El documento describe el método de análisis de nodos para resolver redes eléctricas. Se define un nodo de referencia y los demás nodos se etiquetan con voltajes desconocidos. Al aplicar la ley de corriente de Kirchhoff en cada nodo, se obtienen ecuaciones que relacionan los voltajes nodales. Estas ecuaciones se resuelven para determinar los voltajes nodales y corrientes en la red. Se presentan ejemplos ilustrativos para aplicar el método.

1. Clase 6b
21-Octubre-2014

2.  Un nodo se define como la unión de una o mas ramas. Si ahora se define un nodo
de cualquier red como una referencia (es decir, un punto potencial cero o tierra),
los nodos restantes de la red tendrán un potencial fijo con respecto a esta
referencia. Por tanto para una red con 푁 nodos, existirán 푁 − 1 nodos con
respecto con potencial fijo respecto del nodo de referencia asignado. Las
ecuaciones que relacionan estos voltajes nodales pueden escribirse al aplicar la ley
de corriente de Kirchhoff sobre cada uno de los (푁 − 1) nodos. Para obtener la
solución completa de una red, estos voltajes nodales se evalúan entonces en la
misma forma en que se calcularon las corrientes de lazo en el análisis de mallas.

3.  El método de análisis de nodos se aplica de la siguiente forma:
1. Determine el numero de nodos dentro de la red.
2. Escoja un nodo de referencia, y etiquete cada nodo restante con un valor de voltaje con
subíndice: V1, V2, etcétera.
3. Aplique la ley de corriente de Kirchhoff sobre cada nodo excepto sobre el de referencia.
Asuma que todas las corrientes desconocidas abandonan el nodo por cada aplicación de la ley
de corriente de Kirchhoff. En otras palabras, para que cada nodo se vea influenciado por la
dirección que una corriente desconocida en otro nodo pudiera haber tenido. Cada nodo se debe
tratar como una entidad distinta e independiente de la aplicación de la ley de corriente de
Kirchhoff a los otros nodos.

4.  El método de análisis de nodos se aplica de la siguiente forma:
4. Resuelva las ecuaciones resultante para los voltajes nodales.

5.  Problema 1
 Aplique el análisis de nodos de la figura siguiente

6.  Solucion
 Paso 1 y 2: La red cuenta con dos nodos, como se muestra en la figura a. El nodo
inferior se define como el nodo de referencia al potencial de tierra (cero volts), y el
otro nodo como 푉1, que es el voltaje del nodo 1 a tierra.
 Paso 3: En la figura b se establece que 퐼1 푒 퐼2 abandonan el nodo, y se aplica la ley
de corriente de Kirchhoff de la siguiente forma:
 퐼 = 퐼1 + 퐼2

9.  Solucion
 La corriente 퐼2 se relaciona con el voltaje nodal 푉1 mediante la ley de
Ohm:
 퐼2 =
푉푅2
푅2
=
푉1
푅2

10.  Solucion
 La corriente 퐼1 también esta determinada por la ley de Ohm de la
siguiente forma:
 퐼1 =
푉푅1
푅1
푐표푛 푉푅1 = 푉1 − 퐸
 Al sustituir en la ecuación de la ley de corriente de Kirchhoff:

11.  Solucion
 퐼 =
푉1−퐸
푅1
+
푉1
푅2
Y reagrupando se tiene
 퐼 =
푉1
푅1
−
퐸
푅1
+
푉1
푅2
= 푉1
1
푅1
+
1
푅2
−
퐸
푅1
표 푏푖푒푛 푉1
1
푅1
+
1
푅2
=
퐸
푅1
+ 퐼

12.  Solucion
Al sustituir valores numéricos, se obtiene:
 푉1
1
6Ω
+
1
12Ω
=
24푉
6Ω
+ 1퐴 = 4퐴 + 1퐴
 푉1
1
4Ω
= 5퐴 ⟹ 푉1 = 20푉

13.  Solucion
Las corrientes 퐼2 푒 퐼2 pueden determinarse entonces
utilizando las ecuaciones anteriores:
 퐼1 =
푉1−퐸
푅1
=
20푉−24푉
6Ω
=
−4푉
6Ω
= −0.667퐴

14.  Solucion
El signo negativo indica simplemente que la corriente 퐼1
tiene una dirección opuesta a la que aparece en la figura B
 퐼2 =
푉1
푅2
=
20푉
12Ω
= 1.667퐴

15.  Problema 2
 Aplique el análisis de nodos de la figura siguiente

16.  Solución
 Pasos 1 y 2: La red cuenta con tres nodos, como se define en la figura a, siendo el
no inferior nuevamente definido como el de referencia (como un potencial de tierra
o de cero volts), y los otros nodos como 푉1 푦 푉2
 Paso 3: Para el nodo 푉1 las corrientes se definen como se muestra en la figura b y
se aplica la ley de corriente de Kirchhoff.

17.  Solución

18.  Solución

19.  Solución
 0 = 퐼1 + 퐼2 + 퐼 푐표푛 퐼1 =
푉1−퐸
푅1
푒 퐼2 =
푉푅2
푅2
=
푉1−푉2
푅2
de manera que:

푉1−퐸
푅1
+
푉1−푉2
푅2
+ 퐼 = 0 ⇒
푉1
푅1
−
퐸
푅1
+
푉1
푅2
−
푉2
푅2
+ 퐼 = 0 ⟹
 푉1
1
8Ω
+
1
4Ω
− 푉2
1
4Ω
= −2퐴 +
64푉
8Ω
= 6퐴

20.  Solución

21.  Solución
 Para le nodo 푉2 las corrientes se definen como se muestra en la
figura C y se aplica la ley de corriente de Kirchhoff:
 퐼 = 퐼2 + 퐼3
 퐼 =
푉2−푉1
푅2
+
푉2
푅3
표 푏푖푒푛 퐼 =
푉2
푅2
−
푉1
푅2
+
푉2
푅3
푦 푉2
1
푅2
+
1
푅3
− 푉1
1
푅2
= 퐼

22.  Solución
 Al sustituir valores
 푉2
1
4Ω
+
1
10Ω
− 푉1
1
4Ω
= 2퐴
 Paso 4: El resultado son dos ecuaciones y dos incógnitas:

23.  Solución
 Al sustituir valores
 푉2
1
4Ω
+
1
10Ω
− 푉1
1
4Ω
= 2퐴
 Paso 4: El resultado son dos ecuaciones y dos incógnitas:

24.  Solución
 푉1
1
8Ω
+
1
4Ω
− 푉2
1
4Ω
= 6퐴
 −푉1
1
4Ω
+ 푉2
1
4Ω
+
1
10Ω
= 2퐴
 Las cuales se convierten en:
 0.375푉1 − 0.25푉2 = 6
 −0.25푉1 + 0.35푉2 = 2

25.  Solución
 푈푡푖푙푖푧푎푛푑표 푑푒푡푒푟푚푖푛푎푛푡푒푠 푉1 = 37.818푉 푒 푉2 = 32.727푉
 Dado que 퐸 es mayor que 푉1, la corriente 퐼1 fluirá desde tierra hasta
푉1 y es igual a:
 퐼푅1 =
퐸−푉1
푅1
=
64푉−37.818푉
8Ω
= 3.273퐴

26.  Solución
 El valor positivo de 푉2 da por resultado una corriente 퐼푅3 desde el nodo 푉2
hasta tierra igual a:
 퐼푅3 =
푉푅3
푅3
=
푉2
푅3
=
32.727푉
10Ω
= 3.273퐴
 Dado que 푉1 es mayor que 푉2, la corriente 퐼푅2 fluirá desde 푉1 hasta 푉2 y es
 퐼푅2 =
푉1−푉2
푅2
=
37.818푉−32.727푉
4Ω
= 1.273퐴

27.  Problema 3
 Determine los voltajes nodales para la red de la siguiente figura

28.  Solución
 Pasos 1 y 2: Como se indica en la figura a

29.  Solución
 Paso 3: Incluido en figura A para el nodo 푉1. Al aplicar la ley de corriente de Kirchhoff
 4퐴 = 퐼1 + 퐼3 푦 4퐴 =
푉1
푅1
+
푉1−푉2
푅3
=
푉1
2Ω
+
푉1−푉2
12Ω
 Ampliando y volviendo agrupar
 푉1
1
2Ω
+
1
12Ω
− 푉2
1
12Ω
= 4Ω

30.  Solución
 Para el nodo 푉2 las corrientes están definidas como en la figura B

31.  Solución
 Al aplicar la ley de corriente de Kirchhoff
 0 = 퐼3 + 퐼2 + 2퐴 푦
푉2−푉1
푅3
+
푉2
푅2
+ 2퐴 = 0 ⟹
푉2−푉1
12Ω
+
푉2
6Ω
+ 2퐴 = 0
 Ampliando y volviendo a agrupar:
 푉2
1
12Ω
+
1
6Ω
− 푉1
1
12Ω
= −2퐴

32.  Solución
 Lo que da por resultado dos ecuaciones y dos incógnitas (numeradas para
referencia posterior):
 푉1
1
2Ω
+
1
12Ω
− 푉2
1
12Ω
= 4Ω
 푉2
1
12Ω
+
1
6Ω
− 푉1
1
12Ω
= −2퐴
 Lo cual genera:

33.  Solución

7
12
푉1 −
1
12
푉2 = +4
−
1
12
푉1 +
3
12
푉2 = −2
7푉1 − 푉2 = 48
−1푉1 + 3푉2 = −24
푦
 푉1 =
48 −1
−24 3
7 −1
−1 3
=
120
20
= +6푉 푉2 =
7 48
−1 −24
7 −1
−1 3
=
−120
20
= −6푉

34.  Solución
 Dado que 푉1 es mayor que 푉2, la corriente a través de 푅3 pasa de
푉1 푎 푉2 . Su valor es:
 퐼푅3 =
푉1−푉2
푅3
=
6푉− −6푉
12Ω
=
12푉
12Ω
= 1퐴
 El que 푉1 sea positivo ocasiona que la corriente 퐼푅1 푑푒푠푑푒 푉1 hasta
tierra sea igual a:

35.  Solución
 퐼푅1 =
푉푅1
푅1
=
푉1
푅1
=
6푉
2Ω
= 3퐴
 Por ultimo, dado que 푉2 es negativo, la corriente 퐼푅2 fluye desde
tierra hasta 푉2 y es igual a:
 퐼푅2 =
푉푅2
푅2
=
푉2
푅2
=
6푉
6Ω
= 1퐴

36.  En ocasiones existirán fuentes independientes de voltaje dentro de
la red a la que se aplique el análisis de nodos. En tales casos es
posible convertir la fuente de voltaje a una fuente de corriente (si se
encuentra presente un resistor en serie) y continuar como antes, o
introducir el concepto de un supernodo y proceder de la siguiente
forma.

37.  Se comienza como antes y se asigna un voltaje nodal a cada nodo
independiente de la red, incluyendo a cada fuente de voltaje
independiente como si esta fuera un resistor o una fuente de
corriente. Luego, mentalmente se reemplazan las fuentes de voltaje
independientes con equivalentes de corto circuito, y se aplica la ley
de corriente de Kirchhoff a los nodos definidos de la red.

38.  Cualquier nodo que incluya el efecto de elementos ligados solo a
otros nodos se denomina supernodo (dado que tiene un numero
adicional de términos). Por ultimo, se relacionan los nodos definidos
con las fuentes de voltaje independientes de la red, y se resuelve
para los voltajes nodales.

39.  Problema 4
 Determine los voltajes nodales 푉1 푦 푉2 de la figura utilizando el
concepto de supernodo.

41.  Solución
 Al reemplazar la fuente de voltaje independiente de 12V con un equivalente de
corto circuito se obtendrá la red de la figura A. Aunque se analizo antes la
aplicación mental del equivalente de corto circuito, podría ser prudente en esta
temprana etapa de desarrollo volver a dibujar la red como se muestra en la figura
B.

42.  Solución

43.  Solución
 El resultado será un solo supernodo para el cual deberá aplicarse la ley de
corriente de Kirchhoff. Es importante asegurarse de dejar los otros nodos definidos
en su lugar y utilizarlos para definir las corrientes provenientes de esa región de
la red. En particular, observe que la corriente 퐼3 dejara el supernodo en 푉1 y
entonces ingresar{a al mismo supernodo en 푉2. Po tanto esta corriente deber{a
aparecer dos veces al aplicar la ley de corriente de Kirchhoff, como se muestra a
continuación:

44.  Solución
 퐼푖 = 퐼표
 6퐴 + 퐼3 = 퐼1 + 퐼2 + 4퐴 + 퐼3 표 푏푖푒푛: 퐼1 + 퐼2 = 6퐴 − 4퐴 = 2퐴
 Entonces

푉1
푅1
+
푉2
푅2
= 2퐴 푦
푉1
4Ω
+
푉2
2Ω
= 2퐴
 Al relacionar los valores los voltajes nodales definidos con la fuente de voltaje
independiente se tiene:

45.  Solución
 푉1 − 푉2 = 퐸 = 12푉
 La cual da por resultado dos ecuaciones y dos incógnitas
 0.25푉1 + 0.5푉2 = 2
푉1 − 1푉2 = 12
 Al sustituir

46.  Solución
 Al sustituir da como resultado lo siguiente:
 푉1 = 푉2 + 12
 0.25 푉2 + 12 + 0.5푉2 = 2 푦 0.75푉2 = 2 − 3 = −1
 De manera que: 푉2 = −
1
0.75
= −1.333푉
 Y 푉1 = 푉2 + 12푉 = −1.333푉 + 12푉 = +10.667푉

47.  Solución
 La corriente de la red puede determinarse entonces en la siguiente forma:
 퐼1 ↓=
푉
푅1
=
10.667푉
4Ω
= 2.667퐴
 퐼2 ↑=
푉2
푅2
=
1.333푉
2Ω
= 0.667퐴
 퐼3 ⟶=
푉1−푉2
10Ω
=
10.667푉− −1.333푉
10Ω
=
12푉
10Ω
= 1.2퐴