no estamos
                     teniendo en cuenta los signos
                     de las cargas en los cálculos
                     matemáticos, ya que ya lo
                     hemos hecho en el dibujo.


������1 = 1875 ������ N
                   ������������ = ������������������������ ������ + ������������������������ ������ ������
������2 = 3600 ������ ������
5.3 Campo eléctrico creado
por una carga puntual
5.3 Campo eléctrico creado por
una carga puntual

 Alrededor de una carga se crea siempre un campo
  eléctrico.

 Las fuerzas resultantes pueden ser de atracción o
  de repulsión.

 El campo eléctrico es un campo vectorial.

 Una carga eléctrica perturba el espacio que le
  rodea y altera las propiedades de otra carga que
  esté en sus proximidades.
5.3 Campo eléctrico creado por
una carga puntual
       Intensidad de Campo Eléctrico ������
   Fuerza ejercida sobre la unidad de carga situada
    en el punto donde se quiere calcular la intensidad.

             ������                             ������
        ������ =                        ������ = ������ 2 · ������������
             ������′                           ������
    ������ → Carga que crea el campo eléctrico.
    d → Distancia al punto.
    ������′ → Carga testigo (la que siente el campo).

                       ������ = ������ ′ · ������
5.3 Campo eléctrico creado por
una carga puntual
 Las fuerzas del campo eléctrico son Fuerzas Centrales,
  es decir, siempre se dirigen a la carga que crea el
  campo o salen de ella.
 Se dice que el campo eléctrico es Uniforme cuando sus
  vectores de campo tienen el mismo módulo, dirección y
  sentido.
 A estos vectores se les llama Vectores Equipolentes.
  Aparecen, por ejemplo, entre las capas de un
  condensador.
5.3 Campo eléctrico creado por
una carga puntual
           Líneas de Campo Eléctrico
 Para el caso de una carga puntual, las líneas de
  campo son radiales, pero pueden tener dos sentidos,
  dependiendo del signo de la carga:

   Positivo (= Fuente)       Negativo (= Sumidero)
5.4 Distribuciones
discretas de carga
5.4 Distribuciones discretas
de carga
        Principio de Superposición
 El campo total que aparece se calcula como la
  suma vectorial de los campos creados por cada una
  de las cargas suponiendo que las demás no existen.



                                        ������������
                               ������������ = ������ 2 · ������������
                                        ������������
¿Qué intensidad de campo originan las cargas ������1 = 2 ������������ y
������2 = −4 ������������ situadas respectivamente en los puntos 1, 0, 0
y −1, 1, 0 en el punto P 0, 0, 0 ?
Tenemos que aplicar el principio de superposición:
                    ������
                                                          ������������
         ������ ������ =          ������������   donde:          ������������ = ������ 2 · ������������
                                                          ������������
                   ������<1


La intensidad de campo generada por la primera carga es
sencilla de hallar, ya que sólo va a tener una componente:


          ������1                         ������·������2        2 · 10;6 ������
������1 = ������ · 2 −������ = −9 · 109               ������ 2
                                                  ·             ������ = −1′ 8 · 104 ������ ������
                                                                                    ������
          ������1                                          1 ������2
La intensidad de campo generada por la segunda carga es más
compleja de hallar. Primero calcularemos su módulo y después
el valor de cada componente:

              ������2              ������·������2     4 · 10;6 ������
    ������2 = ������ · 2 = 9 · 109      ������ 2
                                        ·             = 1′ 8 · 104 ������
                                                                   ������
              ������2                            2 ������2

       ������2 = (−1′ 8 · 104 · cos ������ ������ + 1′ 8 · 104 · sin ������ ������)������
                                4                        4     ������



             ������2 = (−1′ 27 · 104 ������ + 1′ 27 · 104 ������)������
                                                     ������
Por último, y como ya hemos explicado, aplicamos el principio
de superposición y realizamos la suma por componentes de las
intensidades de campo generadas por ambas cargas:

                          ������������ = ������1 + ������2

������1 = −1′ 8 · 104 ������ ������
                     ������     ������2 = (−1′ 27 · 104 ������ + 1′ 27 · 104 ������)������
                                                                    ������



                                                             ������
       ������������ = −������′ ������������ · ������������������ ������ + ������′ ������������ · ������������������ ������   ������
5.5 Energía Potencial Eléctrica
5.5 Energía Potencial Eléctrica

  El Campo Eléctrico es un campo de
   Fuerzas Centrales.

  Esto implica que va a ser un campo de
   Fuerzas Conservativas.

  El trabajo que realiza la fuerza para ir
   desde A hasta B es independiente de la
   trayectoria seguida.
5.5 Energía Potencial Eléctrica

   Podemos definir una energía potencial:
   «Es la energía que tiene una carga por estar en
   una determinada posición dentro del campo»

          ������������������ = −∆������������������������ = − ������������������ − ������������������ = ������������������ -������������������


∆������������������������ = ������������������ − ������������������


  ������������������ = ������������������ −������������������
5.5 Energía Potencial Eléctrica
 Una carga siempre se mueve de modo que disminuya
  su energía potencial.
 En el infinito, la energía potencial la consideramos cero:
                                    0
                    ������∞������   = ������������∞ − ������������������

                      ������∞������ = −������������������

  «La Energía Potencial en un punto es igual al trabajo
    que hay que realizar para llevar una carga desde
               dicho punto hasta el ∞ »
5.5 Energía Potencial Eléctrica
                          ������                     ������             1
������������������ = −������∞������ = −            ������ · ������������ = −          ������ · cos 0 · ������������ =
                          ∞                     ∞

           ������                              ������
                  ������ · ������′                      ������������ ������������������′ ������
 =−             ������ 2 ������������ = −������������������′               2
                                                     =          =
          ∞         ������                   ∞      ������     ������ ∞


               ������ · ������′
 ������������������   = ������
                 ������������
5.6 Potencial Eléctrico.
Superficies Equipotenciales
5.6 Potencial Eléctrico
 El Campo Eléctrico es un campo vectorial.
 Podemos definir una magnitud escalar asociada a cada
  punto que sólo dependa de la posición.
 Esta magnitud es conocida como Potencial Eléctrico V (x, y).
  «Energía potencial que posee la unidad de carga positiva
              situada en un punto del campo»

           ������������                          ������
        V=                           V=K
           ������′                           ������
Calcula el potencial eléctrico creado en A por las cargas
������1 = −3 ������������ y ������2 = 4 ������������ en el vacío. Ten en cuenta que la
distancia de ������1 hasta A es ������1 = 1 ������ y de ������2 hasta A es
������2 = 2 ������.
Como el potencial eléctrico es un escalar, podemos calcular el
potencial generado por cada carga de forma individual y sumarlos
para calcular el valor total:



                           −3 · 10;6 ������
       ������������ −3 ������������ = ������ ·              = −������ · 3 · 10;6 ������
                               1 ������


                             4 · 10;6 ������
          ������������ 4 ������������ = ������ ·             = ������ · 2 · 10;6 ������
                                 2 ������
Sumamos para calcular el valor total del potencial eléctrico en A:



                   ������������ = ������������ −3 ������������ + ������������ 4 ������������


     ������������ = −������ · 3 · 10;6 ������ + ������ · 2 · 10;6 ������ = −������ · 10;6 ������


                      ������������ = −������ · ������������;������ ������
5.6 Potencial Eléctrico
    «Una carga positiva siempre tiende a moverse hacia
potenciales decrecientes. (Al contrario, tendríamos que hacer
                 trabajo contra el campo)»


       ������������ = ������ ′ · ������              ������������������ = −∆������������




                                 ′
                  ������������������ = −������ · ∆������
������������ =   ������ ′   · ������   ⟹   ∆������������ = ������′ · ∆������
                                               ������′ · ∆������ = −1������������ 2
                                                            2
Conservación de E          ∆������������ = −∆������������


                                   ������������′∆������
                           ������ =
                                      ������
5.6 Potencial Eléctrico
           Superficies Equipotenciales
 Es el lugar geométrico de los puntos que poseen el
  mismo potencial eléctrico.
 Siempre se cumple que el vector intensidad de campo
  es perpendicular a las superficies equipotenciales.




«Para cualquier desplazamiento dentro de la misma superficie
equipotencial el trabajo realizado es nulo. Sólo si pasamos de
    una superficie equipotencial a otra se realiza trabajo»
5.7 Relación entre el Campo
y el Potencial Eléctrico (1D)
5.7 Relación entre el Campo
  y el Potencial Eléctrico (1D)
                                 ������                ������ · ������������
    ������ =   −������′   · ∆������ ⇒ ∆������ = − ′ = −
                                 ������                   ������′
                     ������ · ������ · ������′
       ∆V = −            2 · ������ ′
                                   ������������ = −   ������ · ������������
                      ������
                                      ������������
             dV = −������ · ������������ ⇒ ������ = −
                                      ������������

                                         ������������
Para una sola variable:           ������ = −      ������������
                                         ������������
Calcula el valor del campo eléctrico en función de la
posición, ������ ������ , para un potencial ������ ������ = 5������ 2 − 3.
Calcula el valor del campo eléctrico en función de la
posición, ������ ������ , para un potencial ������ ������ = 5������ 2 − 3.



           ������������    ������ 5������ 2 − 3    ������ 5������ 2   ������ 3
 ������ ������ = −      =−              =−          +
           ������������         ������������          ������������     ������������


                 ������ ������ = −10������ ������
                               ������
Calcula la diferencia de potencial existente en el interior de
un condensador, cuyas placas están separadas una distancia
������ = 2 ������������ y que genera un campo eléctrico ������ = 10 ������.
                                                    ������
Calcula la diferencia de potencial existente en el interior de
un condensador, cuyas placas están separadas una distancia
������ = 2 ������������ y que genera un campo eléctrico ������ = 10 ������.
                                                    ������


                           ������������ = −������ · ������������
                      ������1                 ������1
                            ������������ = −������          ������������
                     ������0                 ������0


                        ������1            ������1
                     ������     = −������ · ������ ������
                        ������0              0
Calcula la diferencia de potencial existente en el interior de
un condensador, cuyas placas están separadas una distancia
������ = 2 ������������ y que genera un campo eléctrico ������ = 10 ������.
                                                    ������


                 ������1 − ������0 = −������ · ������1 − ������0



                   ∆������ = −10 ������ · 0′ 02������
                             ������


                      ∆������ = −0′ 2 ������
5.8 Distribuciones
continuas de carga
5.8 Distribuciones continuas

A nivel microscópico la carga está cuantizada,
 está formada por partículas elementales de
 carga.

A nivel macroscópico, están tan juntas las
 partículas que se puede considerar que están
 distribuidas de forma continua.

Podemos definir tres tipos de distribuciones de
 carga.
5.8 Distribuciones continuas
a. Distribución volumétrica:

                              ������      ������
                          ������ = ; ������ = 3
                              ������     ������
b. Distribución superficial:
                              ������      ������
                          ������ = ; ������ = 2
                              ������     ������
c. Distribución lineal:
                              ������      ������
                          ������ = ; ������ =
                              ������      ������
5.9 Flujo de Campo Eléctrico.
    Teorema de Gauss



                 Johann Carl Friedrich Gauss
                 (Brunswick 1777 – Göttingen 1855)
5.9 Flujo de Campo Eléctrico
 El flujo de campo eléctrico a través de una superficie
  se define como el nº de líneas de fuerza que
  atraviesan dicha superficie.

                                                      ������·������2
                             ������ = ������ · ������;    ������ =
                                                         ������




                                  ������ = ������ · ������ · cos ������
5.9 Flujo de Campo Eléctrico

                       Φ = ������ · ������ · cos ������

 1. Si ������ ∥ ������      ������ = 0 ⇒ cos 0 = 1
                                ������������á������������������������ = ������ · ������

                           ������            ������
 2. Si ������ ⊥ ������      ������ =        ⇒ cos = 1
                           2             2
                                 ����������������������������������� = 0


 Si ������ ≠ ������ ������������               ������ =      ������ · ������������
5.9 Teorema de Gauss
    «El flujo del campo eléctrico a través de una superficie
  cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de
               dicha superficie dividido entre ������0 »

                                     1                                   ������������
������ =          ������ · ������������ =        ������ cos ������ ������������ =        ������������������ =           2
                                                                              ������������ =
         ������                 ������                      ������              ������   ������
           1 ������               1 ������
=                  2
                     ������������ =                     ������������ =
    ������   4������������0 ������          4������������0 ������ 2    ������

    1 ������             ������4������������ 2      ������
=           2
              · ������ =           2
                                 =
  4������������0 ������          4������������0 ������     ������0
5.9 Teorema de Gauss
5.10 Teorema de Gauss.
     Aplicaciones
5.10 Teorema de Gauss. Aplicaciones
 El teorema no sirve sólo para calcular el flujo de campo
  eléctrico, sino que nos va a servir para calcular la
  intensidad de campo eléctrico ������ en distribuciones
  continuas de carga suficientemente simétricas:

  a. Esfera hueca cargada.

  b. Hilo rectilíneo, infinito y uniformemente cargado.

  c. Lámina infinita, plana y uniformemente cargada.
a. Esfera hueca cargada
1. Fuera de la esfera ������ > ������

                        ������ = ������ · ������ = ������ · ������ · cos ������ = ������ · ������

                                                 ������
                         Ley de Gauss: ������ =
                                                ������0


                             ������                             ������
                        E·S=                          E=          ;
                             ������0                         ������ · ������0
 Actúa como si toda la carga                 ������
 estuviera concentrada en el           E=
     centro de la esfera                  4������������0 ������ 2
a. Esfera hueca cargada
2. Dentro de la esfera ������ < ������

                        ������ = ������ · ������ = ������ · ������ · cos ������ = ������ · ������

                                                 ������
                         Ley de Gauss: ������ =
                                                ������0

                             ������              ������������ ������������ ������������������������������������������������:
                        E·S=
                             ������0                  ������ = 0

        No existe ningún
        campo en el interior         E=0
a. Esfera hueca cargada
 Si representamos la función del campo generado por la
  esfera observamos que viene definido por una función a
  trozos:


                                           ������
                              ������������ = ������
                                          ������2
                       ������������
������ = 0 ∀ ������ < ������
                                                    1
        ������                                         ������ 2
������ = ������ 2 ∀ ������ > ������
       ������
b. Hilo rectilíneo, infinito y
        uniformemente cargado
                   ������������������������������������������������������ = ������������������������������������ + ������������������������������������������������

������������ = 2 · ������ · ������������ + ������ · ������������ = 2 · ������ · ������������ · cos 90 + ������ · ������������ · cos 0


          ������������ = ������ · ������������
                                    ������
  Ley de Gauss: ������ =
                                   ������0


Igualando ambas ecuaciones
b. Hilo rectilíneo, infinito y
     uniformemente cargado
            ������
������ · ������������ =                         ������ · ������
            ������0   ������ · 2������������ · ������ =
                                      ������0
 ������ = ������ · ������                         ������




                                              1
                                              ������
                                                   ������
c. Lámina plana, infinita y
         uniformemente cargada
         ������������ = ������������ + ������������
������������ = 2������������������ cos 0 + ������������������ cos 90

       ������������ = 2������������������
                            ������
Ley de Gauss: ������ =
                           ������0




  Igualando ambas ecuaciones
c. Lámina plana, infinita y
    uniformemente cargada
          ������                    ������ · ������������
2������������������ =
          ������0       2������������������ =
                                  ������0
������ = ������ · ������������
                        ������
                 ������ =
                      ������������������
Condensador (Plano ideal)
 Sistema formado por dos placas metálicas cargadas paralelas
  con la misma densidad de carga pero de signo contrario.




                                         En el interior del
                                         condensador, el
                                      campo es la suma de
                                        la contribución de
                                          ambos planos.
Condensador (Plano ideal)

                 ������������ = ������: + ������;


                         ������   ������
                 ������������ =     +
                        2������0 2������0

                           ������
                   ������������ =
                          ������������
5.11 Analogías y Diferencias
C. Gravitatorio – C. Eléctrico
5.11 Analogías
1. Ambos son campos de fuerzas
   centrales.

2. Ambos campos son conservativos.

3. En ambos campos vectoriales se
   aplica el principio de superposición.

4. En ambos campos podemos definir
   un potencial.
5.11 Analogías
               ������ · ������′                     ������ · ������′
    ������������ = ������ · ������ ������������        ������������ = −������ ·      ������
                                                     ������������
                 ������                           ������
        ������    ������                     ������      ������
    ������ = = ������ ������ · ������������        ������ =     = −������ ������ · ������������
        ������′  ������                     ������′      ������
                 ������                          ������

       ������������ =           ������������       ������������ =           ������������
                ������<������                       ������<������
C
O               ������ · ������′                   ������ · ������′
N     ������������ = ������                 ������������ = −������
S                  ������                         ������
E
R          ������������        ������             ������������      ������
V     ������ =      = ������             ������ =      = ������
A           ������′        ������             ������′       ������
T
I
V     ������ = −������′ · ∆������              ������ = −������′ · ∆������
O
5.11 Diferencias
1. La constante de Coulomb (K) depende del medio y su
   valor es elevado (~109). La constante de gravitación (G)
   es constante y su valor es muy pequeño (~10-11).

2. Las fuerzas eléctricas pueden ser de atracción o
   repulsión. Las fuerzas gravitatorias son siempre de
   atracción.

3. El vector (������) puede dirigirse a la carga (negativa) o salir
   de ella (positiva), mientras (������ ) siempre está dirigido
   hacia la masa.

4. El potencial eléctrico puede ser positivo o negativo
   según el signo de las cargas. El potencial gravitatorio
   siempre es negativo.

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5. Campo eléctrico

  • 3. 5.1 Carga eléctrica. Propiedades a. Cuantificación de la carga: La carga eléctrica no puede tomar cualquier valor, sino múltiplos enteros de la carga del electrón. 1′ 6 · 10;19 ������ ⟶ 1 ������ 1 ������ ⟶ ������ 1 ������ = 6′ 25 · 1018 ������
  • 4. 5.1 Carga eléctrica. Propiedades b. Principio de conservación de la carga: En un sistema aislado la carga neta se mantiene, no varía, simplemente se transfiere de un cuerpo a otro.
  • 5. 5.1 Carga eléctrica. Propiedades c. Las cargas eléctricas tienen distinta movilidad dependiendo del material en el que se encuentren. En función de esta movilidad podemos clasificar el material:  Aislantes o Dieléctricos: movilidad baja.  Semiconductores: movilidad media.  Conductores: movilidad alta.
  • 6. 5.2 Ley de Coulomb Charles-Augustin de Coulomb (Angoulême 1736 - París 1806) El más grande físico francés en cuyo honor la C unidad de carga eléctrica se denomina coulomb. Fue el primer científico en establecer las leyes cuantitativas de la electrostática. En 1777 inventó la balanza de torsión para medir la fuerza de atracción o repulsión que ejercen entre sí dos cargas eléctricas. Con este invento pudo establecer el principio, que rige la interacción entre las cargas eléctricas, conocido como ley de Coulomb.
  • 7. 5.2 Ley de Coulomb  Es una ley empírica deducida por Coulomb en el siglo XVIII  «La fuerza existente entre dos cargas es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa» ������ · ������′ ������ = ������ · 2 ������������ ; ������ = ������ ������
  • 8. 5.2 Ley de Coulomb  La fuerza con la que q actúa sobre q’ tiene la dirección de la recta que las une.  El sentido indicará si la fuerza es:  Atractiva (fuerza negativa): signos contrarios  Repulsiva (fuerza positiva): signos iguales.  Por el Principio de Acción – Reacción la fuerza aplicada sobre q actúa sobre q’.
  • 9. 5.2 Ley de Coulomb  La constante de proporcionalidad depende del medio en el que se encuentren las cargas. 2  En el vacío o en el aire: ������ = 9 · 10 9 ������·������ ������ 2 1 ������ = constante dieléctrica o ������ = 4������������ permitividad del medio ������ = ������������ · ������0 ������������ ������������ = Permitividad ������������ = ������′ ������������ · ������������;������������ ������������������ relativa del medio Permitividad en el vacío/aire
  • 10. Fuerza eléctrica y gravitatoria: protón y electrón ������ = 0,02 ������������ ������������ = ������������ = ������ = 1′ 6 · 10;19 ������ ������������ = 9′ 1 · 10;31 ������������ ������������ = 1′ 67 · 10;27 ������������
  • 11. Fuerza eléctrica y gravitatoria: protón y electrón ������������ · ������������ ������������ · ������������ ������������ = ������ · 2 ������������ ������ = −������ · ������ 2 ������������ ������ ������ ������ · ������2 1′ 6 · 10;19 ������ 2 ������������ = 9 · 109 2 · ;11 ������ 2 ������������ ������ 2 · 10 ������ · ������2 9′ 1 · 10;31 ������������ · 1′ 67 · 10;27 ������������ ������ = −6′ 67 · 10;11 ������ 2 · ;11 ������ 2 ������������ ������������ 2 · 10 ������������ = 5′ 76 · 10;7 ������������ ������ ������ = 2′ 53 · 10;46 ������������ ������ ������
  • 12. 5.2 Ley de Coulomb Principio de Superposición  La fuerza que actúa sobre una carga q es independiente de la existencia de más fuerzas.  Podemos calcular la fuerza total que ejercen varias cargas sobre otra a través del cálculo vectorial.
  • 13. Dado el sistema de la figura, calcula la ������������ sobre ������3 . - ������1 = 1′ 5 ������������ - ������2 = −0′ 5 ������������ - ������3 = 0′ 2 ������������
  • 14. Aplicamos el principio de superposición: ������ ������������ = ������������ ������<1 ������������ = ������1 + ������2 ������1 · ������3 ������������2 1′ 5 · 10;3 ������ · 2 · 10;4 ������ ������1 = ������ · 2 = 9 · 109 2 · ′ 2 ������ 2 = 1875 N ������1;3 ������ 1 ������2 · ������3 ������������2 0′ 5 · 10;3 ������ · 2 · 10;4 ������ ������2 = ������ · 2 = 9 · 109 2 · = 3′ 6 · 103 ������ ������2;3 ������ 0′5 ������ 2
  • 15. ¡¡¡Ojo!!!, porque no estamos teniendo en cuenta los signos de las cargas en los cálculos matemáticos, ya que ya lo hemos hecho en el dibujo. ������1 = 1875 ������ N ������������ = ������������������������ ������ + ������������������������ ������ ������ ������2 = 3600 ������ ������
  • 16. 5.3 Campo eléctrico creado por una carga puntual
  • 17. 5.3 Campo eléctrico creado por una carga puntual  Alrededor de una carga se crea siempre un campo eléctrico.  Las fuerzas resultantes pueden ser de atracción o de repulsión.  El campo eléctrico es un campo vectorial.  Una carga eléctrica perturba el espacio que le rodea y altera las propiedades de otra carga que esté en sus proximidades.
  • 18. 5.3 Campo eléctrico creado por una carga puntual Intensidad de Campo Eléctrico ������  Fuerza ejercida sobre la unidad de carga situada en el punto donde se quiere calcular la intensidad. ������ ������ ������ = ������ = ������ 2 · ������������ ������′ ������  ������ → Carga que crea el campo eléctrico.  d → Distancia al punto.  ������′ → Carga testigo (la que siente el campo). ������ = ������ ′ · ������
  • 19. 5.3 Campo eléctrico creado por una carga puntual  Las fuerzas del campo eléctrico son Fuerzas Centrales, es decir, siempre se dirigen a la carga que crea el campo o salen de ella.  Se dice que el campo eléctrico es Uniforme cuando sus vectores de campo tienen el mismo módulo, dirección y sentido.  A estos vectores se les llama Vectores Equipolentes. Aparecen, por ejemplo, entre las capas de un condensador.
  • 20. 5.3 Campo eléctrico creado por una carga puntual Líneas de Campo Eléctrico  Para el caso de una carga puntual, las líneas de campo son radiales, pero pueden tener dos sentidos, dependiendo del signo de la carga:  Positivo (= Fuente)  Negativo (= Sumidero)
  • 22. 5.4 Distribuciones discretas de carga Principio de Superposición  El campo total que aparece se calcula como la suma vectorial de los campos creados por cada una de las cargas suponiendo que las demás no existen. ������������ ������������ = ������ 2 · ������������ ������������
  • 23. ¿Qué intensidad de campo originan las cargas ������1 = 2 ������������ y ������2 = −4 ������������ situadas respectivamente en los puntos 1, 0, 0 y −1, 1, 0 en el punto P 0, 0, 0 ?
  • 24. Tenemos que aplicar el principio de superposición: ������ ������������ ������ ������ = ������������ donde: ������������ = ������ 2 · ������������ ������������ ������<1 La intensidad de campo generada por la primera carga es sencilla de hallar, ya que sólo va a tener una componente: ������1 ������·������2 2 · 10;6 ������ ������1 = ������ · 2 −������ = −9 · 109 ������ 2 · ������ = −1′ 8 · 104 ������ ������ ������ ������1 1 ������2
  • 25. La intensidad de campo generada por la segunda carga es más compleja de hallar. Primero calcularemos su módulo y después el valor de cada componente: ������2 ������·������2 4 · 10;6 ������ ������2 = ������ · 2 = 9 · 109 ������ 2 · = 1′ 8 · 104 ������ ������ ������2 2 ������2 ������2 = (−1′ 8 · 104 · cos ������ ������ + 1′ 8 · 104 · sin ������ ������)������ 4 4 ������ ������2 = (−1′ 27 · 104 ������ + 1′ 27 · 104 ������)������ ������
  • 26. Por último, y como ya hemos explicado, aplicamos el principio de superposición y realizamos la suma por componentes de las intensidades de campo generadas por ambas cargas: ������������ = ������1 + ������2 ������1 = −1′ 8 · 104 ������ ������ ������ ������2 = (−1′ 27 · 104 ������ + 1′ 27 · 104 ������)������ ������ ������ ������������ = −������′ ������������ · ������������������ ������ + ������′ ������������ · ������������������ ������ ������
  • 28. 5.5 Energía Potencial Eléctrica El Campo Eléctrico es un campo de Fuerzas Centrales. Esto implica que va a ser un campo de Fuerzas Conservativas. El trabajo que realiza la fuerza para ir desde A hasta B es independiente de la trayectoria seguida.
  • 29. 5.5 Energía Potencial Eléctrica Podemos definir una energía potencial: «Es la energía que tiene una carga por estar en una determinada posición dentro del campo» ������������������ = −∆������������������������ = − ������������������ − ������������������ = ������������������ -������������������ ∆������������������������ = ������������������ − ������������������ ������������������ = ������������������ −������������������
  • 30. 5.5 Energía Potencial Eléctrica  Una carga siempre se mueve de modo que disminuya su energía potencial.  En el infinito, la energía potencial la consideramos cero: 0 ������∞������ = ������������∞ − ������������������ ������∞������ = −������������������ «La Energía Potencial en un punto es igual al trabajo que hay que realizar para llevar una carga desde dicho punto hasta el ∞ »
  • 31. 5.5 Energía Potencial Eléctrica ������ ������ 1 ������������������ = −������∞������ = − ������ · ������������ = − ������ · cos 0 · ������������ = ∞ ∞ ������ ������ ������ · ������′ ������������ ������������������′ ������ =− ������ 2 ������������ = −������������������′ 2 = = ∞ ������ ∞ ������ ������ ∞ ������ · ������′ ������������������ = ������ ������������
  • 33. 5.6 Potencial Eléctrico  El Campo Eléctrico es un campo vectorial.  Podemos definir una magnitud escalar asociada a cada punto que sólo dependa de la posición.  Esta magnitud es conocida como Potencial Eléctrico V (x, y). «Energía potencial que posee la unidad de carga positiva situada en un punto del campo» ������������ ������ V= V=K ������′ ������
  • 34. Calcula el potencial eléctrico creado en A por las cargas ������1 = −3 ������������ y ������2 = 4 ������������ en el vacío. Ten en cuenta que la distancia de ������1 hasta A es ������1 = 1 ������ y de ������2 hasta A es ������2 = 2 ������.
  • 35. Como el potencial eléctrico es un escalar, podemos calcular el potencial generado por cada carga de forma individual y sumarlos para calcular el valor total: −3 · 10;6 ������ ������������ −3 ������������ = ������ · = −������ · 3 · 10;6 ������ 1 ������ 4 · 10;6 ������ ������������ 4 ������������ = ������ · = ������ · 2 · 10;6 ������ 2 ������
  • 36. Sumamos para calcular el valor total del potencial eléctrico en A: ������������ = ������������ −3 ������������ + ������������ 4 ������������ ������������ = −������ · 3 · 10;6 ������ + ������ · 2 · 10;6 ������ = −������ · 10;6 ������ ������������ = −������ · ������������;������ ������
  • 37. 5.6 Potencial Eléctrico «Una carga positiva siempre tiende a moverse hacia potenciales decrecientes. (Al contrario, tendríamos que hacer trabajo contra el campo)» ������������ = ������ ′ · ������ ������������������ = −∆������������ ′ ������������������ = −������ · ∆������
  • 38. ������������ = ������ ′ · ������ ⟹ ∆������������ = ������′ · ∆������ ������′ · ∆������ = −1������������ 2 2 Conservación de E ∆������������ = −∆������������ ������������′∆������ ������ = ������
  • 39. 5.6 Potencial Eléctrico Superficies Equipotenciales  Es el lugar geométrico de los puntos que poseen el mismo potencial eléctrico.  Siempre se cumple que el vector intensidad de campo es perpendicular a las superficies equipotenciales. «Para cualquier desplazamiento dentro de la misma superficie equipotencial el trabajo realizado es nulo. Sólo si pasamos de una superficie equipotencial a otra se realiza trabajo»
  • 40. 5.7 Relación entre el Campo y el Potencial Eléctrico (1D)
  • 41. 5.7 Relación entre el Campo y el Potencial Eléctrico (1D) ������ ������ · ������������ ������ = −������′ · ∆������ ⇒ ∆������ = − ′ = − ������ ������′ ������ · ������ · ������′ ∆V = − 2 · ������ ′ ������������ = − ������ · ������������ ������ ������������ dV = −������ · ������������ ⇒ ������ = − ������������ ������������ Para una sola variable: ������ = − ������������ ������������
  • 42. Calcula el valor del campo eléctrico en función de la posición, ������ ������ , para un potencial ������ ������ = 5������ 2 − 3.
  • 43. Calcula el valor del campo eléctrico en función de la posición, ������ ������ , para un potencial ������ ������ = 5������ 2 − 3. ������������ ������ 5������ 2 − 3 ������ 5������ 2 ������ 3 ������ ������ = − =− =− + ������������ ������������ ������������ ������������ ������ ������ = −10������ ������ ������
  • 44. Calcula la diferencia de potencial existente en el interior de un condensador, cuyas placas están separadas una distancia ������ = 2 ������������ y que genera un campo eléctrico ������ = 10 ������. ������
  • 45. Calcula la diferencia de potencial existente en el interior de un condensador, cuyas placas están separadas una distancia ������ = 2 ������������ y que genera un campo eléctrico ������ = 10 ������. ������ ������������ = −������ · ������������ ������1 ������1 ������������ = −������ ������������ ������0 ������0 ������1 ������1 ������ = −������ · ������ ������ ������0 0
  • 46. Calcula la diferencia de potencial existente en el interior de un condensador, cuyas placas están separadas una distancia ������ = 2 ������������ y que genera un campo eléctrico ������ = 10 ������. ������ ������1 − ������0 = −������ · ������1 − ������0 ∆������ = −10 ������ · 0′ 02������ ������ ∆������ = −0′ 2 ������
  • 48. 5.8 Distribuciones continuas A nivel microscópico la carga está cuantizada, está formada por partículas elementales de carga. A nivel macroscópico, están tan juntas las partículas que se puede considerar que están distribuidas de forma continua. Podemos definir tres tipos de distribuciones de carga.
  • 49. 5.8 Distribuciones continuas a. Distribución volumétrica: ������ ������ ������ = ; ������ = 3 ������ ������ b. Distribución superficial: ������ ������ ������ = ; ������ = 2 ������ ������ c. Distribución lineal: ������ ������ ������ = ; ������ = ������ ������
  • 50. 5.9 Flujo de Campo Eléctrico. Teorema de Gauss Johann Carl Friedrich Gauss (Brunswick 1777 – Göttingen 1855)
  • 51. 5.9 Flujo de Campo Eléctrico  El flujo de campo eléctrico a través de una superficie se define como el nº de líneas de fuerza que atraviesan dicha superficie. ������·������2 ������ = ������ · ������; ������ = ������ ������ = ������ · ������ · cos ������
  • 52. 5.9 Flujo de Campo Eléctrico Φ = ������ · ������ · cos ������ 1. Si ������ ∥ ������ ������ = 0 ⇒ cos 0 = 1 ������������á������������������������ = ������ · ������ ������ ������ 2. Si ������ ⊥ ������ ������ = ⇒ cos = 1 2 2 ������������í������������������������ = 0 Si ������ ≠ ������ ������������ ������ = ������ · ������������
  • 53. 5.9 Teorema de Gauss «El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de dicha superficie dividido entre ������0 » 1 ������������ ������ = ������ · ������������ = ������ cos ������ ������������ = ������������������ = 2 ������������ = ������ ������ ������ ������ ������ 1 ������ 1 ������ = 2 ������������ = ������������ = ������ 4������������0 ������ 4������������0 ������ 2 ������ 1 ������ ������4������������ 2 ������ = 2 · ������ = 2 = 4������������0 ������ 4������������0 ������ ������0
  • 54. 5.9 Teorema de Gauss
  • 55. 5.10 Teorema de Gauss. Aplicaciones
  • 56. 5.10 Teorema de Gauss. Aplicaciones  El teorema no sirve sólo para calcular el flujo de campo eléctrico, sino que nos va a servir para calcular la intensidad de campo eléctrico ������ en distribuciones continuas de carga suficientemente simétricas: a. Esfera hueca cargada. b. Hilo rectilíneo, infinito y uniformemente cargado. c. Lámina infinita, plana y uniformemente cargada.
  • 57. a. Esfera hueca cargada 1. Fuera de la esfera ������ > ������ ������ = ������ · ������ = ������ · ������ · cos ������ = ������ · ������ ������ Ley de Gauss: ������ = ������0 ������ ������ E·S= E= ; ������0 ������ · ������0 Actúa como si toda la carga ������ estuviera concentrada en el E= centro de la esfera 4������������0 ������ 2
  • 58. a. Esfera hueca cargada 2. Dentro de la esfera ������ < ������ ������ = ������ · ������ = ������ · ������ · cos ������ = ������ · ������ ������ Ley de Gauss: ������ = ������0 ������ ������������ ������������ ������������������������������������������������: E·S= ������0 ������ = 0 No existe ningún campo en el interior E=0
  • 59. a. Esfera hueca cargada  Si representamos la función del campo generado por la esfera observamos que viene definido por una función a trozos: ������ ������������ = ������ ������2 ������������ ������ = 0 ∀ ������ < ������ 1 ������ ������ 2 ������ = ������ 2 ∀ ������ > ������ ������
  • 60. b. Hilo rectilíneo, infinito y uniformemente cargado ������������������������������������������������������ = ������������������������������������ + ������������������������������������������������ ������������ = 2 · ������ · ������������ + ������ · ������������ = 2 · ������ · ������������ · cos 90 + ������ · ������������ · cos 0 ������������ = ������ · ������������ ������ Ley de Gauss: ������ = ������0 Igualando ambas ecuaciones
  • 61. b. Hilo rectilíneo, infinito y uniformemente cargado ������ ������ · ������������ = ������ · ������ ������0 ������ · 2������������ · ������ = ������0 ������ = ������ · ������ ������ 1 ������ ������
  • 62. c. Lámina plana, infinita y uniformemente cargada ������������ = ������������ + ������������ ������������ = 2������������������ cos 0 + ������������������ cos 90 ������������ = 2������������������ ������ Ley de Gauss: ������ = ������0 Igualando ambas ecuaciones
  • 63. c. Lámina plana, infinita y uniformemente cargada ������ ������ · ������������ 2������������������ = ������0 2������������������ = ������0 ������ = ������ · ������������ ������ ������ = ������������������
  • 64. Condensador (Plano ideal)  Sistema formado por dos placas metálicas cargadas paralelas con la misma densidad de carga pero de signo contrario. En el interior del condensador, el campo es la suma de la contribución de ambos planos.
  • 65. Condensador (Plano ideal) ������������ = ������: + ������; ������ ������ ������������ = + 2������0 2������0 ������ ������������ = ������������
  • 66. 5.11 Analogías y Diferencias C. Gravitatorio – C. Eléctrico
  • 67. 5.11 Analogías 1. Ambos son campos de fuerzas centrales. 2. Ambos campos son conservativos. 3. En ambos campos vectoriales se aplica el principio de superposición. 4. En ambos campos podemos definir un potencial.
  • 68. 5.11 Analogías ������ · ������′ ������ · ������′ ������������ = ������ · ������ ������������ ������������ = −������ · ������ ������������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ = = ������ ������ · ������������ ������ = = −������ ������ · ������������ ������′ ������ ������′ ������ ������ ������ ������������ = ������������ ������������ = ������������ ������<������ ������<������ C O ������ · ������′ ������ · ������′ N ������������ = ������ ������������ = −������ S ������ ������ E R ������������ ������ ������������ ������ V ������ = = ������ ������ = = ������ A ������′ ������ ������′ ������ T I V ������ = −������′ · ∆������ ������ = −������′ · ∆������ O
  • 69. 5.11 Diferencias 1. La constante de Coulomb (K) depende del medio y su valor es elevado (~109). La constante de gravitación (G) es constante y su valor es muy pequeño (~10-11). 2. Las fuerzas eléctricas pueden ser de atracción o repulsión. Las fuerzas gravitatorias son siempre de atracción. 3. El vector (������) puede dirigirse a la carga (negativa) o salir de ella (positiva), mientras (������ ) siempre está dirigido hacia la masa. 4. El potencial eléctrico puede ser positivo o negativo según el signo de las cargas. El potencial gravitatorio siempre es negativo.